聚焦数学建模 释放学习活力

［摘  要］ 以学生发展为本，以建构线段法求最值活动为载体，让学生用数学语言、数学方法等数学工具归纳出纯关系的数学结构，体会数学建模思想，深谙数学建模活动内涵，养成建模习惯，形成创造性思维，释放学习潜力，培养数学能力.

［关键词］ 数学建模；线段法；最值问题

基金项目：福建省教育科学“十四五”规划2021年度教改专项课题“基于教、学、评一致性的中学数学实践研究”（Fjjgzx21-221）.

作者简介：王金水（1970—），中学高级教师，厦门市专家型教师，从事中学数学研究工作.

在减负增效、提倡个性、着重实用的今天，数学的应用价值、数学建模能力越来越受到重视. 数学建模将某一复杂的实际问题，运用数学思想方法描述、抽象、简化，建立数量关系或空间关系，形成结构模型，在模型求解中不断反复验证完善，从而解决该类问题.

数学建模的本质就是以问题意识为引领，渗透模型思想，将数学生活化，学生在建模中逐渐学会发现问题，提出解决方案，形成创造性思维，养成数学应用意识，促进学生的全面发展，提高综合能力. 数学建模是现实生活与数学之间的桥梁，实现数学与现实互通，促进理论与实践相结合，是充满个体“思维构造”的创造性活动. 因此，数学建模不仅是一种数学技术、一种思想方法、一种数学工具，也是一种实践过程、一种创造思维. 其教学流程大致如图1所示.

建模需要对所需要解决的实际问题进行刻画，而实际问题往往因素众多、错综复杂. 因此教学时，教师先要引导学生用数学眼睛观察并认识实际问题情境，抓住现实问题的基本实质，根据其特有的内在规律，抽象概括成简洁的数学问题，发挥学生的创造力；然后用恰当的数学工具和相关知识，用数学语言和方法，分析与描述各變量之间的数学关系［1］，进而建立数学模型寻求解法，再进行计算验证，发展学生的内在动机. 建模过程不可能一蹴而就，要经过多次思考、检验，完善数学模型，以强化应用意识、创新意识，增强学习效果、科学精神.

因此，大力开展数学建模教学，已成为课堂变革的突破口和生长点. 怎样把数学建模思想融入课堂教学，怎样依据某种规律建立数学模型，怎样利用数学建模解决实际问题，实现从一道题到一类题的飞跃，从而提升学生的思维能力与实践能力［2］，是目前数学建模的研究主题. 笔者结合最值问题的探索，尝试利用线段法建构一种纯关系的数学结构，以期实现数学建模在课堂教学中落地生根，最终释放学生的学习活力.

建构数学模型释放学习潜能

模型一：动点在直线上的最值问题

问题1  （“将军饮马”问题）：白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河. 将军在如图2所示的点A处，现在他要牵马去河边饮水，之后返回军营的点B处，将军怎么走能使路程最短？

实际问题是建模的开端. 从“现实情境”转化为“数学模型”，让学生用数学语言描述模型，初步运用建模思想去审视、分析，进而解决实际问题.

生1：如图3所示，上述问题可抽象为：点A与点B是河岸NM同侧的两定点，在河岸NM上找一动点P，使PB+PA的值最小.

生2：利用轴对称性质，根据线段法，作A点关于NM的对称点A，连接AB交NM于点P，线段AB的长即为PB+PA的最小值.

生3：也可以作B点关于NM的对称点B，连接AB交NM于点P，线段AB的长即为PB+PA的最小值.

两种解法都是线段法，通过简化或结构化现实情境，不仅使数学知识回归到现实世界，解释现实问题，也实现了认知结构化.

问题2  如图4所示，若A点在NM上，其他条件不变，此时PB+PA的最小值又如何？

生4：将军在河岸NM上，牵马饮水后直接回军营，线段AB的长即为所求的最小值.

生5：借鉴问题1，其实点A关于直线NM的对称点就是它本身，此时P点即为A点.

让学生多点“奇思怪想”，在分享彼此的想法和思路时，提升感悟关键信息的能力，创造一种积极思考、勇于探索的宽松气氛.

问题3  如图5所示，若将军在A处牵马饮水后，沿河岸NM走了一段路程AP，再沿着PB回到军营B，则P在NM何处能使PB+PA的值最小？

此问题承上启下，引导学生树立继续建模的信心.

生6：把PA转换成另一条新的线段是解决此问题的关键.

利用线段法建构一种纯关系的数学结构是解决这一问题的关键.

生7：借助三角函数，我联想到了sin30°=.

生8：如图5所示，根据sin30°=，作∠MAK=30°，再作PD⊥AK于D，则PD恒为PA.

生（众）：由图5可知，当BC⊥AK于C时，PB+PD≥BC，故当动点P在Q点的位置时，PB+PA的最小值即为BC的长.

生9：可以发现，只要题目改成PB+PA（n>1）的模型，解决策略都与生8的类似，即构造sin∠MAK=.

生10：此问题可归纳成在一线上找一动点P到线外一定点B的距离与线上另一定点A的距离的之和最小的问题.

生11：这种模型的解决策略就是把折线问题转化成直线问题，再运用线段法求最值.

学生经过充分思考、讨论、尝试，最终用一个符号系统去表征原型，发展了处理信息及归纳思维的能力. 在模型求解中，形成了一套关于数学的描述，促使学生高水平的智力参与，提高了学生的数学思维品质［3］.

提升建模素养不仅需要反思和交流，也需要问题和情境. 当然，还需要检验、修正与完善.

问题4  （应用）如图6所示，已知一次函数y=kx-2的图象与x轴相交于点A（-2，0），与y轴相交于点B，点P的坐标为（0，m）. 求PA+PB的最小值.

明确建模方向，应用模型思想，构造相应的数学结构.

生12：本题符合PB+PA（n>1）的模型，根据其解决策略，把·PA+PB转化成

PA+PB，只要求出PA+PB的最值即可.

生13：建构线段法求最值的模型，我联想到了sin45°=.

生14：如图7所示，作∠OBC=45°，再作AH⊥BC于H，与y轴相交于点P. 线段AH的长即为PA+PB的最小值.

生15：△AOP与△BHP均是等腰直角三角形，由AO=2，OB=2，可得AP=2，PB=2-2，PH=，此时PA+PB=·

PA+PB=AH=·（AP+PH）=×［2+×（2-2）］=2+2.

生16：还可以由BH=，AB=4，AH⊥BC，以及勾股定理得AH=+. 所以PA+PB=AH=2+2.

反复建模检验，促使学生有意识地从不同的角度思考优化解决办法，以提高解模的能力.

生17：能不能直接把PA转化成其他线段？

这又是一个思路，转化PA的问题再次唤醒了学生的思考动机.

生18：由等腰直角三角形的斜边是直角边的倍，可把PA当成等腰直角三角形的斜边.

生19：如图8所示，作CA⊥AP，取CA=PA，连接PC，则△PAC为等腰直角三角形，有PC=PA. 此时，问题转化成求PC+PB的最小值.

生20：作CQ⊥y轴，垂足为Q. 根据PC+PB≥BQ，当点C与点Q重合时，线段BQ的长即为PA+PB的最小值，此时△PAQ为等腰直角三角形，OP=OQ=OA=2，所以PA+PB的最小值为BQ=OQ+OB=2+2.

此解决方法之巧，主要是建立了一个结构模型，用了一個简洁的数学结构替代原型，体现了创造性思维. 事实上，数学建模是揭示事物内在的运行方式，数学建模能力影响着问题解决的成效.

模型二：与曲线有关的最值问题

问题5  （动点在曲线上的模型）如图9所示，已知☉O的半径为6，OB=9，定点A在☉O外且不在OB上，在☉O上找一个动点P，使得PA+PB的值最小.

提供多层次的数学背景，创设动点在曲线上的问题情境，多层次寻求建模点和方向. 此问题充满了挑战和创造性，足以让学生重新思考已建立的数学模型.

生21：发现本题的动点在曲线（圆）上而非某一直线上.

生22：圆周也可以看作“将军饮马”问题中的“河岸”，此时A，B两点在“河岸”的同侧，需要把这两点的位置转移到“河岸”的异侧. 由于B点的位置比A点更具体，因此把定点B的位置转移到圆内某一定点即可.

生23：OB所在直线过圆心O，定点B在圆内的“对称点”必在OB上.

生24：发现△POB中的OP与OB之比恒为定值，可借助三角形相似转化PB，从而在OB上找到B的“对称点”.

生（众）：B关于圆的“对称点”在哪里？

学生不经意的一句话，道出了解决本题的核心与关键.

生25：利用子母型相似模型，在△POB内部，以∠POB为公共角，构造一个△COP，使之与△POB相似. 如图9所示，在OB上取OC=4，则=. 连接PC，则△BOP∽△POC，得==，所以PC=PB. 因为AP+PC≥AC，即线段AC的长为PA+PB的最小值.

生26：此时动点P的位置，即为AC与☉O的交点Q的位置.

生27：本题的关键是什么？

生28：确定C点的位置.

生29：除了要求C点必须在线段OB上（圆内）的位置外，还有什么数量要求？

生30：必须满足=，即OP 2=OC·OB. 若☉O的半径为r，则OC=.

……

通过与学生所熟悉的数学结构、模型相结合，化曲为“直”，为学生开辟了一道建模素养发展的途径. 在重新构建模型的过程中培养学生独立思考、团结协作、实践创新，形成一套关于解决问题的程序.

问题6  （动点在直线上的模型）如图10所示，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，☉O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上，设D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求☉O的直径AB的长.

寻求建立恰当模型的方法和过程就是建模思想落地生根的过程.

生31：由于动点D在线段AC上运动，联想到动点在直线上的模型，作CF∥AB，则∠ACF=30°. 如图10所示，作DG⊥FC，把CD转化为DG；作OH⊥FC，则CD+OD的最小值即为OH的长. 根据题意有OH=6，又∠OCH=60°，则OC=2，则AB=4.

一针见血地指出问题要点，这就是实践价值，学生纷纷指出，动点在曲线上的最值问题，得先构造三角形相似，然后转化为相关线段，再通过线段法去解决.

问题7  （动点在曲线上的模型）如图11所示，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB=2，以点B为圆心作☉B与AC相切，P为☉B上任意一点，求PA+PC的最小值.

再次为学生创造建模素养发展的机会，使学生充分了解数学建模的意图，以提升其应用能力和创新意识.

生32：动点P在☉O上运动，联想到前面的模型，在BC上取点D，构造三角形相似，转化PC. 如图12所示，易求☉B的半径为，在BC上取BD=1，连接AD，BP，PC，则△BPD∽△BCP，得PC=PD. 所以PA+PC的最小值为AD的长，即.

在线型与非线型问题的背景下建构线段法求最值的活动，采用原型启发和酝酿的方式，给学生提供建立数学模型的机会，在建模思想的渗透、启迪、运用下完成知识、思维、能力三者统一，实现充满智慧能力和高格调的课堂转型.

建构数学模型，实现课堂变革

建模是一种综合性极强的数学素养，能改善学生的学习方式，激发学生的学习动机和兴趣，建立良好正确的数学观，养成严谨的数学思维方式与方法，进而锻炼学生的思维，开发学生的智力，发展学生的个性，培养学生的特长. 因此，数学建模具有重要的育人价值，是实现课堂变革的一个突破口. 在教学中，教师应聚力课堂变革的关键问题与方向，潜心于课堂创造与学习变革，以建模的视角去思考课堂的本质，点燃学生个体创造潜能的“火种”. 具体而言：

首先，培养学生的数学建模意识. 建模是不断迭代学习的过程，要精拟建模问题，营造良好的建模氛围，鼓励学生大胆建模，逐步渗透建模策略，使学生在“发现→归纳→总结→解决”问题中，逐步将情境结构化，将问题数学化，并通过多次循环执行，多角度、多渠道、多观点、多层次寻求解决策略，以完善模型的理解与应用，进而找出模型结构，形成成套链条.

其次，重视数学建模思想的渗透. 教师要加强建模课程的钻研，把渗透数学建模思想作为首要任务，从数学的角度聚焦建模方法，讲授解模思想，总结模型特征，提出有指导性的策略，带动学生能用新的模型来模拟原来的模型［3］，进而提升学生的数学建模能力.

再次，着重模型的实践与应用. 数学建模是从现实世界到数学世界［4］，关系着能否用数学眼光观察世界，能否解决现实生活中的问题，能否用数学思维思考世界，能否唤起学生的数学应用意识. 事实上，脱离情境，知识就只剩下符号.  建模是应用数学知识的重要途径，学生通过建模能了解知识产生的根源，拓宽知识面，形成合理的数学结构，实现知识迁移，提高个体综合实践能力.

教学改革难就难在课堂，要实现课堂变革，应把数学建模能力的培养确定为课堂变革的方向与目标. 在教学中，教师要引导学生着力把一个模型“学得透，学得精，用得活”，让学生经历完整的数学建模，悟出数学模型的约束条件，学会对数学模型追本溯源、广泛迁移，学会用数学模型解决实际问题，进而奠定建模素养发展的基础. 唯有如此，才能真正为学生发展建模素养提供保障，激发学生的数学学习兴趣，帮助学生释放学习潜能，发挥建模活动的价值，让课堂充满生机与活力.

参考文献：

［1］雍庆. 基于数学核心素养的中学“数学建模活动”教学设计［D］. 西华师范大学，2018.

［2］王金水，张洁，林晴岚. 指向核心素养的初中数学实验活动——以相似三角形的运用为例［J］. 中国数学教育（初中版），2021（19）：32-36+51.

［3］刘彩红. 数学建模思想融入中学数学课堂教学的实践研究［D］. 合肥师范学院，2017.

［4］王金水. 把握課堂追问时机  提升初中生数学思维品质［J］. 福建基础教育研究，2021（02）：57-60.