数学文化浸润课堂,促进数学思维发展——以苏教版必修二“空间图形的体积”为例

戴拥春

(江苏省盐城市第一中学 224005)

1 基本情况分析

1.1 教材分析

球的体积是高中数学“立体几何初步”中的传统内容．从结构来看,是在学习了柱体、锥体和台体等基本几何体的基础上,进一步来研究球的相关问题．从知识上来看,球是一种高度对称的基本空间几何体,同时它也是进一步研究空间组合体结构特征的基础．从方法上来看,它为我们提供了另外一种求空间几何体体积的思想方法．它从属于“几何与代数”主线,并处于这一主线中知识逻辑链条的末端,不会对其他内容产生明显的影响．因此,本节内容的教学通常不受重视．

但是新高考模式下,高考试卷加大了对球相关知识点的考查,且加大了难度,这就要求我们以这部分内容为载体,让学生体会直观感知、操作确认、推理论证等研究几何对象的一般过程,并循序渐进地安排推理训练,发展学生的逻辑推理素养．

1.2 学情分析

在球的表面积和体积公式都不知道的情况下,要想到合适的方法推出其中任何一个都比较困难．因此,高中数学课堂中球的体积的教学存在着对公式直接灌输的现象,从而导致学生在学习过程中缺乏思考空间,学习动机匮乏,以及强行记忆知识点．本节课要让学生厘清知识的来龙去脉,感悟到其中的数学思想,从而发展数学核心素养．

本节课的授课对象是四星级高中的高一竞赛班学生,基础良好,部分学生了解球的体积公式,但没有经历过公式的推导过程．

1.3 教学目标及重难点解析

结合数学史素材,激发学生的探索欲,让学生在潜移默化中感知球的体积的发展历程,体验数学文化的博大精深.同时结合学生的认知水平,将本节课的教学目标确定如下:(1)感知祖暅原理等数学史对球的体积发展的影响,经历球的体积的探究过程,并掌握球的体积公式,能用公式解决简单的应用问题;(2)在体验观察、猜想、化归、类比等方法中,体验数学发展和创造的过程,感受数学之美．

本节课的教学重点难点确定为:

教学重点 球的体积公式的推导及公式的掌握和应用．

教学难点 利用祖暅原理的使用条件构造出与球体成比例的几何体来证明球的体积公式．

1.4 史料分析

公元前3世纪,阿基米德利用穷竭法求得球体积的正确公式．公元1世纪,《九章算术》认为球体的外切圆柱体与球体积之比等于正方形与其内切圆面积之比．公元1世纪,刘徽在为《九章算术》作注时发现球体积公式的错误,提出了“牟合方盖”的理论．公元6世纪初,祖暅沿用刘徽的思想,研究出“祖暅原理”,并利用该原理巧妙地计算出球体积公式．在计算球体积时使用一个原理:“幂势既同,则积不容异”．“幂”是截面积,“势”是立体的高．这是指所有等高处横截面积相等的两个同高立体,其体积也相等．上述原理在中国被称为祖暅原理,国外则一般称之为卡瓦列里原理(卡瓦列里在他的著作中记载到:祖暅原理的发现比卡瓦列里原理早1 000多年)．

本节课采用借助数学史的方式将以上历史素材融入球的体积公式的推导教学．在新课伊始,借助“祖暅原理”引出如何计算球的体积,借助实验向学生介绍球的体积的推导过程,提升学生的文化涵养．

2 教学过程

2.1 导入问题,激发学习兴趣

导入语:在生活中,存在着各式各样的球体,大到地球、小到微观粒子,球体无处不在．公元6世纪时祖暅沿用刘徽的思想,研究出“祖暅原理”,并利用该原理巧妙地计算出球体积公式.今天就让我们跟随历史上数学家的足迹,一起来研究球的体积．

问题1如何测量出一个实心球的体积?根据课前布置任务,请各小组推荐代表交流展示研学成果．

生:利用“排水法”,将球放进有水的圆柱形杯子中(图1),通过前后水位高度差可求出球的体积．

图1

生:利用日常生活中常见的球形物体,通过量筒、直尺等工具所得到的数据(图2),发现半径和体积之间的关系可用幂函数去拟合(图3),我认为球的体积公式应该是一个幂函数模型．

图2

图3

师:用“排水法”求球的体积是可行的,它是伟大的数学家阿基米德发现的．但是当球的大小变化时,每次都用“排水法”测量还是比较费事,同时通过分析数据建立球体积公式的模型是存在一定误差的．我们需要寻求一个更一般的体积公式．这就是我们今天要探讨的主要问题．

设计意图通过课前的研学方案、课堂上的集中展示,培养学生在解决问题时动手操作、主动思考的好习惯,以及敢于质疑、敢于创新的探究精神,为本节课的学习做好铺垫．

2.2 自主探究,研究公式生成

问题2根据前面的学习,我们知道同底等高的柱体体积是锥体体积的3倍.观察以下三个几何体(图4),请问V圆柱,V半球,V圆锥这三个量大小关系如何?

图4

生:根据图形外观来看,半球是介于圆柱和圆锥之间的一个几何体,得V圆锥

生:还可猜想到V半球=V圆柱-V圆锥．

设计意图通过三个几何体的比较,可有效地引发学生进行猜想,学生的思维在问题的引导下逐渐趋于明朗,虽然目前还不能确定猜想是否正确,但是为接下来的公式探究做好了铺垫．

师:我们不妨做一个试验,用以验证V半球=V圆柱-V圆锥这个猜想．

生:把圆锥放入圆柱中,然后将半球中的沙子倒入圆柱后我发现沙子刚好填满．

师:通过前面的实验探究发现,半球的体积等于从圆柱里面挖去一个同底等高的圆锥之后形成的几何体的体积．但是数学是建立在推理的基础上的,实验结果是否可靠?我们还要从理论层面对球的体积进行论证才行．

设计意图通过设置探究问题,让学生通过直观感知和操作确认,建构对球的体积的认知．鼓励学生猜想,从猜想入手,先猜后证,激发学生的学习兴趣,让学生发现并体验数学的美．

问题3祖暅原理是什么?

播放祖暅生平和主要成就的微视频(图5)．

图5

祖暅在6世纪初提出了“祖暅原理”,比意大利数学家提出的“卡瓦列里原理”早了1 000多年,由此可见,他对数学的发展作出了卓越的贡献．

问题4根据祖暅原理的使用条件,如何才能构造出两个符合祖暅原理的几何体来证明球的体积?

生:设法找到与半球“同底等高,截面积相同”的等积几何体．

问题5如何构造几何体?若把圆锥正放在圆柱内(图6),这种构造方式是否满足祖暅原理的条件呢?

图6

生:从图6中截面的特殊位置就可以看出不满足祖暅原理,当截面处于最上方时,平面截半球的截面面积为0,此时几何体的截面积为一个圆．

问题6应如何构造几何体,才能让它们满足祖暅原理的条件呢?

活动 小组合作探究,并邀请小组推荐代表展示成果．

生:根据平面截半球的截面面积的代数式S=π(R2-h2)=πR2-πh2(0≤h≤R)(图7),分析可知,关键是要找到一个可计算体积的替代几何体,使其任意截面是一个面积为πR2的截面挖去一个面积为πh2的截面.可以考虑截面为圆环的情况,当h从0变化到R时,可以发现,变化规律与在底面半径和高均为R的圆柱内挖去一个同底等高的倒立圆锥吻合(图8)．

图7 图8

师:同学们观察得比较到位,我们可以构造以下的圆锥和圆柱的组合体(图9)．

图9

问题7请同学们推导球的体积公式,小组展示．

教师利用多媒体展示动图,增强结论的可视性．

设计意图引导学生对代数式进行变形,根据代数式结构,可联想构造出圆环,从而进一步构造出“等积体”．引导学生从理论层面探索新知,渗透转化祖暅原理思想．既培养学生空间想象能力,又渗透数学文化,增强学生的民族自豪感和文化自信．

2.3 迁移创新,解决问题

例1设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,求该球的体积．

变式1 正方体的内切球．

变式2 球与正方体的各条棱相切．

图10 图11 图12

变式3 长方体的外接球．

设计意图进一步让学生体会不同几何体之间的关系,培养学生逻辑推理、直观想象的核心素养．

2.4 回标巩固,生成问题

一个球内切于一个圆柱,这个球的面积、体积与圆柱的表面积、体积之间具备怎样的关系?

设计意图此题答案在阿基米德的墓碑上能清晰地看到．将数学史料渗透到练习中,能有效推动学生探索、求知的欲望．

2.5 课堂小结

本节课学习了哪些知识和思想方法(图13)?

图13

3 教学启示

3.1 课前探索,培养创新能力

《普通高中数学课程标准(2017年版)》的课程基本理念第三条指出:“提倡独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式”[1]．本节课在课前给学生提供了相关的学习材料和探究方向,让学生经历探索、操作和思考,自主发现知识,通过排水法、函数拟合等探究方式理解并掌握球体积公式的推导原理,增强了学生的自学能力,培养了学生的创新能力．

3.2 实验探究,提升核心素养

美国教育心理学家奥苏贝尔认为,有意义的学习过程就是将新知识纳入学生原有的认知结构的过程,并使原有的知识结构不断得到改组．在课堂中融入数学实验,根据实验结果,鼓励大胆猜想,为问题探究和结论推导提供了平台,同时也促进了学生对相关知识的吸收掌握以及核心素养的培育．本节课通过小组推荐代表展示实验的过程和结果汇报,产生并解决了学生的疑惑(“如何将圆锥置于圆柱中,以符合祖暅原理的条件”),从而提高了数学学习的趣味性．

3.3 重塑历史,浸润数学文化

本节课从引导学生回顾柱体、锥体和台体的体积问题解决方案的过程中,比较得出球体美的结构中蕴含着其体积问题的高难度．导入球体积简史,让学生感知古代数学家在解决实际问题中所遇到的困难,提出“用祖暅原理解决球体积问题应如何构造与半球体积相等的几何体”这个问题．球的体积公式的推导方法凝聚了几千年数学发展中的创新精神和理性精神,闪耀着人类智慧的光芒．让学生了解知识的历史发生过程,让文化浸润课堂．