关注过程 落实素养

黄丹

［摘  要］ 概念教学在数学教学中的意义和作用是不言而喻的，其是培养学生数学核心素养的重要载体. 在概念教学中，教师应从教学实际出发，基于“三个理解”创设问题情境，以此诱发学生的数学思考，让学生掌握数学本质，发展学生的数学核心素养，提高教学有效性.

［关键词］ 概念教学；核心素养；问题情境

在概念教学中，部分教师为了追求效率往往将概念直接讲授给学生，让学生强行记忆，然后加上大量练习让学生理解概念，这样的概念教学难以呈现学生的思维过程，不利于学生理解概念的本质. 因此，在概念教学中，教师应带领学生经历概念生成和发展的过程，以此深化对概念的理解，发展学生的数学思维，提高学生的自主学习能力. 本文以“抛物线及其标准方程”一课为例，谈几点笔者对概念教学的认识，若有不妥请指正.

教学过程

1. 创设情境，引入概念

为了淡化概念的抽象感，教师有必要创设一些问题情境让学生去观察和感悟，以此让数学概念教学变得更加自然、主动.

师：观察以下图片，你想到了什么？（教师用PPT展示喷泉、投掷铅球等图片）

生齐声答：二次函数图象.

师：很好. 它也是抛物线.

师：现旋转二次函数图象，此时所得到的抛物线是否为二次函数图象呢？

生1：不是，二次函数图象只能是开口向上或者开口向下的，若抛物线旋转后开口不再向上或向下，则不是二次函数图象.

师：说得很有道理，那么到底什么是抛物线呢？

设计意图 借助“旋转”引导学生对比“二次函数图象”和“抛物线”，诱发学生思考何为抛物线，以此激发学生探索抛物线概念的热情.

师：小白兔非常向往自由自在的生活，于是它离开家，来到了一片危机四伏的草地，小白兔安家在图1右侧的洞穴里. 发生危险时，小白兔共有两个逃生方案，一个是回到右侧的洞穴里，一个是躲避到左侧的树林里. 一天，小白兔在图1所示的位置独自享用肥美的青草，当危险发生时，小白兔应如何选择逃跑路线呢？请你在草地上作一条边界，使得小白兔可以根据“就近避险”的原则选择最佳逃跑路线.

（教师预留时间让学生画一画，很快有了结果）

师：说一说，边界上的点满足什么条件？

生2：到树林和洞穴的距离相等.

师：很好，你能将其转化为一个数学问题吗？

生3：将树林边界视为定直线，洞穴视为定点，这样可以将原问题转化为到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹问题.

师：很好！值得注意的是，这个定点在直线外.

设计意图 该图片源于动画，具有较强的趣味性，拉近了学生与数学的距离. 在教学中，教师引导学生用数学的眼光观察、发现问题，使得抛物线概念的生成更加自然. 以上通过动手画、用眼看、用心悟等过程有效提高了学生的数学抽象、数学建模、数学分析等能力和素养.

在以上环节中，教师首先借助生活情境让学生直观感知抛物线，了解抛物线的几何背景；接下来引导学生对比抛物线与二次函数图象，引导学生关注抛物线的本质；最后通过小白兔“就近避险”引入概念. 以上环节看似毫无关联，实则环环相扣，使得抛物线概念的生成更加自然，为后面的探究活动提供了情感支持和知识保障. 可见，以上教学情境的设计是合理的、科学的，有助于提高课堂教学效率.

2. 操作探究，建构概念

师：现在我们将定直线记作l，定点记作F，请大家动手画一画，找出一些满足条件的点，这些点的轨迹会是什么形状呢？

问题给出后，学生积极操作，几分钟后教师组织学生互动交流.

师：说一说你是怎么画的.

生4：这个太难找了，我只能精确地找到一个点，就是点F到l的垂线段的中点，其他點就是凭着感觉画的.

师：确实有点难度，现在我们一起来做一个实验. 请大家拿出课前准备的实验工具：直尺、直角三角板、细线、铅笔、书钉.

师：现在我说你们做，请四人一组共同完成. 如图2所示，把直尺固定在画板上，将其视为定直线l，沿直尺的边缘放置一块直角三角板，直角三角板的一个顶点记作点A，在直角三角板外取一点F.

师：以上步骤大家完成了吗？（学生点头表示完成）

师：很好，现在我们的细线要登场了. 将细线的一端固定在顶点A处，另一端固定在F处（注意：细线的长与MA所在的直角边的长相等）. 用铅笔笔尖（点M）拉紧细线，使点M靠住直角三角板的直角边. 根据这一步操作，你发现了什么？

生5：点M到点F的距离与点M到直线l的距离相等，点M在轨迹上.

师：现在将直角三角板垂直向下移动，用笔尖描出一段轨迹.

（学生积极操作，很快画出了一段轨迹）

师：你在操作中遇到了什么问题？

生6：当直角三角板的直角边刚好过点F时，不太好操作了.

师：那你是怎么处理的呢？

生6：将直角三角板往下翻，继续画轨迹.

师：处理得非常好，真聪明！根据以上操作步骤，这两段轨迹有什么关系吗？

生7：对称，其对称轴为过点F且与直线l垂直的直线.

设计意图 通过具体操作让学生体验画抛物线的过程，发现轨迹的轴对称特征，体验数学研究乐趣，收获成功的喜悦.

师：你们想不想看一下刚才的实验过程？（教师用GeoGebra动画展示作图过程，见图3）

设计意图 让学生更加直观地、精准地观察点M的运动轨迹，为接下来的概念抽象做好充分准备.

师：如果将这条曲线顺时针旋转90°，它像什么呢？

生齐声答：开口向下的抛物线.

师：结合刚才的作图过程，你能给抛物线下个定义吗？

学生经过思考、交流，给出了抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不过F）的距离相等的点的集合. 接下来教师用集合符号进一步加以描述，并让学生认识到抛物线的焦点和准线.

设计意图 通过合作实验和动画演示，学生发现了抛物线的几个几何特征，为概念抽象做好了充分准备. 在具体教学中，教师将主动权交给学生，引导学生结合具体操作和已有经验抽象概括抛物线的定义. 学生用文字语言给抛物线下定义后，教师又用集合符号予以表征，以此深化学生对抛物线概念的理解，提升学生的数学抽象和数学直观素养.

师：若直线l经过点F，那么平面内到定点F和到定直线l的距离相等的点的轨迹会是什么呢？还是抛物线吗？

生8：不是，该点的轨迹应该是过点F且与直线l垂直的直线.

师：很好，经过以上分析，你知道了什么？

生8：应用抛物线概念时，不能忽视“l不经过点F”这一关键条件.

设计意图 借助反例让学生明晰、理解、完善抛物线的概念，实现抛物线概念的内化.

师：观察图4，你有什么发现？请用数学语言加以描述.

生9：图4表示过定点F且与定直线l相切的动圆的圆心轨迹，该轨迹为抛物线.

设计意图 由动点（各圆圆心）到定直线和到定点的距离相等，易于联想到抛物线的定义，这样借助具体应用进一步深化学生对集合｛MMF=d｝表示的曲线特征的理解.

3. 选轴建系，求得方程

师：理解并掌握了抛物线的概念，接下来我们该研究什么内容呢？

生齐声答：抛物线的标准方程.

师：很好，结合椭圆和双曲线标准方程的探究经验，说一说求曲线方程的一般步骤是什么.

生10：一般分为五步，分别为建系、设点、列式、化简、证明.

师：对于抛物线，如何建系可以使方程更简洁呢？由于焦点F到准线l的距离为定值，设定值为p（p>0），则KF=p（K为垂足）.

（学生沉思）

生11：根据以前学习椭圆的经验，我认为以曲线的对称轴为坐标轴建系应该更简洁. 结合前面的概念实验过程可知，抛物线关于KF对称，可以将其作为x轴.

师：不错的想法. 那么y轴如何确定呢？（教师引导学生讨论、交流）

几分钟后，学生给出了如下三种方案.

方案1：以直线l为y轴（见图5）.

方案2：以线段KF的垂直平分线为y轴（见图6）.

方案3：以过点F且垂直于直线KF的直线为y轴（见图7）.

师：很好，你们能求出它们所对应的曲线方程吗？

为了提高教学效率，教师将学生分成三组进行探究，每组探究一个方案，然后交流展示. 对于以上三种方案，所求出的抛物线方程分别为y2=2px－p2（p>0），y2=2px（p>0），y2=2px+p2（p>0）.

师：思考一下，以上三个结果是否都正确呢？

（学生交流意见后确定以上结果都是正确的，只是因为建系的方法不同，最终推导出来的抛物线方程也不同）

师：对于以上三种方案，你認为哪种方案最简洁、最方便呢？

生齐声答：方案2.

师：很好，y2=2px（p>0）这个抛物线方程最简洁，我们将其称为抛物线的标准方程.

设计意图 引导学生利用之前学习椭圆和双曲线的经验，回顾研究曲线方程的一般步骤和一般方法，提高学生的自主学习能力. 在探究过程中，教师没有急于讲授，而是预留充足的时间让学生通过独立思考和合作交流建立坐标系. 建系后，教师没有直接评价优劣，而是引导学生分组探究不同建系方案所对应的标准方程，以此通过结果进行对比，确定最优方案. 在传统教学中，大多数教师都以教材为出发点，根据教材给出的方案建系，这样学生虽然能够理解和掌握，但是学生知其然而不知所以然. 因此，在实际教学中，教师应鼓励学生进行多角度分析和探究，让学生理解将y2=2px（p>0）作为抛物线标准方程的根本原因.

4. 思考交流，深化理解

师：抛物线的开口方向除了向右以外，是否还有其他形式呢？此时的焦点坐标和准线方程又是什么呢？请以小组为单位进行探讨，并完成表1.

设计意图 通过思考、交流、整理（对比分析）让学生理解和掌握抛物线标准方程的另外三种形式，这不仅有助于学生建构系统化知识，培养和提升学生的类比推理能力和知识迁移能力，还有助于学生核心素养的落实.

师：在学习椭圆及双曲线时我们知道，若参数不同其形状也会有所不同. 你认为影响抛物线开口大小的参数会是什么呢？

生12：抛物线的标准方程y2=2px（p>0）中仅有唯一的参数p，所以影响抛物线形状的应该是参数p.

师：它是如何影响抛物线形状的呢？

设计意图 问题给出后，学生通过代值法感受参数p对抛物线形状的影响. 为了便于学生直观感受这种变化关系，教师用GeoGebra动画演示：当参数p的值变小（大），抛物线的开口也变小（大），当参数p等于0时，其轨迹为一条直线.

经历以上过程，学生理解并掌握了抛物线的概念及其标准方程，接下来通过例题解析，让学生进一步巩固概念.

教学思考

概念教学是数学教学的核心，因此教师应重视概念教学，关注概念生成的过程，以此让学生更好地理解知识、应用知识，落实学生的数学核心素养. 结合以上教学过程，笔者谈几点心得体会：

（1）重视创设合适的问题情境.在教学中，教师应为学生提供一个自由的、平等的探究环境，引导学生用数学的眼光去发现和解决问题，以此加快数学化进程，培养学生的数学素养. 例如，在概念引入阶段，教师设计了多个教学情境，既拉近了学生与数学的距离，又培养了学生直观想象和数学抽象等素养.

（2）关注概念的生成过程.在概念教学中，若仅引导学生从文字语言上理解概念，这样的概念教学是浅显的，难以突出概念的本质属性，这将影响学生提升知识迁移能力，限制学生发展思维能力. 因此，教师应带领学生经历概念生成的过程，以此让学生掌握概念本质，使学生学懂会用.

（3）善于应用信息技术.随着时代的进步，信息技术为教学带来了巨大便利，教师应充分发挥多媒体直观便捷、资源丰富的优势，以此让学生更好地理解知识，加深对概念本质的理解.

总之，教师要重视概念教学，多引导学生经历概念生成和发展的过程，通过教学资源的优化和整合，提高概念教学的有效性，落实学生的数学核心素养.