加权费马点及其性质

赵敏行

(上海交通大学附属中学高一(16)班 200439)

1 引言

费马点是在三角形内部且到三个顶点距离之和最短的点,要求三条线段等权重,如果放松对权重相等的要求,就是加权费马点．显然,费马点是加权费马点的特例．本文在文献[1]～[4]的基础上探讨加权费马点及其性质．

图1

以三角形的每一条边为底向外作等边三角形,对应点连线交于一点就是费马点．同时,费马点也是三个向外作的等边三角形外接圆的交点(图1)．在最大角小于120°的三角形中,费马点在三角形内,在最大角大于或等于120°的三角形中,费马点在钝角的顶点．

费马点要求三条线段的权重是相同的,即1∶1∶1,故采用等边三角形和图形旋转的方法可以得到费马点,如果放松对权重相等的要求,即三个权重都不相同时,加权距离和最短的点就是加权费马点．

2 确定加权费马点的方法①

①需要三个权重符合构成三角形三边的条件,权重不符合上述条件的情况在本文最后讨论．

加权费马点不要求三条线段的权重相等,假设PA,PB和PC的权重都不相同,即求αPA+βPB+γPC的最小值．在△ABC中取任一点G,以BG为底边作△BGH,满足BG∶GH∶HB=α∶β∶γ,其中α,β,γ满足构成三角形三边的条件．

图2

省略图形旋转过程,直接以BC为底作权重比三角形△BCD,点P一定在AD上．同样可以得到顶点B和C的对应连线BE和CF,点P也在这两条线段上,三条线段交于同一点就是点P,即加权费马点．

下面证明三条连线AD,BE和CF交于同一点P,即加权费马点．

图3

首先,我们研究了原三角形与权重比三角形对应角的关系.如图3所示,△ABF,△AEC,

△DCB都是三边比为α∶β∶γ的相似三角形,设∠α为权重比三角形中边α的对角,∠β为权重比三角形中边β的对角,∠γ为权重比三角形中边γ的对角,则∠BAF=∠CAE=∠BDC=∠α,∠CBD=∠ABF=∠AEC=∠β,∠ECA=∠BCD=∠AFB=∠γ,并且∠α+∠β+∠γ=180°．

连接AD和BE交于点P,连接CP和PF,需要证明三点C,P,F共线．线段AD来源于图2,∠BPD=∠BCD,因此BDCP四点共圆,同理AECP四点共圆．于是,∠DPB=∠γ,∠DPC=∠β,∠EPC=∠α,∠APE=∠γ,所以∠APB=∠α+∠β,并且∠AFB=∠γ,所以AFBP四点共圆．由此得∠FPB=∠BAF=∠α,所以∠FPC=∠α+∠β+∠γ=180°,即点F,P,C共线,即AD,BE和CF交于同一点P,点P就是加权费马点．

同时,BDCP,AECP和AFBP都四点共圆,即△BCD,△ECA和△BFA的外接圆也交于同一点P,即加权费马点．

根据上述过程,确定加权费马点的方法是:以原三角形的每条边为底边,向外作权重比三角形,对应点连线交于一点,同时三个相似三角形的外接圆也交于同一点,这个点就是加权费马点．

例如,在求αPA+βPB+γPC最小值的加权费马点时,要求权重比三角形三边比为α∶β∶γ,即BC∶CD∶DB=α∶β∶γ,AC∶AE∶CE=β∶γ∶α,AB∶AF∶FB=γ∶β∶α,连接对应点,三条连线AD,BE,CF交于同一点,就是加权费马点．同时,三个权重比三角形的外接圆也交于加权费马点(图3),这样确定加权费马点的方法与费马点相似,只是全等三角形换成了权重比三角形．

3 加权费马点的性质

费马点有两个重要性质:一是费马点与顶点连线形成三个相等的角,都是120°;二是最大角小于120°的三角形,费马点在三角形内．与费马点不同,加权费马点有如下性质:

(1)加权费马点与顶点连线形成的三个角分别等于权重比三角形的两个内角之和,而不一定是120°．如图3所示,∠APB=∠α+∠β,∠APC= ∠α+∠γ,∠BPC=∠β+∠γ．

(2)原三角形的某个内角与权重比三角形对应的内角之和(共三对,原三角形顶点A的内角与权重比三角形边α所对的内角为一对．以此类推,即∠α+∠CAB,∠β+∠ABC,∠γ+∠BCA)最多只会有一对角的和大于180°,不存在两对同时大于180°的情况．

(3)加权费马点在三角形内的条件是:原三角形的某个内角与权重比三角形对应的内角之和(三对)都小于180°,即加权费马点在三角形内需要同时满足∠α+∠CAB<180°,∠β+∠ABC<180°,∠γ+∠BCA<180°．由此推论,锐角三角形的加权费马点也可能不在三角形内,最大角大于120°的钝角三角形的加权费马点也可能在三角形内,取决于原三角形的内角与对应的权重比三角形的内角之和．

(4)原三角形的某个内角与权重比三角形对应的内角之和(三对)中有一对角的和大于180°时,加权费马点不在三角形内,而在和大于180°的那对角的顶点．

(5)当权重无法构成三角形时,比如α+β=γ时,相当于按照一个角是平角、两个角是0°的三角形(即∠γ=180°,∠α=0°,∠β=0°)进行图形旋转确定加权费马点,此时加权费马点不在三角形内,而在平角对应的原三角形的顶点上(即∠γ对应的原三角形顶点C)．