基于数学逻辑一致性设计前后连贯的课堂教学

吴海燕 吴增生

摘  要：数学具有整体性，数学内容之间具有内在的逻辑一致性. 这种逻辑一致性引领着知识的发生、发展过程. 在幂的乘方运算中，其构成要素（底数和指数）的变化规律来源于乘方的定义和乘法运算律，这就是幂的乘方运算法则发生、发展的数学内在逻辑. 依据这种数学知识发生、发展的内在逻辑的一致性，可以设计出具有数学整体性、前后连贯、逻辑一致的教学过程，促进学生自然、合理地发现和提出问题、分析和解决问题，进行逻辑连贯的数学思考与表达. 文章以积的乘方运算的教学为例，研究如何利用这种数学的逻辑一致性进行教学设计.

关键词：积的乘方；教学研究；逻辑一致性

作者简介：吴海燕（1983— ），女，一级教师，主要从事中学数学教育教学研究；

吴增生 （1962— ），男，正高级教师，浙江省特级教师，主要从事中学数学教育研究.

正整数指数幂的乘法运算是整式乘法运算法则的逻辑出发点，而正整数指数幂的乘法运算法则是基于乘方的定义及乘法交换律和结合律. 幂的乘法运算研究的内容是同底数幂相乘，研究的是底数相同的幂的乘法运算中指数的变化规律，它的逻辑基础是乘方运算的定义和乘法结合律. 幂的乘方运算研究的是底数和指数都相同的幂的乘法运算，表现出底数不变性和指数的变化规律，它来自于同底数幂相乘的运算，更基础地，还可以看作来源于乘方的定义和乘法结合律，是用归纳的方法得到的. 积的乘方运算研究的是底数不同、指数相同的幂的乘法运算（在幂的乘方运算中用ab…d代替幂的乘方运算中的am），这一性质的逻辑基础还是乘法运算律（交换律、结合律）和乘方的定义，以及幂的乘法运算.

其中，幂的乘法运算为：

幂的乘方运算为：

积的乘方运算为：

事实上，这种幂的乘法运算下的其构成要素（底数和指数）的变化规律就是幂的乘法运算的研究内容，而乘方运算的定义和乘法运算律则是它们发生发展的共同逻辑基础，依据这种数学知识发生发展的内在逻辑一致性，可以设计出具有数学整体性、前后连贯、逻辑一致的教学过程，促进学生自然、合理地发现和提出问题、分析和解决问题，进行逻辑连贯的数学思考与表达.

“14.1.3 积的乘方”是人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册第14章“整式的乘法与因式分解”第1节最后一个课时的教学内容. 笔者尝试从数学内容的整体性和逻辑一致性出发设计教学，体现单元教学内容中的整体性和前后连贯性.

一、分析教学内容

整式的乘法是建立在幂的运算性质的基础上，结合运算律得到的，要研究整式的乘法运算，必须先研究幂的乘法运算. 从幂的构成要素（底数和指数）角度看，同底数幂相乘是基于乘方的定义和乘法结合律研究若干个底数相同的幂的乘法运算，如果这若干个幂的指数也相同，则就是幂的乘方；在幂的乘方中，如果把底数中的幂变成不同因数的积，就变成积的乘方. 因此，本节内容是在同底数幂相乘和幂的乘方运算的基础上，融合两者得到的. 基于这种数学内在的逻辑一致性设计前后连贯的课堂教学，可以体现数学的整体性，这是进行单元整体教学设计的有效方法.

因此，本節课的教学重点是：在研究积的乘方法则过程中，提出问题，推导公式，通过这两种数学活动发展学生的数学抽象能力和推理能力，在法则应用的过程中发展学生的符号意识和运算能力.

二、确定教学目标

1. 教学目标

（1）理解并准确掌握积的乘方的运算性质，熟练应用这一性质进行有关计算，发展学生的运算能力.

（2）在发现和推导幂的运算性质的过程中，能把具体数的运算和运算律应用于字母运算，发展学生的抽象能力和归纳能力，体会从特殊到一般的数学思想和转化思想.

（3）会反思和总结学习方法，体会代数性质研究的一般观念，通过合作交流分享观点，总结学习经验，使学生学会学习.

2. 教学目标解析

达成教学目标（1）的标志是：能用积的乘方性质进行正确的运算，并能辨别与同底数幂乘法及幂的乘方性质的区别与联系.

达成教学目标（2）的标志是：学生能类比幂的乘方性质的推导过程尝试推导出积的乘方性质，能说出推导的依据；能用文字语言和符号语言准确表述性质的含义，并能抓住性质的本质，即改变运算顺序.

达成教学目标（3）的标志是：会总结研究的方法，会分析同底数幂的乘法、幂的乘方及积的乘方三种运算之间的逻辑关系.

三、确定教学难点

积的乘方性质的得出需要经历发现与提出问题、分析与解决问题的数学活动. 总结前面学习的两个幂的运算性质，如果从幂的结构上分析，它们都是研究底数相同的幂进行乘法运算后，积的“底数”的不变性和“指数”的变化规律（同底数幂相乘——底数相同、指数不一定相同，幂的乘方——底数相同、指数相同）. 从数学的内部发展来看，接下来我们要研究指数相同、底数不同的因式的变化规律，即把幂的乘方公式[amn=am · am · … · amn个am=amn]中的am用不同的底数ab…d代替，从而提出问题“[ab…dn=]      ”. 如果学生对前面两个性质的学习不能从结构上归纳是研究底数相同、指数变化的问题，就会导致学生提出问题存在困难；在研究“[abn]=       ”的过程中，学生能类比前面两个幂的性质的探究方式（通过举例、归纳猜想、推导公式等方式），但是会在用语言描述积的乘方性质及建立三个性质的联系时遇到困难. 解决这些困难依然需要从幂的构成要素（底数、指数）上分析. 幂的乘法运算的这三个公式不仅抽象，而且易混淆、出错. 如果学生单纯记忆这些公式，在运算过程中极易混淆出错. 因此，教师需要引导学生从幂的结构来分析其底数和指数的变化规律，使学生理解每种运算的意义，在此基础上通过辨别和训练掌握这三个运算的性质.

基于以上分析，确定本节课的教学难点为：提出积的乘方的研究问题，推导积的乘方的运算公式，理解三个幂的运算公式之间的区别与联系.

四、设计教学整体框架

本节课的教学整体思路如下.

首先，引导学生回顾前两节课的学习内容——同底数幂相乘和幂的乘方，分析它们之间的内在联系. 同底数幂相乘的公式为[am ? an]=[am+n]，进一步特殊化，可得[am · am · … · amn个am=amn=amn;] 幂的乘方公式[amn]=[amn]的实质是[a · a · …· am个an]=[amn]=[amn]. 在此基础上提出问题：若底数不同，该怎样计算[ab…dm个ab…dn]呢？把底数简化为两个不同的数，就可以提出我们本节课要研究的问题，即“[abn]=     ”，流程图如图1所示.

其次，运用乘方的定义和乘法运算律，引导学生推导出积的乘方公式，并进一步推广到一般.

而后，在公式辨別的基础上用公式进行化简，让学生说算理、说蕴含的思想方法（转化思想）.

最后，从本节课的学习内容、研究过程和研究方法等角度引导学生总结、分享.

五、教学过程设计

1. 复习导入，发现和提出问题

问题1：本章我们着重研究整式的乘法运算，前两节课我们做了哪些准备？

师生活动：教师引导学生回顾同底数幂相乘及幂的乘方的性质，并利用PPT展示如图2所示的知识结构图.

【设计意图】学生通过观察与思考，发现同底数幂相乘的结果还是幂，体会数学运算可以使结果更简洁，也为本节课积的性质的探究作准备.

问题2：前面学习的两个幂的性质从幂的结构角度进行分析，都是研究底数相同的幂的相乘（指数不一定相同——同底数幂相乘，指数相同——幂的乘方）中，积的底数不变性和指数的变化规律. 从数学的内部发展来说，你觉得接下来要做什么样的研究？

教师引导学生说出：研究指数不变（相同）、底数不同时对运算结果的影响.

追问1：幂的乘方运算（am）n中，当指数不变时，从乘方的意义角度你能说说它的底数可以怎样变化吗？

教师引导学生说出：底数中的幂实质上是几个相同因式的乘积，即[a · a · …· am个an]，接下来应该研究底数是不同因式的乘积的幂的运算，如[ab…dn].

追问2：数学的研究总是遵循从简单到复杂的规律，你觉得我们应该从几个不同因式的积开始研究？

师生活动：学生能够回答从两个不同因式的积开始研究. 教师板书课题——14.1.3 积的乘方.

【设计意图】通过以上复习引入过程，让学生感受数学内部逻辑的发展指引着数学的研究方向，体会数学研究从简单到复杂的发展过程.

2. 分析和解决问题

问题3：你能类比前面学习的两个幂的性质的探究过程，说说我们应该怎样研究积的乘方吗？

师生活动：教师引导学生用类比的方法进行探究. 先从幂的结构出发，发现底数是两个不同因式的积时，指数可以是任意数. 指数n从最简单的、具体的数入手，如1，2，3，…通过列举[5×31，] [5×32，] [2×43]等例子，让学生基于数的运算形成初步的直觉.

【设计意图】让学生意识到数学的基本研究方法是从特殊到一般、从简单到复杂.

追问1：要把上述数的运算的规律推广到一般，通常要借助字母表示数，你能说说[ab2， ab3，][ ab4]的运算结果吗？得出这个结果的依据是什么？

师生活动：教师引导学生类比前两个幂的性质的研究，从乘方意义的角度来算一算. 师生一起完成[ab2]的运算，学生独立完成[ab3]= a3b3和[ab4]= a4b4的运算.

[ab2]

= [ab · ab]（乘方的意义）

= [a · a · b · b]（乘法交换律，结合律）

= a2b2 （乘方的意义或同底数幂相乘的性质）

追问2：你能归纳、猜想[abn]的运算结果吗？

师生活动：引导学生从式子的结构分析、归纳共性，得出猜想 [abn] = anbn.

追问3：你能推导出你的猜想吗？

师生活动：学生在练习本上完成公式推导，并说出每一步的依据.

推导过程如下：

追问4：你能用文字语言描述得到的结论吗？

师生活动：教师引导学生从式子的结构出发用文字语言描述，进一步明确公式中a，b，n的取值范围.

积的乘方的性质：积的乘方等于把积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.

追问5：你觉得这句话中哪些字、词比较重要？

师生活动：教师引导学生解读性质，关注“每一个、分别、乘方”等词. 从运算的角度分析得出“积的乘方 = 乘方的积”，归纳这个公式的本质，即改变了运算的顺序.

追问6：我们已经完成了两个不同因式的积的乘方性质的推导，你能推广到一般，说出几个不同因式的积的情况吗？

师生活动：学生能够独立得到公式[ab…dn]= anbn…dn.

【设计意图】通过以上过程让学生体会数学的研究方法是从特殊到一般再进行推广. 性质的得出需要借助推理，性质的完备需要考虑各字母的取值范围，性质的理解需要逐字解读、符号化表示、文字描述. 性质的理解是应用的前提.

问题4：你能说说得出这一性质经历了哪些过程吗？

师生活动：教师引导学生总结出本节课中研究积的乘方的过程，即“提出问题—特殊化—逻辑推导—归纳推广—表达结论”.

【设计意图】通过问题4引导学生提炼代数法则和公式研究的一般方法.

3. 辨别应用，巩固新知

问题5：运用所学知识解决例1，并思考“运算时要注意什么？运算性质的本质是什么？”

例1  计算.

（1）[2a3; ] （2）[-5b3; ]

（3）[12xy22;] （4）[-2x34. ]

师生活动：学生自行尝试运算，教师巡视并选择出现代表性错误的学生板演展示第（1）（2）小题的运算过程.

师生分析、总结注意要点：数字因数容易漏乘；结果要化到最简形式；注意符号.

第（3）（4）小题由教师示范分析和解答. 对于第（3）小题，教师需要强调：计算此类3个因式的积时，要注意数字因式，包含数字因式在内的每个因式都要乘方. 在此基础上，阐述运算依据——乘方的定义和乘法运算律；明确公式的本质——改变运算顺序；明确指导思想——化繁为简，化新为旧.

【设计意图】学生通过应用性质，思考应用的条件，从而厘清性质，突破疑惑，总结易错点和注意点，理解公式的本质，以及应用公式运算过程中的转化思想.

练习1：计算.

（1）[3b3;] （2）[-2x2y2;]

（3）[x+yx-y5;] （4）[-2×1022.]

師生活动：学生在3分钟内独立完成练习1. 教师巡视，当多数学生完成时，开始小组讨论（限时3分钟）. 要求每个小组通过对照、辨析将答案统一，并思考出现不同答案的原因.

教师预设：学生可能会对第（3）小题存在疑惑，整体思想存在偏差，可能会出现和的平方等于平方和的情况. 解决这些问题的方法是看计算的每一步是否有依据.

【设计意图】通过小组合作既可以讨论出错的原因，又能使学生深入理解性质，调动学生的积极性，培养合作精神. 教师要再次提醒学生解题要关注的注意点，引导学生形成程序化的解题步骤，即识运算、定顺序、遵性质.

例2  计算.

（1）[1510×510]； （2）[0.210×512].

师生活动：当学生解题遇到困难时，教师引导学生观察底数之间存在倒数关系，思考是否能先将底数相乘，这需要改变运算顺序，从而自然想到运用积的乘方公式，而且是逆用公式，再让学生思考应用积的乘方公式要满足什么条件. 第（2）小题不满足公式条件，需要先把指数化为相同的情况再进行计算.

【设计意图】学生通过逆向应用积的乘方公式进行运算，发展逆向思维能力和运算能力，体会转化思想.

例3  如图3（a），棱长为a的正方体的体积为a3.

（1）如图3（b），将棱长扩大到原来的a倍，你能求出新的正方体的体积吗？

（2）如图3（c），将棱长扩大到原来的b倍，你能求出新的正方体的体积吗？

【设计意图】应用积的乘方运算解决简单的实际问题，发展学生的应用意识.

问题6：观察例3的运算过程，思考幂的乘方与积的乘方之间有什么关系？

师生活动：如图4，原正方体的体积计算应用了乘方的定义，或者同底数幂乘法；第（1）小题中的算式是3个相同幂的积，应用了积的乘方公式；第（2）小题中的算式是3个ab的积，也应用了积的乘方公式. 进一步地，引导学生把这种逻辑关系推广到一般，即底数相同的幂相乘，就是同底数幂相乘，若每个幂的底数和指数分别相同，则是幂的乘方；当幂的乘方中底数一般化，变成不同时，幂的乘方就转化为积的乘方；而当积的乘方中底数特殊化为相同时就是幂的乘方，结构关联如图5所示.

【设计意图】将例3的结果进一步拓展，使学生感受幂的运算性质既相互独立又相互联系，感受数学的整体性与逻辑一致性.

4. 综合应用，巩固提升

练习2：计算[-a3b62+-a2b43.]

师生活动：学生独立完成后，每组派一名学生板演. 之后师生总结运算步骤，强调多种运算综合时要注意运算顺序.

【设计意图】综合应用幂的运算性质和合并同类项法则进行运算，要求明确运算对象，明确运算目标，选择合理的算法，理解算理，考查学生运用法则运算的能力.

5. 反思提炼，课堂小结

（1）本节课中，我们学习了哪种幂的运算？运算时要注意什么？

（2）我们是怎样得到这一法则的？

（3）幂的运算性质之间有什么联系与区别？你觉得还能研究幂的哪种运算？

（4）为什么要研究幂的运算性质？

师生活动：通过以上几个问题引导学生回顾本节课的研究内容、研究思路及方法，形成如图6所示的知识结构图.

【设计意图】学生整理自己的收获，相互交流，形成结构化的知识体系.

六、目标检测设计

1. 判断下列的计算是否正确，如果错误，试加以改正.

（1）[ab23=ab6]； （2）[3xy3=9x3y3]；

（3）[--ab22=a2b4]； （4）[-2a22=-4a4].

2. 计算.

（1）[-3b5]； （2）[12ab4]；

（3）[-2xy3z24]； （4）[3x+y23;]

（5）812 × 0.12513.

3. 已知[xn=5，yn=3，] 求[x2y2n]的值.

4. 如果a ≠ b，且[ap3 · bp + q=a9b5]成立，求p，q的值.

【设计意图】第1题考查学生对积的乘方运算的意义的理解；第2题考查学生积的乘方运算的性质的应用，促进学生理解算理；第3题和第4题考查学生积的乘方运算的性质的应用，发展学生的运算能力.

七、教学反思

本节课教学最显著的特点是基于数学内容的整体性和逻辑一致性设计连贯的教学活动. 首先，从幂的结构角度分析同底数幂乘法、幂的乘方公式，底数相同时，研究指数的变化得到同底数幂相乘的公式，指数相同、底数也相同时的乘法是幂的乘方，在此基础上提出底数是不同因式、指数相同时的幂的运算的研究问题——积的乘方运算. 其次，学习方法上与前面两个性质的学习是一脉相承的，这体现了方法上的一致性. 通过辨析和实际应用后的总结，分析了三个性质之间的逻辑联系，使学生理解三个性质之间的逻辑一致性——都是研究幂的乘法运算中底数和指数的变化规律，都是以乘方的定义和乘法运算律为依据推导出来的. 通过这样的教学，学生能在已有学习经验的基础上自然、合理地发现和提出问题，用相同的策略和方法分析和解决问题，学习连贯的内容. 在提出问题的过程中，发展学生的抽象能力；在积的乘方公式形成过程中，发展学生的抽象能力和推理能力；在应用公式推理、计算的过程中发展学生的推理能力和运算能力. 通过这样的教学，可以将发展学生数学核心素养的目标真正落实到课堂教学中.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］吴增生. 用整体教学追求直观与逻辑的融合发展：ICME-14中国特色主题活动中“平行线的判定与性质”课例研究［J］. 中国数学教育（初中版），2021（9）：11-17.

［3］吴增生. 单元整体教学中的若干重要问题及其思考［J］. 数学通报，2021，60（9）：20-26.