指向数学理解 引领单元复习——以“二次函数”单元复习课为例*

赵 岩

(江苏省苏州高新区景山实验初级中学校 215129)

1989年全美数学教师理事会(NCTM)明确提出:“数学课程的重点应该是‘数学概念和理解’,数学教育研究者和教学设计者要将数学理解作为数学研究的首要重点．”[1]数学理解是指学习者经历对数学对象的理解性学习后,形成了对数学对象及其知识外延的本质性认识．21世纪以来,国内外也涌现了诸多相关数学理解的内涵、价值、过程与水平层次的研究．顾泠沅先后通过两次大样本调查,确定了数学理解的水平分析框架,将数学理解划分为“记忆性理解水平”“解释性理解水平”和“探究性理解水平”[2]．在前人研究的基础上,李春雷等将数学理解的水平划分为认知和情感两大维度．从认知维度出发,数学理解可以划分为“工具性理解”“关系性理解”与“创造性理解”;从情感维度出发,主要包括“文化性理解”[3]．该划分为基于数学理解的教学提供了理论参考．

随着后建构课堂的提出,单元复习课的研究也逐渐受到重视．单元复习课是在一个单元内容的教学结束后,专门对该单元所涉及的数学知识、思想、方法进行梳理,促进学生形成知识体系,深化知识理解,提升综合能力．函数是中学数学的核心内容,是联系数学不同分支的纽带,是研究变化过程的重要数学模型．函数学习重在理解．在函数单元复习中,学生对函数已经拥有了丰富的认识,那么促进学生形成高水平的数学理解应是课堂教学的关键．本研究基于数学理解认知维度的水平框架,以“二次函数”章节复习课为例,阐述深化学生数学理解的单元复习课教学策略．

1 巧用课前任务单,夯实工具性理解

工具性理解水平是指学生掌握了相关数学知识,并能应用于简单问题的解决．在单元复习阶段,大部分学生在先前的学习中已经能够达到工具性理解水平,但并未形成单元知识的系统结构．学习任务单是教师根据教材特点和学情分析,为实现学习目的而为学生设计的一种支架．任务单有助于唤醒学生对整个章节知识的回忆,促进学生对单元知识的工具性理解．在单元复习课的设计中,需要借助任务单激活学生的已有认知,帮助学生抓住某一线索来形成单元知识的基本框架,进而达到夯实学生工具性理解的目的．

案例1二次函数章节复习课前任务单．

已知二次函数y=(m-1)xm2-m+2．

(1)求m的值．

(2)画出函数示意图,并求出抛物线开口方向、对称轴和顶点坐标．

(3)x为何值时,y随x的增大而减小;x为何值时,y有最大(小)值,这个最大(小)值是多少?

(4)将该抛物线向上平移3个单位,求得到的新抛物线的函数表达式,并说出它的相关性质．

(5)将该抛物线向右平移2个单位,求得到的新抛物线的函数表达式,并说出它的相关性质．

(6)将该抛物线先向左平移2个单位,再向下平移3个单位,求得到的新抛物线的函数表达式,并说出它的相关性质,填写表1．

表1

(7)从平移关系、顶点变换两方面来思考二次函数y=a(x+h)2+k与y=ax2的关系．

设计说明单元复习课的首要目的是梳理知识,知识梳理的目标是以核心知识点为结点,以知识的发生发展为主线,建立多元联系、达成前后相依．任务单的设计是基于对二次函数知识的理解,包括概念和图象与性质．概念是以形式作为问题唤起学生的回忆;图象与性质以y=ax2为主线进行抛物线性质的回顾,再通过左右和上下平移建立多元联系,得到顶点式的图象与性质．最后第(7)题让学生通过前后相依的问题,自然连贯地思考y=a(x+h)2+k与y=ax2的关系．

好的开始是成功的一半．单元复习课知识点多,课前任务单的使用有助于减少复习课上知识点零碎的状况,同时帮助学生厘清知识点之间的关联,夯实学生对章节知识的工具性理解．课前任务单让学生课前完成,初步建立基本知识体系,同时,教师能充分了解学生存在的问题,从而决定课堂教学的侧重点,使得教学内容更符合学生的需要,有助于学生理解、掌握基础知识．

2 以问题链为载体,促进关系性理解

“关系性理解”注重的是数学知识获得的过程性及结构性,表现为“知其所以然”．处于关系性理解水平的学生,能够对数学原理、定理、规则进行逻辑分析或证明,对于数学知识的形成应提升为数学思想方法层面,与关联知识进行逻辑联结,将一系列数学事实构建成知识体系和模型．“问题链”是指在课堂上呈现给学生的、有序的主干问题串．数学问题链期望能为学生提供数学发展的过程及其体现的数学方法论．“问题链”教学不仅能为学生提供思考的问题,在内容上引导学生思考获得高水平的思维,而且问题与问题之间的跨度能为学生多角度思考和探索提供可能性．问题链教学透过问题的有机连接,让学生在解决系列问题的过程中构建知识体系,与周围知识进行联结,深化对知识结构的理解．

案例2二次函数复习课的问题链．

主干问题1:二次函数顶点式与一般式的关系如何?

将抛物线y=-x2进行平移,得到一条新的抛物线．

子问题1.1:该新抛物线的顶点坐标为(2,5),求该抛物线对应的函数表达式.

子问题1.2:该新抛物线经过点(0,3),(1,4),求该抛物线对应的函数表达式.

子问题1.3:变式得到的新抛物线由抛物线y=-x2如何平移得到?

主干问题2:二次函数与对应的方程、不等式的关系如何?

图1

如图1,变式得到的新抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C．

子问题2.1:求点A,点B的坐标.

子问题2.2:当y>0时,求x的取值范围.

子问题2.3:直线BC的解析式为y=kx+b,当-x2+2x+3>kx+b>0时,求x的取值范围.

主干问题3:二次函数图象中点、线、面之间的关系如何?

图2

如图2,变式得到的新抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,连接BC．

子问题3.1:点P为直线BC上一点,点P到A,B两点的距离相等,求点P的坐标.

子问题3.2:点P为线段BC上一动点,过点P作PQ∥y轴,交抛物线于点Q,设点P的横坐标为m．用m表示线段PQ的长度,并求出线段PQ长的最大值．

子问题3.3:点P为线段BC上一动点,设点P的横坐标为m．用m表示△PBC的面积,并求出△PBC面积的最大值．

设计说明单元教学是以主题为核心进行教学设计,关注知识的整合,依据某一核心概念形成知识链．以核心问题为主线的问题链教学很好地契合了复习课的这一要义．二次函数这一章节的主题依照《义务教育数学课程标准(2022年版)》的要求是:理解函数图象与表达式的对应关系;理解函数与对应的方程、不等式的关系,增强几何直观;会用函数表达现实世界事物的简单规律[4]．因此,在问题链的设置中确定了如上的三个主干问题,通过序列化子问题的设置,学生在具体实例的基础上理解与把握课标的要求,同时得到如图3所示的关系图式．

图3

以问题来构建知识之间的关联,将看似毫无关系的数学各分支构成逻辑联结,并融汇为一体揭示知识之间内在联系．在构建问题链的过程中,首先需要明确所教学的数学主题与其他主题之间的关联,并构思相关的联结点,如二次函数复习课涉及到转化思想、数形结合的思想、以线研面的方法.其次,需要思考该课学习过程中需要解决的核心问题及其顺序,如这节复习课核心问题的顺序应是:自身的关联、与其相关的内容关联以及其他元素与其关联．最后,需要结合学生的情况,构建主干问题链驱动学生的学习．依据核心内容设置与之关联的高质量主干问题是核心,围绕主干问题铺设有利于学生思考与探索的子问题是关键,各个环节是相互联系的,改善了数学课堂教学中提问的离散与随意,让学生在解决系列问题的过程中进行关系性理解,从而获得解决问题的关键能力．

3 开展项目学习,提高创造性理解

“创造性理解”注重的是数学知识的关联性及扩展性,表现为“知新的‘然’,所以然”．处于该水平的学生,能够将数学观念运用于新的数学情境,在新的情境中举一反三,解决一些复杂的问题.相对而言,创造性理解是更高层级的理解,具有创新的特征．项目化教学以用数学方法解决现实问题为主,教师先引导学生发现解决现实问题的关键要素,收集信息并分析问题的数量关系,然后协助学生研究讨论问题的解决途径,用数学的思维分析要素之间的关系并发现规律,培养模型观念,并个性化展示和总结问题的本质规律,培养应用意识和创新意识．项目化教学所涉及的问题主要是现实世界中具有开放性的问题,问题解决需将现实问题转化为数学问题．教师可以指导学生从日常生活中发现好的选题,从而提高学生的创造性理解．

案例3公园种植花卉面积最大问题．

如图4,已知苏州高景山公园内有一块抛物线形的空地,A,B,C,D为4个岔路口,并且岔路口A与B、岔路口C与D关于直线l对称,在抛物线CD部分寻找一点Q,过点Q作PQ∥l,交直线BC于点P．现要在四边形CPDQ内种植花卉．问:如何选择点Q的位置使种植面积最大?

图4

建议按以下流程进行:

(1)成立合作小组,确定工作目标,讨论需测量的数据,准备测量工具;

(2)小组成员查询资料,进行讨论交流,寻求科学有效的测量方法,设计测量方案;

(3)分工合作,明确责任,比如:测量、记录数据、计算求解、撰写报告、交流等;

(4)展示成果．

设计说明单元复习课要培养学生从现实世界发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力,从而获得终身学习的能力．项目学习,以问题解决为导向,让学生从数学的角度观察与分析社会生活遇到的现实问题．二次函数图象在生活中经常出现,案例中“种植面积最大”问题的解决实际上涉及数学建模、求二次函数解析式、面积等数学知识,需要学生动手实践,更体现活动的过程性,丰富学生的体验．

项目学习的最终目的是学生能够在未经历的全新的问题情境中进行概括,把所学知识作为一种解决问题的手段、方法甚至思路．项目学习的资源应揭示数学的本质问题,教师将识别的本质问题转化为适合学情的、有一定创造性的驱动问题,学生才会积极投入.本案例中,以求出使面积最大的点为目标,驱动学生思考并解决问题.项目学习要丰富学生实践,只有经历实践才能较好地解决情境问题,如要解决本案例中的问题,学生得进行小组合作,分工完成这个项目.项目学习要充分考虑学生已有的数学知识基础和数学活动经验,如在遇到本案例之前,学生已经有过测量和建系的经验,学生不难通过建系来求出对应的函数表达式．项目学习以学生发展为目标,让学生经历合作交流、发现问题、提出问题和解决问题等过程,提高创造性理解．

4 结语

数学理解是发展学生数学核心素养的基础与关键．在素养为本的时代下,指向学生高水平数学理解发展的教学应成为数学教育的重要目标．在单元复习课中,教师应立足学生的经验性理解,设计课前任务单、问题链、项目学习等,有效帮助学生获得对数学知识的深刻认识与深入理解．最后,值得指出的是,文化性理解的价值也不容忽视．在单元复习课中,教师可以选取生活情境、历史情境,增添课堂的文化韵味,发挥文化育人之效．