中考数学试题对核心素养的考查分析及教学启示

黄辉煌

摘 要：本文从“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”及九大核心素养视角对2022年山西省中考数学试题进行了分析.在分析的基础上提出教学建议：培养学生的数学化能力，提升学生的思考能力，发展学生的表达能力.

关键词：中考；数学试题；核心素养

新颁布的《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下统一简称“义务课标”）指出数学课程要培养学生的核心素养，即培养学生“三会”：会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界.其中数学眼光主要表现为抽象能力、几何直观、空间观念、创新意识;数学思维主要表现为运算能力、推理意识或推理能力;数学语言主要表现为数据意识或数据观念、模型意识或模型观念、应用意识.教育部《关于加强初中学业水平考试命题工作的意见》（教基〔2019〕15号）指出考试命题要注重引导学校落实德智体美劳全面培养的教育体系，引导教师积极探索基于情境、问题导向、深度思维、高度参与的教育教学模式，引导学生进行自主、合作、探究学习，充分发挥考试对推动教育教学改革、提高学生综合素质、促进学生全面健康成长的重要导向作用.山西省从2010年开始就实施全省统一命题，试题质量一直走在全国的前列.本研究拟对山西省2022年中考数学试题核心素养的考查进行分析，并提出教学建议.

1 试题整体结构及对数学核心素养的考查

1.1 试卷的整体结构

2022年山西省中考试题满分120分，考试时间120分钟，试题包含了选择题、填空题和解答题三种题型.选择题10个小题，每小题3分，共30分;填空题5个小题，每小题3分，共15分;解答题8个小题，共75分.该试题考查的内容十分全面，涉及到了数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个内容领域，每一个领域所涉及到的题量所占百分比分别为：43%、35%、13%、9%，其对应分值所占的百分比为38%、28%、12%、22%，详见表1.四个部分在试题中所占的比重与它们在教学中所占课时的百分比大致相同.且考查也是相互交融、相互渗透的，只是每一道题目都有它侧重考查的知识领域，考查综合实践活动的题目中渗透有数与代数和图形与几何两个领域的内容，加大了对学生综合运用知识的能力考查，每一个内容领域所涉及的题目设计都是难易结合，既有考查学生基础知识的基础题，又有考查学生的基本技能、基本思想和基本活动经验的综合题，充分体现了中考的全面性和选拔性.

1.2 对数学核心素养的考查

核心素养是对三维目标的整合与超越，在测试题中它们交叉呈现、各有侧重，且与四基融合在一起.表2列出了试题所涉及的知识领域、四基指向以及核心素养.2022年山西省中考试题在对“四基”考查的同时，也着眼于考查学生的数学核心素养，与2021年的试题保持了一定的联系性和稳定性.

2 典型试题对数学核心素养的考查分析

2.1 会用数学的眼光观察现实世界

数学为人们提供了一种认识与探究现实世界的观察方式.通过数学的眼光，可以从现实世界的客观现象中发现数量关系与空间形式以及它们之间的关系.［1］义务教育阶段数学眼光主要表现为：抽象能力（包括数感、量感、符号意识）、几何直观、空间观念与创新意识.

2.1.1 抽象能力的考查

抽象能力主要是指通过对现实世界中数量关系与空间形式的抽象，得到数学的研究对象，形成数学概念、性质、法则和方法的能力.抽象能力是学生学习数学的基本能力，是每年必考的核心素养.

例1 某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售.“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价________________________元.

核心素养考查分析：该题主要考查一元一次不等式的应用，学生需要从实际问题中抽象出代数关系，建立不等式模型进行问题解决.可以设护眼灯可降价x元，根据“以利润率不低于20％的价格降价出售”列一元一次不等式.抽象能力与数学模型相结合是中考题的常见题型.学生首先从实际生活问题情境中抽象出数学关系，建立数学模型，再用相应的数学知识解决问题.该题可以引导学生体会到现实生活中蕴含着大量与数学有关的问题，培养学生学会用数学知识尝试解决实际问题能力，体会成就感，提高学生数学学习的兴趣.

2.1.2 几何直观的考查

几何直观主要是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯.借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果;可以帮助学生直观地理解数学;在整个数学学习过程中发挥着重要作用.

例2 如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB上的点C处，图中阴影部分的面积为（  ）.

核心素养考查分析：西方哲学家通常认为“直观就是未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识”.［2］图形是进行解题的重要工具，学生通过观察图形，从而找出图形的特征，获得解题的思路.图中所求阴影面积是扇形面积与菱形面积之差.学生通过视觉上直观感受扇形纸片沿AB折叠的过程且容易认识到通过折叠后△AOB与△ACB的对称关系，进而利用菱形以及全等三角形的判定定理以及性质进行逻辑推理，根据扇形以及菱形的面积公式运算得出.主要考查学生的几何直观、推理能力、运算能力等核心素养.

2.1.3 空间观念的考查

空间观念主要是指对空间物体或图形的形状、大小及位置关系的認识.空间观念主要考查学生能否根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体，想象出物体的方位和相互之间的位置关系，描述图形的运动和变化等能力.

例3 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园.六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度.下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（  ）.

A.

B.

C.

D.

核心素养考查分析：主要考查学生依据“中心对称图形的定义”想象运动之后的图形，观察四个图标来判断每一个图形绕其中一点旋转180°之后是否与原图形重合，感知图形运动变化规律.空间观念有助于学生理解现实生活中空间物体的形态与结构，是培养学生空间想象力的基础，同时可以强化学生对图形美的感受和欣赏.

2.2 会用数学的思维思考现实世界

数学为人们提供了一种理解与解释客观世界的思考方式.通过数学的思维，可以揭示客观事物的本质属性，建立数学对象之间、数学与现实世界之间的逻辑联系.在义务教育阶段，数学思维主要表现为：运算能力、推理意识或推理能力.

2.2.1 运算能力的考查

运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力.运算能力是唯一要求学生自始至终都要具备的能力.［3］试题中也均有体现，除专门设置代数运算求值，解方程组和不等式组等传统运算题型以外，还注重以函数、几何图形、统计与概率等为背景考查学生的运算能力.例如：

例4

（1） 计算：（-3）2×3-1+（-5+2）+|-2|;

（2） 解方程组：2x-y=3 ①

x+y=6②.

核心素养考查分析：在试卷中题目5、7、16考查简单的解一元一次不等式组、分式的加减法、二元一次方程组、绝对值、有理数的乘方、负整数指数幂等知识，解决这类问题需要学生掌握运算法则，考查了学生熟练运用法则解决问题的能力.运算能力是要求学生自始至终具备的能力，在中考试卷也有体现，除了根据算理来求解的题目外还要求学生在理解知识的基础上考查运算.例如，题目13以“植物光合速率”为题目背景，通过求“光合速率更稳定的植物”，既考查了学生对“方差”的理解，又考查了学生计算过程.在题目的设计上，既抛弃了繁难的计算过程和计算技巧，追求运算方法的简捷性，在考查运算能力的同时，也注重考查学生对于知识的理解与运用，注重符号意识、算理理解、数学思想等多种能力的考查.

2.2.2 推理能力的考查

推理能力主要是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力.推理一般包括合情推理和演绎推理.

例5 如图，在矩形ABCD中，AC是对角线.

（1） 实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）.

（2） 猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明.

核心素养考查分析：逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的思维过程.［4］该题以矩形为载体，需要学生具有一定的判断猜想能力，在解答探索型问题中，考查学生的合情推理能力.就本题而言，核心考查线段垂直平分线的作法、矩形的性质、全等三角形的判定和性质等基础知识.第（1）问要求利用尺规作AC的垂直平分线，尺规作图也是帮助学生从感性到理性，从直观操作到逻辑推理，并建立几何知觉的有效工具，考查学生的动手操作能力.第（2）问在第（1）问的基础上，利用矩形的性质求证∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，由线段的垂直平分线得出AO=CO，即可证明△AOE≌△COF，进而得出AE=CF.要求学生通过观察进行猜想，运用三角形中位线定理加以验证，并能清晰、有条理地运用数学语言合乎逻辑地表达自己的思考过程，做到落笔有据.主要考查的是学生的逻辑推理、几何直观核心素养.

2.3 会用数学的语言表达现实世界

数学为人们提供了一种理解与解释现实世界的思考方式.通过数学的语言，可以简约、精确地描述自然现象、科学情境和日常生活中的数量关系和空间形式.在义务教育阶段，数学语言主要表现为：数据意识或数据观念、模型意识或模型观念、应用意识.

2.3.1 模型观念考查

模型观念是指对运用数学模型解决实际问题有清晰的认识.模型观念的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.建立和求解模型的过程包括从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义.

例6 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度.某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内.请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长.

核心素养考查分析：中考试题命制既要注重考查基础知识、基本技能，还要注重思维过程、创新意识和分析问题、解决问题的能力.该题以“如何利用无人机在高空测量两座楼之间的距离”为真实的任务情境，彰显的数学素养是在实际问题的情境下，能否用数学的语言叙述问题、用数学知识建立数学模型解决问题，体现较强的综合性.解答该题，首先要仔细阅读题干，了解题目背景，理解题意，梳理清楚题目中出现的“量”有怎样的关系.其次需要学生根据已有的知识经验，把題目中的关键量与量之间的关系从自然语言转化成数学符号语言，抽象出数学关系式.然后运用等腰三角形的判定定理，锐角三角函数等基础知识来解决实际问题，体会数学模型的作用.

2.3.2 应用意识的考查

应用意识主要是指有意识地利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象与规律，解决现实世界中的问题.应用意识有两个方面的含义，一方面，有意识地利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题;另一方面，认识到现实生活中蕴含着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决.

例7 2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油車平均每公里的加油费少0.6元.若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费.

核心素养考查分析：数学与我们生活密切相关，日常生活的许多问题来源于数学问题的应用.中考试题中常以数学建模为切入点，来解决有关实际问题.此题主要以电动汽车市场为背景，要求学生在阅读材料，理解题意的基础上，将现实生活中的实际问题抽象为数学问题，构建分式方程.设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元.原来的燃油汽车行驶1公里所需的油费（x+0.6）元，根据题意可得等量关系：燃油汽车所需油费200元所行驶的路程×4=电动汽车所需电费200元所行驶的路程，根据等量关系列出分式方程并求解即可.

3 教学启示

3.1 培养学生的数学化能力

新版义务教育课程标准的变化之一是坚持教、学、评一体化原则，增加了学业质量标准和考试命题建议，在此基础上明确提出了素养立意的命题思想.教、学、评一体化要求今后无应用情境就无知识测试，测评将会发生在知识处于生成状态或应用状态的情境之中，很少再出现裸考知识的现象.不论是客观性测试还是主观性测试，考点必须“生长”在产生知识或应用知识的“土壤”之中.也就是说今后要考查的知识必须处于一定的现实情境中，这就要求学生能够从情境中抽象出数学问题，即数学化过程.弗赖登塔尔认为数学化就是数学组织现实世界的过程，即人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织，以发现其规律的过程.数学化包括水平数学化和垂直数学化.水平数学化就是在现实问题的实际情境中发现和提出有意义的数学问题，进行数学探究，建立数学模型，即用数学眼光观察现实世界.垂直数学化，就是在水平数学化的基础上运用数学知识来解决问题，即用数学的思维思考、用数学语言表达现实世界.未来中考对这方面的要求将会越来越高.

3.2 提升学生的思考能力

核心素养立意的教学强调要从重结果回到重过程，对学生的思维能力、探究能力和做事能力的培养将成为最重要的教学任务.山西省近年中考强化了对思维过程、探究过程和做事过程的测量和评价，从注重考查记忆理解的结果到注重考查思维过程、探究过程和做事过程的发展水平.试题任务所要驱动的，不是单纯的记忆和理解，而是思考、探究、做事的开启、过程和结果.这种测试重心的变革，也是标准化考试问世以来不断改进、不懈努力的方向.因此，教师在平时教学中就要激发学生的思考，设计有效的问题情境，加大开放和探究来引领学生参与教学活动.义务课标也指出要进一步重视综合与实践，教师也可以选择合适的课题开展课外综合与实践活动，以解决问题为目的，学生进行观察、分析数学事实，提出有意义的数学问题，设计具体的活动方案并加以实施，在解决问题的过程中提升思维能力，让学生学会用数学的思维思考现实世界.

3.3 发展学生的表达能力

数学具有的广泛应用价值，已经渗透到其它基础学科和人们生活的方方面面.近年来中考试题遵循数据新、问题贴近生活的原则，以跨学科和生活应用为背景来创设真实的问题情境，要求学生能从试题中甄别信息来解决问题.而数学模型是对现实问题进行抽象，用数学语言表达问题，用数学知识与方法构建模型、解决问题的过程，是现实生活与数学进行连接的纽带.因此，初中数学教学应该注意培养学生运用数学语言表达实际问题的能力，培养学生的想象力、洞察力和联想力.教师可以在平时教学中密切联系教学内容，适当选择一些实际问题，引导学生系统地运用不等式、方程和函数等数学模型解决问题，在模型思想中理解数据的意义和价值，同时通过数学的应用，体会基于现实问题情境抽象出数学问题的过程，让学生学会用数学的语言表达现实世界，帮助学生感悟数学与现实之间的关联，加深对数学内容的理解，逐步积累数学实践经验，进而提升应用能力，增强创新意识.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］ 孔凡哲，史宁中.关于几何直观的含义与表现形式——对《义务教育数学课程标准（2011年版）》的一点认识［J］.课程·教材·教法，2012（7）：92-97.

［3］ 史宁中.《义务教育数学课程标准（2022年版）》的修订与核心素养［J］.教师教育学报，2022（3）：92-96.

［4］ 史宁中.学科核心素养的培养与教学——以数学学科核心素养的培养为例［J］.中小学管理，2017（1）：35-37.