圆锥曲线中的一组统一性质

【摘 要】  借助《几何画板》对文［1］进行了更加深入的分析和研究，发现了圆锥曲线中的一组统一性质并加以证明，现与大家分享，以期为教师的教学和研究提供参考 .

【关键词】  圆锥曲线；法线；焦半径

性质1  若抛物线y2=2px（p>0）上某点P的法线与x轴交于点G，过点G作焦半径PF的垂线l，垂足为L，过点P作x轴的垂线，垂足为N，则 GL = PN .

证明  如图1，设P（x0，y0）（x0≠0），易知F  p 2 ，0 ，则过点P的法线方程为p（y－y0）=y0（x0－x）.当y=0时，x=x0+p，即G（x0+p，0）.

又直线PF的斜率为kPF= y0－0 x0－ p 2  = 2y0 2x0－p ［1］，则直线PF的方程为y= 2y0 2x0－p  x－ p 2  ，整理得2y0x+（p－2x0）y－py0=0.

于是 GL =  2y0（x0+p）－py0   （2y0）2+（p－2x0）2  =  2x0y0+py0   4y20+（p－2x0）2  .

而y20=2px0，代入上式得

GL =  y0  2x0+p   8px0+（p－2x0）2  =  y0  2x0+p   （2x0+p）2  = y0 = PN .

性質2  若椭圆 x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）上某点P的法线与x轴交于点G. F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过点G作焦半径PF1的垂线l，垂足为L，过点P作x轴的垂线，垂足为N，则 GL =e PN .

证明  如图2，设P（x0，y0）（x0≠±a），易知F1（－c，0）、F2（c，0），则过点P的法线方程为：a2y0x－b2x0y－（a2－b2）x0y0=0.    图2

当y=0时，x=e2x0 ， 即G（e2x0，0）.

又直线PF1的斜率为kPF1= y0 x0+c ［1］ ，

则直线PF1的方程为y= y0 x0+c （x+c），整理得y0x－（x0+c）y+y0c=0.

于是 GL =  e2x0y0+y0c   y20+（x0+c）2  =  y0  e2x0+c   y20+（x0+c）2  ，

而由 x20 a2 + y20 b2 =1 ， 即 y20=b2－ b2 a2 x20 代入上式得：

GL =  y0  e2x0+c   b2－ b2 a2 x20+（x0+c）2  =  y0  e2x0+c    1－ b2 a2  x20+2cx0+b2+c2  =  y0  e2x0+c    c2 a2 x20+2cx0+a2  = e y0  ex0+a     c a x0+a 2  =e PN .

性质3  若双曲线 x2 a2 － y2 b2 =1（a>0，b>0）上某点P的法线与x轴交于点G. F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过点G作焦半径PF1的垂线l，垂足为L，过点P作x轴的垂线，垂足为N，则 GL =e PN .

证明  如图3，设P（x0，y0）（x0≠±a），易知F1（－c，0）、F2（c，0），则过点P的法线方程为：

a2y0x+b2x0y－（a2+b2）x0y0=0.当y=0时，x=e2x0，即G（e2x0，0）.

又直线PF1的斜率为kPF1= y0 x0+c ［1］ ，

则直线PF1的方程为y= y0 x0+c （x+c），整理得：y0x－（x0+c）y+y0c=0.

于是 GL =  e2x0y0+y0c   y20+（x0+c）2  =  y0  e2x0+c   y20+（x0+c）2

，而由 x20 a2 － y20 b2 =1 ， 即 y20= b2 a2 x20－b2 代入上式得：

GL =  y0  e2x0+c    b2 a2 x20－b2+（x0+c）2  =   y0  e2x0+c    1+ b2 a2  x20+2cx0+c2－b2  =  y0  e2x0+c    c2 a2 x20+2cx0+a2  = e y0  ex0+a     c a x0+a 2  =e PN .

综合性质1，2，3可得： 统一性质  若圆锥曲线E上某点P的法线与对称轴（抛物线指对称轴，双曲线指实轴，椭圆指长轴）交于点G，过点G作焦半径的垂线l，垂足为L，过点P作对称轴的垂线，垂足为N，则 GL =e PN .

参考文献

［1］  刘立伟.圆锥曲线中一组漂亮的统一性质[J].数学通讯，2012（09）（下半月）：20-21.

作者简介  刘立伟（1980—）， 吉林桦甸市人，中学一级教师；辅导学生多人次获得数学竞赛一等奖；主要研究数学竞赛中的平面几何内容以及平面解析几何内容；发表论文10余篇.