北师大两版教材“倍数与因数”单元内容比较研究

卢世峰

［摘 要］以五年级上册“倍数与因数”单元为例，选取北师大的“实验版”和“2011年版”数学教材，从单元内容编排、导入情境、习题设计和渗透数学文化等角度进行了教材内容的比较研究，得出教学启示与建议，为教师提高课堂教学效益提供参考。

［关键词］教材比较；倍数与因数；北师大版教材

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2023）17-0087-03

“倍数与因数”属于数论的内容，这个单元包含因数和倍数的含义、2、5和3的倍数的特征、认识奇数和偶数、认识质数与合数等内容。本单元学习主线是从倍数和因数这两个核心关键词出发，在找倍数这一条支线上学习2、5和3的倍数特征、认识奇数和偶数；在找因数这一条支线上认识质数与合数。为此，笔者以根据2001年《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》编写的《北师大版义务教育实验教科书·数学》（以下简称“实验版”）和根据2011年《义务教育数学课程标准（2011年版）》编写的《北师大版義务教育教科书·数学》（以下简称“2011年版”）两个不同时期的北师大教材版本为例，对教材中“倍数与因数”的内容进行了比较研究，为一线教师备课提供素材和资源。

一、单元内容编排

由上表可知，从编排单元的角度看，“实验版”和“2011年版”都将“倍数与因数”编排于五年级上册教材，但顺序有所不同。从单元整体内容视角看，“2011年版”删除了“数的奇偶性”内容，把原来第1课时的课题“数的世界”更改为“倍数与因数”，这样就让教学任务一目了然。

这两个版本教材关于“倍数与因数”单元编排的相同点主要表现在以下四个方面：

1.课题开门见山，直接揭示教学内容

“实验版”和“2011年版”在“倍数与因数”单元中的标题都以数学名词或探究活动为主，能让教师和学生比较清楚地了解所要学习的内容，为教师在备课时确定教学目标和教学重难点提供了便利。

2.以“问题串”引领教与学的过程

无论是“实验版”还是“2011年版”，教材内容都是围绕教学目标来设计的“问题串”，使数学问题具有目标性。

3.注重帮助学生积累的数学活动经验

北师大两版教科书在“倍数与因数”单元中都提供了大量的探究和交流活动，使学生在猜想、验证、应用和拓展等过程中积累数学活动经验，感受数学思想方法。如“实验版”和“2011年版”在“探究5的倍数的特征”一课中都安排了让学生在百数表中找5的倍数后做上记号再观察等活动。

4.关注学生知识和方法的发展

除了设计丰富的问题和活动，北师大两版教材在内容呈现上体现过程性，关注学生的知识和方法的发展。如“探索活动：3的倍数的特征”一课中，“实验版”和“2011年版”均编排了三个问题：第一个问题“我们研究了2、5的倍数的特征，说一说3的倍数有什么特征？”，一方面帮助学生回忆2和5的倍数的特征，另一方面通过3个卡通人物的对话启发学生从不同角度来思考3的倍数的特征；第二个问题“请你在百数表中接着圈出3的倍数，你发现了什么？”，引导学生在圈数中总结3的倍数的特征；第三个问题“根据上面的发现，在下面的数中圈出3的倍数，并与同伴交流”，引导学生在认识3的倍数之后验证。

二、导入情境

1.倍数与因数的含义及找倍数的方法

“实验版”和“2011年版”都是通过生活情境引出倍数和因数的含义，体现数学与生活的联系；都是用“下面哪些数是7的倍数”这个问题，引导学生借助乘法或除法探究求一个数的倍数的方法。“实验版”在编排倍数与因数的含义这个内容时，首先出示水果超市中各种水果的价格和相关的问题串，促使学生感受到生活是个充满数的世界；然后让学生对一些学过的数进行分类；最后在“买5千克梨需要多少元”这个问题中告诉学生倍数和因数的定义，以及倍数和因数的研究范围。而“2011年版”首先出示了点子图和问题串，引导学生写出乘法算式；然后通过乘法算式告知学生倍数和因数的定义；最后引导学生理解乘法算式中哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数。

2.探索活动：2、5的倍数的特征

“实验版”和“2011年版”在本课的导入情境基本相同，都安排了一张百数表，通过问题串引导学生探究2和5的倍数的特征；都是先让学生在百数表中圈出5的倍数，在探究中发现5的倍数的特征，再让学生在百数表中找出2的倍数，在探究中发现2的倍数的特征，同时揭示偶数和奇数的含义。

3.探索活动：3的倍数的特征

“实验版”和“2011年版”在本课的导入情境虽然都安排了一张百数表，但是探究活动的先后顺序不同。“实验版”直接出示百数表，先引导学生观察3的倍数并初步发现规律，再让学生利用更大的数检验规律是否成立，最后得出3的倍数的特征。而“2011年版”先让学生根据2和5的倍数的特征，猜测3的倍数可能有什么特征；再让学生在百数表中圈出3的倍数，在观察中发现3的倍数的特征；最后让学生根据自己的发现在一组数中圈出3的倍数。

4.找因数

“实验版”和“2011年版”在本课的导入情境大同小异，都是先让学生用12个小正方形拼成一个长方形，想一想有几种不同的拼法；再让学生找出12的全部因数。

5.找质数

“实验版”和“2011年版”在本课的导入情境基本相同，都是先让学生发现用12个小正方形可以拼成三种长方形，引导学生体会一个数的因数与拼成的长方形的长、宽之间的关系；再让学生探索用2、3……11个小正方形分别可以拼成几种长方形，并用表格的方式记录能拼成的几种长方形的面积和一个数的因数；最后引导学生观察表格发现有的数只有2个因数，有的数有2个以上的因数，从而揭示质数和合数的概念，同时说明1既不是质数，也不是合数。

三、习题设计

1.习题编排

“实验版”和“2011年版”在新课教学后都安排了一定的习题，帮助学生巩固数学知识和技能。“实验版”的习题设置了“试一试”“说一说”“找一找”“练一练”“你说我答”“数学游戏”“探究活动”“你知道吗”等栏目。而“2011年版”的习题设置了“练一练”“你知道吗”“我学到了什么” “我的成长足迹”“我提出的问题”“我的数学日记”和“巩固应用”等栏目，在单元复习时安排了“整理与复习”，编排了14道习题帮助学生巩固本单元的知识。

2.习题类型

对比分析北师大两版教材后发现，本单元的习题类型主要是填空题、解决问题和拓展题，统计时按大题计算，具体数量见表2：

为了更加清楚地看到每个知识点的习题数量，笔者对北师大两版教材“倍数与因数”单元进行了统计。

从表中可以看出，除了“找因数”这节课中的习题数量保持不变，其他知识点的习题数量都有增加，“整理与复习”中还增加了3道题。可见“2011年版”对“倍数与因数”这一单元的重视程度。

3.习题的特点

北师大版两版教材关于“倍数与因数”单元有以下四个特点：

第一，习题情境联系生活，体现学习数学的应用价值。虽然这个单元中有较多抽象的数学概念，但是北师大两版教材还是努力让学生感受数学与生活的紧密联系。如“实验版”在“找因数”一课中设计了题目“把48个球装在盒子里，每个盒子装得同样多，需要几个盒子？有几种装法？如果有37个球呢？”。“2011年版”在“整理与复习”中设计了题目“寻找能开4把锁的万能钥匙。它是一个奇数，所有因数的和是48，是5的倍数，是一个两位数，万能钥匙上的数是几？”。

第二，习题兼顾图片和文字，让学生学会提取有效信息。为了美化教材版面和提高学生提取信息的能力，北师大两版教材中都编排了图文并茂的习题。

第三，习题凸显知识重点，做到“学—教—评”一致性。无论是教材的编写还是教师的教学活动，都要做到教学与评价的互相匹配。如“实验版”在“探索活动（二）3的倍数的特征”一课中的教学目标是让学生探究3的倍数的特征，运用3的倍数的特征解决问题，因此课后习题安排了4道题，其中3题与这节课所学的知识一致。第1题是让学生在下面的数中圈出3的倍数；第2题是让学生将编号是3的倍数的气球涂上颜色；第3题是让学生选出两个数字组成一个两位数，要分别满足4个条件。前两题引导学生理解3的倍数，第3题是帮助学生灵活地综合运用2、5和3的倍数的特征。

第四，习题具有拓展应用，满足不同层次学生的需求。教师要关注学生个性化、多样化的学习和发展要求，北师大两版教材在“倍数与因数”单元的习题编排中都有所体现。如“2011年版”中提供了较多的探究活动，让学生在观察、思考、比较和分析中发现更多倍数与因数的奥秘，帮助学生完整地建立数的概念。

四、渗透数学文化

北师大两版教材在“倍数与因数”单元中都融入了数学文化的内容，丰富学生的数学视野。“实验版”和“2011年版”都提到了这两个内容：其一是介绍寻找质数的方法是希腊数学家埃拉托斯特尼发明的；其二是介绍哥德巴赫猜想的偶数情形和奇数情形。

五、教学启示与建议

笔者通过对北师大两版教材的比较和分析，不仅对一线教师在备课中能有指导作用，也向教材编写者更加清楚地展示不同时期教材内容编排的变化。

1.倍数和因数适用在乘除法中

学生的已有经验是“乘法中有因数，除法中有倍数”，而这个单元中教师要帮助学生意识到倍数和因数是成对出现的，适用在乘除法中。但是，“实验版”和“2011年版”都是在乘法中揭示倍数和因数的关系，这会让学生产生“除法中没有因数和倍数”的错误观念，不利于倍数和因数概念的建构。

2.要让学生在活动中建立模型

“實验版”和“2011年版”在编排“2和5的倍数的特征”和“3的倍数的特征”内容时，都让学生经历圈一圈、观察、猜想、验证、得出结论和运用结论解决问题等过程，不仅有助于学生发现2、5和3的倍数的特征，还帮助学生掌握数学学习的方法。

3.习题的数量要因人而异

与“实验版”相比，“2011年版”的习题数量有所增加，但是教师在实际教学中面对不同的学生个体，学生需要的习题数量各不相同，因此教师要为不同层次的学生设计不同数量和难度的题目，让好学生“有营养”，让学困生“能吃饱”。

综上所述，教师在备课时可以根据班级中学生的实际需求重新组合教材素材和习题设计，不仅培养学生的“三会”和核心素养，还实现提质减负的最佳教学效果。

（责编 梁桂广）