提取“数的大小比较”为大概念的依据及教学思考——以人教版一道习题为例*

万福昌

(江苏省苏州市陆慕高级中学 215131)

全国高考卷常出现数的大小比较问题,如2020年全国Ⅰ卷理科卷、2021年全国Ⅰ卷理科卷、2022年全国新高考卷等．数的大小问题也高频出现在各种模拟试题中,引起了许多一线教师对数的大小比较问题进行探究．数的大小问题不仅是考试的热点,也是高中数学教学的难点之一．本文以人教版教材一道对数比较大小习题为例,探究解决数的大小比较问题的思路和方法,依据新课标,基于大概念观点,小中见大,呈示解法,把握解法本质,籍此阐释提取“数的大小比较”作为大概念的依据,并对该问题的教学进行思考．

1 习题及解法探究

题目比较log23,log34,log45三个数的大小．(人教A版必修第一册第141页第13(2)题)

考虑到学生解题有难度,故将题目放置在教材“拓广探索”题中．多数教师在教学中发现:学生由于刚刚学完对数函数一节内容,没有对数大小比较的解题经验,在解决本题时确实感到困难．

·思路1——倍增法

解法1因为5log23=log2243∈(7,8),5log34=log31 024∈(6,7),5log45=log43 125∈(5,6),所以5log23>5log34>5log45,从而 log23>log34>log45．

说明从数的角度看,倍增法就是将数值接近的数改变倍数,拉开差距,再进行比较．依据不等式性质a>b⟺ka>kb(k>0)．从形的角度看,由klogam=logamk,对数函数图象上的点(m,logam)和(n,logbn)分别变为(mk,logamk)

(k>1),(nk,logbnk)(n>1),两点之间的距离变大,更易观察函数值的差异．若仅比较log23和log34的大小,只要同乘以2即可．

·思路2——减数法

说明从数的角度看,每个数先减去2再进行比较．为什么两个数的绝对差值没有变化,却能便于比较呢?我们还要看到背后的数学本质．我们从形的角度看,同减去2使得真数值发生了变化,相当于将函数图象上的点变换到图象左侧更陡的一段上,拉开了两点的距离,便于确定中间数．

以下解题思路和解法,都可从数或形方面理解,不再在说明中具体阐释．

·思路3——中间值法

说明中间值法难点在如何确定中间值．微调真数的根指数,凑成底数的指数幂形式后放缩,这是解题的关键．其本质就是放缩成同底数的对数函数,运用对数单调性进行大小比较．

·思路4——作差法

·思路5——作商法

说明作商法是比较大小的常用方法．作商后一般用换底公式化为同底对数,再凑成底数的指数幂形式,进行真数放缩,达到与1比大小的目的．

·思路6——斜率法

说明根据已知构造分式结构,运用数形结合思想,联想两点的斜率,即一次函数的一次项系数,画图,由直观得出结论．

·思路7——构造函数法

说明构造函数,求导后判定函数的单调性,继而进行数的大小比较．

·思路8——化指数法

说明指对数互化是解决指对数问题的常用方法之一．对数式化为指数式,巧变为3y-x与1的比较,基本思路是产生指数y-x,思路简单自然．解法11和解法12参考了文[1][2]．

·思路9——换底不等式法

结论1 设n>m>1,p>0,q≥1,则有logpm+q(pn+q)

具体证明过程参阅文[3],运用结论1可以快捷获解．

解法13当p=1,q=1时,分别取m=2,n=3和m=3,n=4,有log23>log1×2+1(1×3+1)>log1×3+1(1×4+1),即为log23>log34>log45．

结论2 设n>m>1,p>0,q≥1,则有logpmpn

具体证明过程参阅文[3],运用结论2可以快捷获解．

说明结论1和结论2称为换底不等式．

·思路10——泰勒展开式法

2 提取“数的大小比较”作为大概念的依据

大概念的提取是“大概念教学”的前提,浙江大学教育学院刘徽总结了大概念提取的八条路径,即课程标准、学科核心素养、专家思维、概念派生、知能目标、生活价值、学习难点和评价标准．其中,前四种是自上而下提取的,由此方式提取的大概念往往是“现成”的,难点在于教师能否准确理解大概念;后四种是自下而上提取的,难点在于是否能沿正确的方向上升到大概念的层面[4]．

课程标准是国家课程的基本纲领性文件,因此,原则上所有大概念的提取都要参照课程标准,甚至从课程标准可以直接提炼大概念[4]．高中数学将不等关系作为内容之一放置在主题一“预备知识”中,函数是现代数学最基本的概念,是描述客观世界变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具．函数单调性的概念是用数的大小比较形式来定义的,数的大小比较能体现几种常见初等函数的性质运用的价值．

知能目标,即知识和技能目标,也可以向上提炼为大概念[2]．从小学的整数大小比较、分数大小比较,到初中的有理数大小比较和实数大小比较,学生积累了一定的比较经验,但比较大小的经验是低级的、不连贯的,到高中经过提炼,可以将它们上升为“依据不等式性质,构造函数进行大小比较”这一大概念．

数的大小问题,题目虽短小,但其内涵丰富,能较好体现《中国高考质量评价体系》的“一核”“四层”“四翼”的要求．

(1)能考查函数主题的知识掌握情况

人教2019 A版高中数学教材中出现了近百道大小比较习题,可见数的大小比较是学习新课标主题内容的重点题型,有利于考查不等式性质,有利于函数性质的运用,在平时教学中应该引起高度的重视,视为教学重点之一．《普通高中数学课程标准(2017年版)》(下称《课标2017》)指出:在数学高考命题中,考查内容应围绕数学内容主题,聚焦学生对重要数学概念、性质、方法的理解和应用,强调基础性．数的大小问题能考查函数主线的概念、性质,在教学函数性质时要多时段地进行教学设计,让函数性质的学习在大小比较中得到提升．

(2)能考查数学关键能力

数的大小比较,一般要进行转化、变形、估算、放缩,能很好地考查学生的解题方法、计算能力、数据处理能力、推理能力、建模能力,以及运用数形结合思想方法的解题能力．数的大小比较习题有区分度,有利于选拔人才,也能体现基础性、综合性、应用性、创新性(即“四翼”)的高考考查要求．

(3)能考查数学建模等核心素养

《课标2017》中提出六个数学核心素养,数的大小问题可以一个题目考查学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学素养,特别能考查数学建模素养．数的大小比较的本质方法是构造函数法,由具体的数构造相应的函数就是一个微型数学建模的过程,其中包含数学建模过程的关键步骤,所以数的大小比较能考查学生的建模能力和素养．

综合课程标准和高考评价要求、新教材、新高考等诸多因素,“数的大小比较”可以确定为中学数学的大概念．

3 大概念下“数的大小比较”教学思考

《课标2017》重视以数学大概念为核心,使课程内容结构化,促进数学核心素养的落实．数学学科大概念并非指学科中某一具体的概念或方法,而是这些具体知识背后能反映数学本质的、更为核心的、具有普遍性和广泛解释力的原理和思想方法．它具有抽象性、中心性、意义性、结构性、包容性和迁移性等基本特征．大概念教学需要注意概念深度学习,多层次、多时段组织教学,不断升华大概念的内涵和外延,不断构建系统化的方法体系．

(1)重视大小比较的全景设计

近些年来全国各套高考试卷对(指、对、幂、三角)函数值大小比较的考查主要集中在指对互化、(指、对、幂、三角)函数的运算性质、图象、单调性以及不等式性质等内容,有一定难度,偶尔作为压轴题出现．平时教学中尽量不补充新结论,不增加学生学习的负担．突出不等式基本性质的运用,如解法1十分简单,其背后蕴含着不等式的性质．突出函数单调性,应重视(指、对、幂、三角)函数的性质与图象的掌握以及常见的大小比较方法,如作差、作商、图象法、构造函数等方法的训练,夯实基础知识,掌握基本技能,提升解决问题的能力．

本文提供了数的大小问题解法全景,如何在教学中选用、取舍、择时?这是值得思考的问题,需要进行整体设计．解法13和解法14的解题过程虽然简单,但学生需要知道对数不等式的二级结论,解法15涉及到高等数学知识,这些方法只能针对学有余力的学生．解法9要在学习了解析几何直线斜率知识后方可再次学习,解法10则要在学习导数后方可再次学习．总体上,我们在进行数的大小比较问题教学时,需依据课标要求,符合高考评价要求,结合学生学情,重视课本习题,既要设计好每一处大小比较问题的教学,也要进行整体设计．

(2)重视数学本质的把握,提升学生学科素养

指、对、幂、三角函数有关数大小比较的问题蕴含着非常丰富的数学思想和灵活的数学方法,包括转化与化归、分类与整合、代数与几何、局部与整体等．通过指、对、幂、三角函数的学习和研究,在数的大小比较教学过程中,学生思考和解决问题的能力能得到有效的强化和提升．由于指、对、幂、三角函数值比较大小问题的考查是高考中较为稳定的考查方向,容易形成一些固定的解题套路、形成思维定势,在日常教学中要引导学生一题多解、一题多思,在掌握常规思路的同时培养发散思维．数的大小比较和和其他数学概念一样,可以从数和形两个方面把握其本质．教学中要重视构造函数方法的教学,既要重视同类函数值的比较,也要重视不同类函数值的比较,引导学生观察数学结构特征,联想函数解析式、函数图象和性质,运用导数与不等式等数学工具,确定解决问题的策略和方法,提升综合应用能力．