单元整体视角下融合直观与逻辑的课时教学研究

吴灵秋 郑燕红

摘  要：以“平行四边形及其性质”一课为例，总结研究一类几何图形的基本路径. 首先，引入研究对象，再通过定义给出判断这类对象的充要条件，明确研究对象，提出研究问题，规划研究思路；其次，从定义出发，研究这类图形的性质，得到有层次的判定图形的必要条件；最后，研究这类图形的判定，得到判定这类图形的充分条件. 这一研究过程融合了几何直观与逻辑推理，即先直观建构图形，进行观察、实验、测量等发现和猜想，再用演绎推理证明猜想.

关键词：整体视角；几何直观；逻辑推理

整体视角指的是课时教学设计要基于数学的整体性，在分析单元内容整体结构及其育人价值的基础上，系统规划单元整体教学目标，分析、诊断单元整体教学问题. 在此基础上进一步规划和设计课时教学，明確课时教学目标及教学重点和难点，设计几何直观与逻辑推理相融合的教学活动，使之有效承载与本课时内容匹配的单元育人目标，达成单元核心内容和思想方法引领下的各课时教学内容的有机融合，优化数学学科的育人功能.

针对“图形的性质”主题的教学，教师要引导学生理解欧几里得平面几何的基本思想，感悟几何体系的基本框架，即通过定义确定论证的对象，通过基本事实确定论证的起点，通过证明确定论证的逻辑，通过命题确定论证的结果. 这就要求教师在教学中引导学生观察几何图形的构成要素及其之间的关系，动态想象发现的图形和图形间的关系，通过类比和归纳提出猜想，并用演绎推理证明猜想. 基于“怎样研究一类几何图形”的大观念，引领学生进行对一类几何图形的整体研究，是开展上述直观与逻辑融合的数学学习活动的“脚手架”. 所谓大观念，指的是与核心概念和理论相关的研究问题的一般套路，是代数、几何及统计概率的研究思路、研究内容和研究方法. 用这种大观念指导教学，有助于学生更高层次认知能力的发展.

实施单元整体教学，教师需要基于数学内容的整体性开展教学设计. 在单元整体教学设计中，如何基于单元数学内容的发生发展逻辑，设计前后连贯、逻辑一致、高度融合的课时教学，是值得研究的问题.

下面，基于浙教版《义务教育教科书·数学》八年级下册（以下统称“教材”）第4章“平行四边形”第2节“平行四边形及其性质”进行课时教学设计，并基于教学实践探索“单元—课时”教学的规律.

一、平行四边形单元内容的整体教学分析

1. 单元内容和内容解析

（1）单元内容.

平行四边形的性质、判定，三角形中位线定理，中心对称.

（2）内容解析.

平行四边形是一类特殊的四边形，是在学生学习三角形、多边形的基础上学习的一类几何图形. 通过感知生活中丰富多彩的四边形实例，并由四边形特殊化引入研究对象（平行四边形），类比对特殊三角形（等腰三角形）的研究规划其研究思路，即“定义—性质—判定—特例”，然后按照这样的思路有逻辑地逐步展开研究. 平行四边形的定义中给出了判定平行四边形的充要条件. 从定义出发，分别研究其构成要素（边、角）及相关要素（对角线）的位置关系和数量关系，即研究平行四边形的性质. 平行四边形的判定是从性质的逆命题出发提出猜想并证明猜想. 三角形中位线定理则可以作为平行四边形的应用. 本单元的核心育人价值是发展学生的空间观念、几何直观和推理能力.

基于以上分析，确定本单元的教学重点是：理解、掌握平行四边形的性质、判定及应用.

2. 单元教学目标

平行四边形单元的教学目标设置如下.

（1）能类比等腰三角形的研究思路和研究内容提出平行四边形的研究思路和研究内容.

（2）探索中心对称的性质.

（3）探索并证明平行四边形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算.

（4）探索并证明三角形的中位线定理.

3. 单元教学问题诊断分析

（1）学生已有的基础.

小学阶段，学生基于直观操作和思考对四边形、平行四边形有了初步的感性认识，知道平行四边形的定义，会计算平行四边形的周长和面积. 在八年级上学期，学生用推理的方法研究了平行线、三角形，已经具备初步的推理能力.

（2）存在的困难.

学生不清楚初中阶段学习的平行四边形与小学阶段学习的平行四边形有什么不同；学生难以在整体视角下规划平行四边形的研究思路；学生的图形观察能力、作图能力和分析能力有待提高，推理的逻辑性和条理性不足.

基于以上分析，确定本单元的教学难点是：规划平行四边形的研究思路，体会证明的必要性，用演绎推理探究平行四边形的性质和判定定理，并依据定理进行推理与运算.

（3）解决策略.

抓住几何图形构成要素及其关系这一研究的核心内容，类比等腰三角形构建平行四边形的研究思路. 引导学生用几何研究的一般思路和方法研究新的图形及其各要素间的位置关系和数量关系.

4. 单元教学建议

基于以上分析，对本单元的教学提出以下两个方面的建议.

一是类比等腰三角形的研究思路、内容和方法，整体构建平行四边形的研究思路，明确研究内容，提出研究问题；从平行四边形的定义出发探究构成要素、相关要素各自的关系并进行证明；从平行四边形的性质定理的逆命题出发提出判定与猜想，并进行证明.

二是应用平行四边形的性质和判定进行推理与运算训练，发展学生的几何直观和推理能力.

二、单元整体教学思想引领下的“平行四边形及其性质”课时教学设计

1. 内容

平行四边形的定义，平行四边形的边、角的性质.

2. 教学目标

（1）能从知识发展的内在逻辑和现实情境出发引入平行四边形，提出研究的问题，能类比等腰三角形的学习获得研究思路.

（2）能通过观察、实验、归纳提出猜想，并证明猜想.

（3）理解平行四边形的性质，并能应用性质进行简单的推理和计算.

3. 教学重点和难点

教学重点：探索并证明平行四边形的性质.

教学难点：规划研究思路，概括对角线的性质，作辅助线（对角线）证明平行四边形的性质.

4. 教学策略

（1）整体规划.

类比等腰三角形，基于“怎样研究一类几何图形”的大观念，引领学生整体规划平行四边形的研究思路，让学生学会用相似的方法做不同的事情.

（2）类比研究.

引导学生回顾平行四边形的定义，类比等腰三角形的学习（等腰三角形性质研究的内容是边、角、“三线”各自的關系，其中边、角是构成要素，“三线”是相关要素），从定义出发有逻辑地研究平行四边形构成要素（边、角）和相关要素（对角线）的性质，突出性质探索和证明的完整性.

5. 教学过程

环节1：引入对象.

问题1：在八年级上学期我们已经完整地研究了三角形. 从整体上看，三角形是按照怎样的思路研究的？

追问：类比三角形的研究思路，研究一般四边形之后我们应该研究什么四边形？

师生活动：教师引导学生回顾三角形的研究思路，即先研究一般三角形再研究特殊三角形，是按照从一般到特殊的思路进行研究的. 类比三角形的研究思路，研究一般四边形之后要研究特殊四边形.

【设计意图】创设现实情境引入平行四边形，类比三角形的研究思路，提出本节课要研究的问题.

问题2：平行四边形是特殊的四边形，在生活中有广泛的应用. 我们应该按照怎样的思路研究平行四边形？

师生活动：教师引导学生回顾小学阶段是用直观、测量、实验的方法认识平行四边形的，初中阶段需要在此基础上用推理的方法进一步研究，类比等腰三角形的研究思路规划平行四边形的研究思路.

【设计意图】类比等腰三角形的研究思路规划平行四边形的研究思路.

环节2：明确定义.

问题3：我们在小学阶段已经学习过平行四边形，你能说出平行四边形的定义吗？

师生活动：教师引导学生回顾平行四边形的定义，并用图形语言和符号语言表示.

【设计意图】在小学阶段学习的基础上，使学生明确定义是判定图形的充分必要条件.

环节3：探究性质.

问题4：从哪些角度研究平行四边形的性质？

师生活动：教师引导学生回顾等腰三角形的性质是从边、角、“三线”三个角度进行研究的. 边、角是三角形的构成要素，“三线”是相关要素. 在此基础上，引导学生明确对平行四边形性质的研究要从定义出发，推出边、角、对角线分别有什么关系.

【设计意图】此环节旨在引导学生思考：平行四边形的性质是什么？按照怎样的思路研究平行四边形的性质？研究哪些性质？

问题5：平行四边形的边、角、对角线分别有什么关系？

师生活动：学生通过观察动画（平行四边形绕其对角线交点O旋转180°后与本身重合），或者对所画的平行四边形进行观察、测量、实验，发现平行四边形的边、角、对角线的性质. 最后师生交流，总结得到如下猜想.

猜想1：平行四边形的对边相等.

猜想2：平行四边形的对角相等.

猜想3：平行四边形的对角线互相平分.

追问：这些结论是否对所有的平行四边形都成立？如何证明？

师生活动：学生首先独立完成对猜想1和猜想2的证明，再由学生代表叙述具体的证明过程. 其他学生思考学生代表的证明过程是否步步有据. 在此基础上，学生独立完成对猜想3的证明，并由学生代表展示证明过程. 最后，师生总结证明思路为将平行四边形问题转化为三角形问题，体现化未知为已知的转化思想.

【设计意图】引导学生经历直观推断和演绎证明的过程，发展学生的几何直观和推理能力.

问题6：你能叙述平行四边形的性质吗？

师生活动：教师引导学生分别用文字语言、图形语言、符号语言表示平行四边形的性质.

【设计意图】引导学生明确平行四边形性质的三种语言表示，并进行灵活转化.

追问：这些性质有什么用？

师生活动：学生独立思考后，师生共同归纳得到：平行四边形的性质是证明线段相等和角相等的又一重要工具.

【设计意图】引导学生明确平行四边形的性质有什么用、怎么用.

环节4：学以致用.

练习1：如图1，?ABCD中，如果AB = 6，AD = 4，你能得到哪些结论？如果∠C = 50°，你能得到哪些结论？

练习2：如图2，?ABCD中，对角线AC，BD的长分别为6 cm和4 cm，则边AB的取值范围是_________.

师生活动：对于练习1，要求学生尽可能多地写出结论并说明理由；对于练习2，要求学生给出答案并说明理由.

【设计意图】以上两道练习题是对平行四边形性质的简单应用，促使学生巩固本节课所学基础知识.

练习3：如图3，E，F分别是[?ABCD]的边AB，CD上的点，且AF∥CE. 求证：BE = DF，∠DAF = ∠BCE.

师生活动：首先，由学生代表讲述证明思路；然后学生独立书写证明过程，教师展示学生代表不同的证明方法；最后，师生共同总结可以利用平行四边形的性质或者三角形全等证明结论，但前者更加简便.

【设计意图】练习3考查学生对平行四边形定义和性质的综合应用，旨在提升学生综合应用知识解决问题的能力.

环节5：小结提升.

（1）我们是怎样引入研究对象的？

（2）我们是按照怎样的思路研究的？

（3）我们得到了哪些性质？它们有什么用？

（4）本节课是用什么思想和方法研究平行四边形的性质的？

（5）还需要进一步研究什么？

师生活动：先由学生基于以上5个问题总结本节课的收获，然后师生共同归纳，通过将四边形边的位置关系特殊化引入平行四边形，类比等腰三角形从定义出发研究平行四边形的性质，研究的内容是边、角、对角线各自的关系. 性质探究过程中采用观察、测量、猜想、证明等方法，并得到如图4所示的结构图.

【设计意图】依据研究过程设计总结性问题，形成系统、简约的知识结构，提出新的研究问题.

环节6：布置作业.

必做题：教材第83页第1题和第5题，以及第88页第3题和第4题.

选做题：如图5，有一张平行四边形纸片EFGH，和一张对边分别平行的纸条交叉叠放后得到一个四边形ABCD，你能得到什么结论？给出证明.

【设计意图】必做题和选做题的设置，旨在让不同层次的学生都能有所收获.

三、本节课的教学特色

1. 大观念引领，设计“单元—课时”教学

本节课的研究对象（平行四边形）是基于现实情境和四边形的特殊化引入的，类比等腰三角形规划平行四边形的研究思路. 这样，就把平行四边形性质的研究嵌入到平行四边形这类特殊四边形的整体研究过程中，体现了基于单元知识发生发展的核心逻辑主线的课时教学设计，使课时教学与单元教学深度融合.

本节课的研究内容是基于平行四边形的构成要素和相关要素的分析提出的，这种要素在平行四边形单元研究中具有一致性. 边、角是构成平行四边形的基本要素，对角线是相关要素，边与边、角与角、对角线与对角线在平行四边形形状、大小的变化中表现出的不变关系就是平行四边形的性质. 后面对平行四边形判定的研究也是从边、角、对角线三个方面进行的.

本节课的研究方法是从一般到特殊地发现和提出问题，引导学生通过直观观察和动态想象发现图形的性质，通过归纳提出性质猜想，通过演绎推理证明猜想，这种研究方法也是几何图形研究的普适方法.

本单元的研究思路、研究内容和研究方法可以迁移到后续特殊平行四边形的研究中，在本单元中学会整体、系统地研究平行四边形，则在下一章的学习中教师可以指导学生独立研究，让学生学会迁移并应用本节课学习的研究思路和研究方法.

2. 借助几何直观，发展逻辑推理能力

在环节3的探究过程中，一方面，重视利用图形的变换（平行四边形的中心对称性，这里只展示动画，不涉及中心对称概念）研究平行四边形的性质，这种用几何变换研究几何图形的思想，体现了“几何学是研究几何图形在变换下不变性的科学”这一学科本质属性，F.克莱茵按照变换群对传统几何学进行分类就体现了这种思想，这种思想在现行的各版本教材中得到了普遍的渗透. 通过观看动画，学生可以直观地看到重合的线段、重合的角，便于学生发现平行四边形边、角、对角线的性质. 另一方面，学生可以自己动手画一个平行四边形，然后通过对所画的平行四边形进行观察、测量、实验（剪拼）发现结论. 至于发现的结论是否对所有的平行四边形都成立，则需要学生对发现的结论进行严格的推理论证. 此环节中，先用直观的知觉运动经验，通过语言描述抽象出几何概念，给出定义，得到命题，再用合乎逻辑规范的语言体系，依据已有真命题推出新的真命题，然后研究几何图形的性质和判定，得到定义的等价命题，最后基于核心概念，通过演绎推理构建局部逻辑体系，这是基于直观的演绎推理能力发展的一般规律.

四、进一步思考

1. 如何在单元整体教学指引下设计课时教学

在课时教学设计前应该先进行单元教学设计，对本单元内容及其蕴含的数学思想和方法、数学学科核心素养、知识重点和难点等作出全面分析，并将课程标准规定的本单元内容按知识的发生发展过程、学生的认知过程分解到课时，同时将相应的单元目标分解为课时目标. 然后明确本课时的教学重点和难点，进行教学过程设计，最后进行目标检测设计.

2. 融合几何直观与逻辑推理的几何单元整体教学中的教与不教

在单元整体教学中，可以把对某一单元教学内容的研究作为样例，通过几何直观与逻辑推理融合的研究建构局部逻辑体系，并通过反思总结得到研究的活动经验，将其迁移应用到对新图形的研究中，这时的研究过程是由学生独立进行的，不用教师教. 例如，如果在平行四边形单元学习中学会了如何研究平行四边形，学生就可以独立研究特殊的平行四边形，它们的研究套路相同，只是研究对象不同. 这样，就可以让学生学会用相似的方法做不同的事情，實现“教是为了不教”的教学目标，让学生真正有依托地“学会学习”.

“学会”是学生在教师引导下经历的对一类图形的探究过程，“会学”是让学生用积累的图形研究经验研究一类新的图形. 几何教学要让学生从“学会”发展到“会学”，这是几何教学的终极目标.

五、结束语

本节课的教学实践表明，融合几何直观与逻辑推理的几何单元整体教学能有效促进学生几何直观、空间观念、逻辑推理能力的发展. 几何直观是发现图形性质、研究图形之间关系的重要手段. 通过几何直观得到的结论必须要用推理的方式加以证明. 学生在进行严谨的逻辑推理的过程中，提高和发展了自身的逻辑推理能力，以及发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.

参考文献：

［1］吴增生. 整体建构核心素养导向下的总复习教学策略体系［J］. 中国数学教育（初中版），2019（7 / 8）：3-11，37.

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［3］沈晓凯，胡典顺. 从几何直观到逻辑推理：例谈数学核心素养的培养［J］. 中学数学（高中版），2017（10）：46-49.