一般观念统领下单元整体教学的设计与思考——以“平行四边形”为例

王 明 陈小丽

(江苏省昆山市第二中学 215300)(江苏省昆山市第一中学 215300)

当下课堂“课时情结”下,学生很少在一个连续的整体中去建构知识体系,学生学到太多符号化、形式化的知识,较少理解知识背后所含的逻辑含义、思想方法和价值意义.《义务教育数学课程标准(2022年版)》指出:改变过于注重以课时为单位的教学设计,推进单元整体教学设计,体现数学知识之间的内在逻辑关系,以及学习内容与核心素养表现的关联[1].在这样的目标指向下,教师应引导学生整体性、系统性地建构知识体系,研究问题,归纳思想方法,形成问题解决策略,发展核心素养.

一般观念[2]也称“大概念”(big idea),是对内容及其反映的数学思想和方法的进一步提炼和概括,是对数学对象的定义方式、几何性质指什么、代数性质指什么、函数性质指什么、概率性质指什么等问题的一般性回答,是研究数学对象的方法论,对学生学会用数学的方式对事物进行观察、思考、分析,以及发现和提出数学问题等都具有指路明灯的作用.在数学教学实践中,一般指用整体理解来联结相对分散的事实(情境)、知识、技能或经验,在单元或主题学习中促进学习内容、知识结构、思想方法、教育价值等方面发生迁移的思想.

一般观念统领下的数学学习不仅为学生解决本节课的“眼前问题”,更重要的是通过数学知识的整体建构和经验方法的总结,准确把握知识的实质内涵和生成路径,渗透数学基本思想方法(数学化、抽象化、转化与化归)和关键能力(抽象概括、推理论证能力)的培养,实现教育价值.基于上述理念,笔者以苏科版教材八年级下册第九章第三节“平行四边形”为例,以“一般观念”为统领,做好单元整体教学,帮助学生获得“四基”,发展“四能”,用数学内生力量发展学生的思维能力,提升核心素养.

1 备课思考

一般观念统领下,几何问题研究指的是如何研究一类图形及其关系的基本套路,是对内容及其发生、发展过程中反映的数学思想和方法的再概括和再组织.正如吴增生[3]所言,本质上是对诸如以下问题的一般性回答:如何通过抽象获得研究对象?概念是怎样定义的?几何图形的性质指的是什么?判定是什么?从哪里出发研究?沿着什么路径研究?用什么方法研究?

1.1 理解数学,分析教学内容

平行四边形是最基本的几何图形之一,也是“图形与几何”领域中的主要研究对象.它在“图形与几何”的学习中起着承上启下的作用,“承上”指研究平行四边形性质和判定时要用到等腰三角形的研究“套路”和平行线、全等三角形、图形旋转等相关知识,“启下”指对特殊平行四边形性质和判定的研究路径和思想方法起着重要的奠基作用;既是对等腰三角形学习经验的迁移,也是为特殊平行四边形的学习思维模式搭建框架.

1.2 理解教学,设计教学过程

设计适切情境来引入研究对象,让学生体悟现实世界.通过精心设计问题,引导学生基于整体视野理解平行四边形的知识.感知定义是问题研究的逻辑起点,从实验感知到理性证明,经历分析与思考,逐步从感性认识上升为理性认识,逐步构建系统知识体系,在逻辑层次中有序生成研究几何对象的一般方法和基本“套路”,让学生真实体悟平行四边形内容的学习历程和育人价值.

1.3 理解学生,确定学习路径

学生已有学习等腰三角形的经验,具有一定的动手实验操作能力,但逻辑推理能力仍需加强培养.合理添加辅助线将平行四边形问题转化为三角形来解决,是教学中的一个难点,是需要重点突破之处.学生对平行四边形的概念、性质、判定及应用缺乏整体性认识.在整体视野下,确定本单元教学核心元素:边、角、对角线.结合学情,通过探究式、启发式教学方式,让学生经历“情境导学—实验助学—思辨慎学—例题展学—反思省学”的学习思路,将平行四边形的性质和判定一体化呈现,培养学生演绎推理能力、严谨思维的态度、乐于探索的情感,发展学生从感性认识到理性认识的生长路径,以及学以致用的价值观.

2 教学设计

2.1 情境导学,最近联想,类比回顾一般路径

适切的情境创设是课堂教学成功的重要因素,是培养学生数学思维的源泉[4].适切的情境设计不仅能迅速集中学生的课堂注意力,还能有效激发学生的学习兴趣与主动探索的动机,促进学生积极参与教学活动.

问题1在日常生活中,我们对一些几何图形有很多感性认识,给我们的生活带来了许多美观的感受.下面的图片中有大家熟悉的图形吗?

图1

追问1 大家认为平行四边形的学习可以类比之前学习中的哪类图形?当初我们学习了哪些内容?

教学说明学生已经学习了等腰三角形,拥有一定的研究几何图形性质和判定的经验.通过问题情境,抽象出平行四边形这一研究对象,引导学生回忆、归纳已有学习经验,构建单元学习路径.类比等腰三角形的研究方法,对于平行四边形的学习,请学生类比思考如下问题:平行四边形要研究哪些内容?研究程序是什么?研究思路是什么?研究方法是什么?

设计意图学生学习了等腰三角形的性质定理和判定定理、全等三角形、旋转变换、中心对称等知识,具有一定的研究几何图形的经验.通过情境引导学生回顾旧知学习路径,梳理已有学习经验,迁移类比到平行四边形的学习研究中,形成单元整体学习的先行组织者(图2).

图2

2.2 实验助学,从感性到理性,深度理解性质定理

数学实验能促进学生手脑协同,启思明理,通过“做数学”,经历完整的数学学习过程,能为学生数学关键能力和核心素养的形成奠定必要的基础[5].基于学情,从实验感知入手,引导学生产生证明的意识并理解证明的必要性,进一步探索对角线性质的方法和论证路径,形成数学思维的连贯性和一致性.

问题2通过小学的学习,大家知道平行四边形具有哪些性质?如何获得?

学生简答:两组对边分别平行且相等,对角相等;通过直尺和量角器度量获得.

追问2 你会证明上述结论吗?

追问3 平行四边形还有其他性质吗?如何获得?你会证明吗?

学生活动通过度量方式验证“对边相等,对角相等”,进一步感受对边平行,联想三角形知识,连接对角线,构造三角形全等,证明性质定理(与边、角相关).归纳思路,将问题转化为三角形来解决.从平行四边形的定义出发,结合平行线的性质,联想并构造全等三角形证明实验结论.进一步观察并动手实验操作,通过合作旋转发现平行四边形是中心对称图形,培养几何直观能力.结合中心对称知识,添加“辅助线”(连接对角线AC和BD交于点O),易证△AOB≌△COD(或△AOD≌△COB),从而证明实验获得的结论.

教学说明整体视野下教学设计重视知识体系,超越碎片的知识观,追求数学知识生成的整体性、逻辑连贯性和思维一致性,自然形成单元知识体系,彰显一般观念的引领.性质在本质上为图形组成元素之间的关系,使学生明确定义是问题研究的逻辑起点.以“实验+证明”的学习方式,让学生合作学习,使学生主动参与实验,自觉参与论证过程,符合学生的认知规律,能经历体验和感悟,思维力自然发展.同时,强调初中几何研究重点与小学不同之处就是要从直观几何向逻辑几何(证明几何)过渡,聚焦学生的思维逻辑,让思维发生有原因、生成有过程、建构有逻辑.通过学生交流经验、迁移学习、内化知识,实现几何教学的教育价值.追问2让学生体会数学思维严谨性,追问3启发学生发现问题、提出问题、思考问题、研究问题,进行有逻辑的思辨.

2.3 思辨慎学,逆向思维,建构判定定理

单元整体视野下,几何教学可以从数学内部实现判定定理的学习,避免创设新问题情境导入学习,割裂知识体系.将条件和结论位置互换(互逆命题的关系),遵循数学研究对象各要素间的内在关系(图3),顺应学生数学学习的思维走向,推动教师的教和学生的学.

图3

问题3请大家回忆等腰三角形性质和判定关系,能猜想并证明平行四边形的判定定理吗?

问题4平行四边形的判定条件与哪些要素有关?至少需要几个条件?如何证明上述结论?

追问4 你还可以提出其他命题吗?请判断真假.若是真命题,请证明;若是假命题,请举出反例.

教学说明类比等腰三角形学习路径,逆命题关系与反例教学相结合,使学生的思维能力更深层次,更加严谨.在分析教材内容和学生学情的基础上对教学内容进行了重组,彰显单元整体视野下平行四边形性质和判定定理的关系,使学生学会逆向思维,从数学内部完成定理的生成与证明,逻辑自洽,培养学生用数学的思维思考问题.反例教学更有利于发展学生的几何直观能力和逻辑推理能力,自主探究学生提出的命题是否正确,可调动学生的积极性,深度思维融入到学生的推理过程中,提升学生思辨能力.

2.4 例题展学,巩固图形特征,体现学习价值

通过例题探究,深刻感知图形特征,理解图形性质和判定方法,体悟知识的价值,提升学习力.

图4

如图4,O为ABCD的对称中心,过点O作直线MN分别交AD,BC于点M,N,连接AN,CM.求证:四边形ANCM是平行四边形.

拓展探究1 条件不变,还可以推出哪些结论?

拓展探究2 当直线MN绕着点O旋转,交ABCD的一组对边或其延长线于点M,N,以上讨论的结论还成立吗?说明理由.

教学说明进一步认识平行四边形的本质特征,即中心对称图形.在本题的分析和证明过程中,让学生深入认识平行四边形的性质和判定,体会知识间的联系和价值.

2.5 反思省学,整理知识结构,确定一般路径

对于平行四边形知识体系的学习,我们研究了哪些内容?它们之间有什么关联?对后续研究特殊的平行四边形有哪些经验上的帮助?

教学说明反思评价的目的是对学习活动和结果等进行多元化评价,总结经验、反思不足,寻求改进[6].一般观念引领下,单元整体学习的一般路径:从情境中抽象研究对象→理解新知识(猜想、归纳、验证)→建构新体系(辨析、内化、顺应)→反思提升(感悟数学知识、数学思想).在问题探究中,学生经历单元整体学习,建构平行四边形系统化概貌,体悟知识之间的内在联系,揭示数学问题的本质和规律,见树木更见森林.

3 单元整体教学的思考

平行四边形单元整体教学的核心育人价值在哪里?是利用一般观念构建研究几何图形的逻辑体系、思维结构,能够一体化培养学生的数学抽象能力、直观想象能力和逻辑推理能力.

3.1 创设有效情境,体现单元整体教学的本源

数学教材的体系结构遵循了“一定之规”,是科学研究的“基本之道”,让学生反复这个逻辑,是“讲理”的关键之一[2].几何图形是怎样来的?为什么这样定义?需要创设适切的情境,唤醒学生思维生长,抽象数学研究对象.学生通过知识整体建构,体悟到平行四边形定义是问题研究的逻辑起点,即定义是图形的充要条件,性质是一类图形的必要条件(尽可能多),而判定是一类图形的充分条件(尽可能少),两者互为逆命题.从概念中分离出图形构成要素和相关要素,明确平行四边形的研究核心是边与边的位置及大小关系,而对角线之间的位置关系是由图形旋转变换的经验而产生,帮助学生抓住知识的本源.

3.2 注重基本思想,体现单元整体教学的深度

数学思想是在知识发生、发展过程中反映出来的,是引导知识发生发展的脚手架和方向标.思想方法在何处出现,有什么用?在经历一类图形的整体研究过程中,关注思想方法在知识建构中的自然渗透.从情境创设到图形抽象,再到定义提取,关注数学抽象思想呈现的可视化路径.在平行四边形整体建构中,基于等腰三角形的学习经验,将原问题转化到三角形问题,体现整体转化思想.研究基本要素:边(构成要素大小),角(构成要素位置),对角线(相关要素位置),从实验到猜想,再到演绎证明,体现严谨的逻辑思维能力和整体学习的深度.

3.3 强调类比学法,体现单元整体教学的一致性

类比学习是沟通新知和旧知的有效途径.类比等腰三角形研究路径,整体规划,整体建构平行四边形的逻辑体系,在完整经历问题发现、提出、分析和解决的过程中,完整地经历一类图形的整体研究过程,形成几何研究的一般路径,初步体会几何研究方式的一致性.根据学生实际情况,使学生厘清单元整体学习的两条主线,即知识线(明线):定义—性质—判定—应用;思想线(暗线):抽象思维—转化思想—类比思想—推理思想.整体建构知识体系使学生在数学学习中不断体悟学法和思维路径的一致性.