数学核心素养指向下单元整体教学的设计及反思——以“三角形全等的判定(SSS)”为例*

应琴芬 唐笑敏 王罗那

(湖州师范学院教师教育学院 313000)(湖州师范学院理学院 313000)

1 问题提出

数学核心素养作为数学学科的“承重墙”,如何落地是教育界广为关注的问题之一.但要实现理论与实践的融通发展,还存在不少困难.究其原因主要有以下两个方面:其一,数学核心素养远高于知识技能,单纯通过课堂上的教、学、练,无法完全实现核心素养的培养.“悟”是核心素养培育的重要路径.其二,数学核心素养的发展需要经历系统化的数学活动.当下“备一课,上一课”的课时教学,会导致学生囿于碎片化学习困境,影响核心素养的生成.

单元整体教学起源于19世纪末的“新教育运动”.相较国外而言,我国对此的研究起步较晚,但近年来已成为我国教育界的研究热点之一.李昌官指出:“单元教学是针对课时教学整体感不强、知识分解过度、学习碎片化、教学效益低下的现象而提出的,是更好地培养学生核心素养的需要.”[1]那么,为什么单元整体教学能有效涵育数学核心素养?如何打破章节壁垒,营造“悟”的学习情境,开展有利于发展数学核心素养的教学呢?本文立足数学核心素养与单元整体教学的内涵特征,阐述二者之间的耦合关系.进一步,以浙教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》“三角形全等的判定(SSS)”为例,开发单元整体教学设计案例,进行教学设计反思,以培育学生的核心素养.

2 关联解构

2.1 数学核心素养与单元整体教学的特征分析

一方面,数学核心素养作为知识技能、思想方法与情感态度等的综合体现,应伴随知识的进阶而提升,需要经历系统化的数学活动才能逐渐生成,具有综合性、习得性、持续性、发展性、整体性与阶段性等特点.另一方面,单元整体教学是以教材的自然单元为基础,以整体教学观为指导,对教学目标与内容、教学活动与方式、教学过程与评价等进行系统规划、整体设计和有序实施,从而实现“整体大于局部之和”的教学效果的一种教学方法[2].换言之,教师在开展单元整体教学时,应立足学科逻辑,结合具体情境,帮助学生在自主获得学习对象、找到研究方法与建构知识体系的过程中逐步发展核心素养.由此可知,单元整体教学具有问题情境性、动态生长性与系统关联性等特征.

不难发现,单元整体教学的问题情境性是指在教学过程中应以问题为导向、情境为载体,采用“问题引领型”教学方式,从而为知识技能与思想素养的形成提供必要条件,与之对应的是数学核心素养的综合性与习得性.单元整体教学的动态生长性是指在开展以知识、方法、思想等为主线的单元教学时,应注重知识的内部联系,帮助学生在后续的类似内容中灵活迁移应用,与之对应的是数学核心素养的连续性与发展性.单元整体教学的系统关联性是指在教学中既要从整体上把握知识,也要注重各个阶段之间的层级衔接,与之对应的是数学核心素养的整体性与阶段性.因此,单元整体教学必然能有效涵育数学核心素养.两者在特征方面的对应关系如图1所示.

2.2 数学核心素养与单元整体教学的耦合关系

数学核心素养依赖于数学知识与技能,又高于数学知识与技能,凌驾于数学思想与数学方法之上[3],是开展单元整体教学的目的所在.单元整体教学作为一种超越知识技能、关注学科逻辑的教学模式,在打通不同章节知识“隔墙”的同时,还能创设“悟”的学习环境.这为数学核心素养的发展提供有利条件.这样,通过单元整体教学的三个步骤:获得学习对象、找到研究方法与建构知识体系,最终引导和帮助学生形成整体观念,从而发展核心素养.反之,学生数学核心素养的培养也需要细化在上述三个步骤的教学活动中.

图1 数学核心素养与单元整体教学在特征方面的对应关系

因此,单元整体教学不仅仅只是以核心素养为导向的教学,更要在教学流程中充分体现数学核心素养的特征.即引导学生在获得学习对象的同时,会用数学的眼光观察现实世界,这指向数学核心素养的综合性与习得性特征;在找到研究方法的同时,会用数学的思维思考现实世界,这指向数学核心素养的持续性与发展性特征;在建构知识体系的同时,会用数学的语言表达现实世界,这指向数学核心素养的整体性与阶段性特征.由此,让学生在经历“三会”的过程中实现核心素养的培育.数学核心素养与单元整体教学的耦合关系如图2所示.

图2 数学核心素养与单元整体教学的耦合关系

3 案例呈现

全等三角形作为研究平面图形的基础,是几何入门最关键的环节.相较全等三角形的概念与性质而言,其判定方法更具有高度抽象性与形式严谨性.故三角形全等的判定成为培育学生数学核心素养的理想载体.遗憾的是,国内教材皆将SSS,SAS,ASA,AAS,HL各一课分开处理,这导致学生难以在整体视野下建立知识框架体系.事实上,SSS是学生学习全等三角形的概念与性质后首个接触的判定方法.就单元整体教学的视角而言,SSS既是全等三角形内容的延续,也是后续研究平面几何的基础.相应地,学生在“画图—感知—猜想—验证—说理—表达”系统化学习的过程中,逐步形成全等三角形的知识体系,发展几何直观与逻辑推理等数学核心素养.下面采用问题串的方式设计单元整体教学.

3.1 创设情境:获得学习对象

情境1为营造温馨和谐的学习环境,老师欲在教室墙面装饰一串三角旗.若已知一个彩旗,怎样剪裁才能确保所有彩旗形状、大小一致?能将其转化为数学问题吗?

问题 使用全等三角形的定义来判定三角形全等过于复杂,有没有更为简便的判定方法?

讲解 三角形的形状与大小由三个顶点相对位置唯一确定;相对位置取决于顶点间的距离与方向,即取决于三角形的边长与内角.可见,测量一个三角形彩旗的三条边与三个角,以此为例进行裁剪,可保证所有三角形全等.那么,六个要素必须全部测量吗?还有没有更为简便的判定方法?

追问1 如果有,最简单(即条件最少的)的判定方法是什么呢?

设计意图立足学科逻辑创设的问题情境,不仅展现数学核心素养的习得性与综合性,更有利于学生从整体上把握研究对象.在帮助学生获得学习对象(三角形全等的判定)与找到逻辑起点(全等三角形的定义)的同时,促使学生养成从数学视角观察现实世界的好习惯,为学生几何直观能力的发展奠定基础.

3.2 施行推理:找到研究方法

问题1 对于探索更简便方法判定三角形全等的问题而言,直接研究难度较大,怎样研究会使问题难度降低呢?

问题2 以要素数量为分类标准展开研究,其他分类标准的研究类似.若只考虑一个元素,即已知一组三角形中的一条边或一个角对应相等,能判定三角形全等吗?

问题3 若考虑两个要素,即已知一组三角形中两边、一边一角(一角及其邻边、一角及其对边)、两角对应相等,能判定三角形全等吗?

活动1三个要素所涉及的分类过于繁杂,需要依次分析.类比上述过程,尝试设计研究方案,条理清晰即可.

问题4 若一组三角形中三边对应相等,能判定三角形全等吗?

讲解 在几何演绎体系中,说明一个命题是假命题,只需举反例即可.反之,证明一个命题是真命题,需要借助演绎推理进行严格证明.

活动2已知线段a,b,c(图3),用直尺和圆规在纸上画出△ABC,使得BC=a,AC=b,AB=c.将△ABC裁剪后与同桌进行比较,它们是全等三角形吗?(引出SSS)

图3

设计意图其一,摒弃课本“开门见山式”作图验证,采用学生自主设计研究方案的学法.这不仅有助于学生整体把握学习对象,而且有利于培养学生的数学思维.其二,通过改编教科书的证明方法(用刻度尺和圆规在一张透明纸上画出△DEF,使其三边分别为1.3 cm,1.9 cm和2.5 cm),让学生在经历特殊到一般、合情推理到演绎推理的过程中,逐步发展几何直观与逻辑推理能力.在强调同类知识研究方法的同时,凸显核心素养的持续性与发展性.

3.3 理清图式:建构知识体系

情境2几何图形在日常生活中有着广泛应用.譬如,埃及的金字塔、房屋的人字架等都采用三角形结构.但是学校的收缩门、吊车的折叠梯等都采用四边形结构.为什么前者设计成三角形?其他平面图形可以吗?(同桌之间互相讨论,进而引出三角形的稳定性)

讲解 本节课的学习内容与研究方法如 图4所示.

设计意图其一,借助实际问题,巩固全等三角形的判定定理(SSS),促使学生在数学表达与交流过程中,获得几何直观能力.其二,在整体思路与方法的指引下,立足学生认知结构,组织学生回顾探究过程,帮助学生在建构结构化知识体系的过程中,体现数学核心素养的整体性与阶段性.

图4

3.4 反思过程:发展核心素养

例1在四边形ABCD中,AB=CD,AD=CB.求证:∠A=∠C.

习题 工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下:如图5,∠AOB是一个任意角,在边OA和OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合.过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线.为什么?

图5 图6

例2如图6,已知∠BAC,用直尺和圆规作∠BAC的平分线AD,并说出该作法正确的理由.

问题 目前,全等三角形研究了哪些内容?能举例说明日常生活中运用全等三角形知识的实际例子吗?

追问1 全等三角形是按照怎样的研究思路开展探究的?各个环节的研究角度有哪些?

追问2 在研究三角形全等的判定时,运用了哪些数学思想?研究方法是什么?

追问3 今后还会学习全等三角形的哪些内容?能否尝试运用本节课的研究方法,继续探究全等三角形的其他判定方法?

设计意图其一,改编课本例题2,并将例题2放置在改编题之后,既联系生活实际,又遵循循序渐进、由易到难的原则,让学生在练习过程中进一步提升推理能力与应用意识.其二,组织学生从知识技能、研究思路与研究方法等方面回顾课堂,并在最后进行“展望式”小结.在引领学生整体思考的同时帮助学生学会类比迁移,从而让学生在经历“三会”的过程中逐步提升数学核心素养的水平.

4 设计反思

4.1 巧设问题情境,明确学习对象

数学核心素养作为一种内隐特质,其外化需要借助具体的教学情境.关于问题情境的创设,认知心理学认为从已知的较一般的整体中分化细节,要比从已知的细节中概括整体容易一些[4].因此,单元整体教学应体现数学核心素养的综合性与习得性.相应地,教师在教学设计时应立足学科逻辑,从核心问题出发创设良好的问题情境,引导学生在问题发现与提出的过程中逐渐明确学习对象,最终帮助学生学会“用数学的眼光观察现实世界”.

4.2 注重推理活动,寻求研究方法

数学核心素养并不是“一潭死水”,而是逐级进阶的“动态系统”,它将在学生的后续学习中持续发挥作用.所以,单元整体教学应体现数学核心素养的持续性与发展性.换言之,教师在开展教学时应组织学生进行类比、特殊化与一般化等推理活动,帮助学生在直接接触与亲自体验的过程中,找到同类数学对象的研究方法,从而让学生在反复迁移与灵活运用的过程中学会“用数学的思维思考现实世界”.

4.3 塑造认知结构,形成知识体系

学科知识结构不同于学生认知结构.前者旨在讲明知识逻辑顺序,后者重在关注学生心理发展.单元整体教学既要呈现数学核心素养的整体性,也要凸显阶段性.即要求教师在教学设计时,应从学科知识结构出发,塑造学生的数学认知结构.教师要在精准把握学生原有认知结构的基础上,帮助学生厘清数学知识,让学生在体验“学习对象在变、研究方法不变”的过程中建构知识体系,最终在经历系统化的数学活动后,学会“用数学的语言表达现实世界”.

4.4 优化反思评价,涵育核心素养

课时评价更多指向知识技能层面,较少关注学科内在逻辑,这不利于学生数学核心素养的发展.因此,单元整体教学应重视反思评价环节.要立足“总—分—总”结构,首先引导学生回顾单元主题中已学习的知识内容,然后基于单元主题框架探讨本节课的研究成果,最后回到单元主题的核心问题.教师要在“三会”学习过程中打破“只见树木,不见森林”的困境,发展学生数学核心素养.

在数学单元整体教学设计中,核心问题的创设是一条明线,学习对象与研究方法的挖掘是一条暗线.明线是直观易见的,而暗线的推进需要在明线的指导下进行,且最终回溯至明线.两者相辅相成,共同帮助学生自主建构知识体系,发展核心素养.