经历愤悱过程，发展数学思维

贾富华

摘 要：小学数学教师们虽然已经普遍接受了启发式教学的思想，但如何在教学中实施启发式教学仍然存在不少困惑.本文以“鸡兔同笼”的教学为例，阐述如何在小学数学教学中实施启发式教学，让学生经历“愤”、“悱”的过程，从而发展数学思维、洞察数学的本质和感悟数学的思想方法.

关键词：启发式教学；数学思维；鸡兔同笼

《论语·述而》中记载孔子关于启发式教学的阐述.原文为“不愤不启，不悱不发”.意思是说：不到学生想弄明白，而仍然想不透时，教师先不要去开导他；不到学生心里明白，却又不能完整表达出来时，教师也先不要去启发他.宋代学者朱熹进一步解释道：“愤者，心求通而未得之意也；悱者，口欲言而未能之貌也”、“启，谓开其意；发，谓达其辞”.这就是启发式教学.而如何在教学中采用启发式教学？本文以“鸡兔同笼”为例，试图在该课的教学中阐释启发式教学的具体过程，以期为小学数学的教学提供参考.

1 留足时间，让学生经历“愤”的过程

《义务教育数学课程标准（2022版）》指出：学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者.教师要充分相信学生，给学生足够多的时间和空间，让学生充分经历“愤”的过程.教师则需在学生“愤”的时候，顺势而“启”，引导他们在观察分析、独立思考、合作交流、自主探究的过程中，参与知识的建构过程.

1.1 进入“愤”的学习状态

爱因斯坦说，“兴趣是最好的老师”.教师要利用有趣的问题、生动的情境、富有挑战性的场景，让学生主动参与到学习活动中.因此，数学教师要发挥主导作用，精心挑选数学问题、用心设计教学活动，为学生的数学学习搭建广阔的舞台.

教学片断1

师：“鸡兔同笼”是一个古老而有趣的数学问题.它出自我国古代数学名著《孙子算经》.原文是“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足.问雉兔各几何？”

生：它的意思是什么？

生：笼子里有若干只鸡和兔，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，鸡和兔各有多少只？

生：这个问题很有意思.如何解答这个问题呢？

师：大家想怎么解决这个问题呢？

生：可以画图，也可以通过一个一个地数去试.

师：你觉得这些方法怎么样？

生：数比较大，画图和试数都很麻烦.

生：那我们把数变小一点，用画图和试数的方法来解决就会简单一些.

师：大家的想法很好.我们现在把数变小一些，问题变成“鸡和兔一共有8个头，26条腿，鸡和兔各有多少只？”大家能解决吗？

在这个教学片段中，教师选择“鸡兔同笼”这个古老而有趣的数学名题，引起了学生极大的学习兴趣.学生们围绕这个富有挑战的数学问题进行思考、交流、讨论，最终发现数太大不好解决，也不容易进行探究，于是化繁为简，即把数变小.由此可见，学生们带着对古代数学题的迷茫和求知欲进入了“愤”的学习状态.

1.2 经历“愤”的学习过程

维果斯基的“最近发展区理论”认为，学生的发展有两种水平：一种是学生的现有水平，指独立活动时所能达到的解决问题的水平；另一种是学生可能的发展水平，即在别人的帮助下能够达到的水平.两者之间的差异就是最近发展区.教学应着眼于学生的最近发展区，为学生提供带有适当难度的内容，调动学生的积极性，发挥其潜能，超越其最近发展区而达到下一发展阶段的水平.学生经历最近发展区的过程，就是努力想要弄明白而又弄不明白的过程，是学生思维苦苦挣扎的过程，也就是“愤”的学习过程.

教学片断2

师：请你用自己喜欢的方法尝试着解决这个简化版的“鸡兔同笼”问题，并把你的想法记录在学习单上.

学生自主探究，尝试解决简化版的“鸡兔同笼”问题.教师巡视，根据学生在自主探究过程中出现的问题进行适时的启发和点拨.在巡视过程中教师发现有的学生一直在没有根据地列算式，便会给出提示，“如果列算式有困难，能不能先画画图来表示你的想法？”当学生一直画线段图找不到数量之间的关系时，教师提示，“如果画线段图不好找数量之间的关系，能不能画其它图？”经过一段时间的探索，学生们有了自己的想法（见图1-图6）.

在这个教学片段中，教师鼓励学生调动自己以往的学习经验来自主尝试解决问题.在自主探究的过程中，学生经历了思考的困惑，经历了不知所措，也遇到了很多问题.但通过教师的点拨，他们的思维系统被激活，原始经验被调动，进入到了主动探索和合作交流阶段，运用不同的方法解决了问题.教师在学生“愤”的时候，通过“启”来帮学生建立新旧知识间的联系，打开思维的闸门，使学生先“惑”而后“明”.

2 给足表达的机会，让学生走出“悱”的状态

《义务教育数学课程标准（2022版）》提出，通过义务教育阶段的数学学习，学生逐步“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”，实现对数学的理解、掌握和运用.学生经历的特殊过程——“用数学的眼光发现和提出问题，用数学的思维与数学的语言分析和解决问题”——其实就是“悱”的过程.

2.1 适时而导，疏通思路

学生对问题的认知是有一个过程的，学生的思路有时会出现“堵塞”.例如，有些学生有思路却难以表达出自己的思考过程；有些学生会找到解决问题的方法却讲不出其中的道理；有些学生越讲越糊涂以致把自己绕进去再也出不来.这就是学生进入“悱”的状态，此时需要教师顺势而导，帮助学生疏通思维通道，走出“悱”的状态.

教学片断3

生：我先画了8只鸡，然后试一试，最后变成了5只兔子3只鸡（见图1）.

生：你为什么先画8只鸡？为什么不画8只兔子呢？

學生听后把黑板上的8只鸡改成了8只兔子.

生：你刚才说最后是5只兔子3只鸡.你为什么又把它们画成8只兔子了呢？

学生站在前边一时不知如何回答.教师见女生手足无措，就顺势问：你先画了8只鸡，怎样从这8只鸡想到的5只兔子3只鸡的呢？

生：我发现腿不够.

师：你是怎么知道腿不够的呢？

生：计算.

师：一边画一边计算，是个不错的办法.说说你是怎样计算的？

生：2乘8等于16，16比26少了10条腿.

师：少了10条腿，又该怎么办呢？

这位学生拿起红色粉笔，将这10条腿加上.

师：哪位同学读懂了她的画法？

生：她是给每只鸡加上两2条腿，5只鸡一共加了10条腿，5只鸡变成了5只兔子，还剩3只鸡.

师：你是这样想的吗？你能再完整地说说你的想法吗？

生：我先画了8只鸡，通过计算发现腿少了10条，就给1只鸡加上2条腿，5只鸡一共加了10条腿，最后有5只兔子3只鸡.

在这个教学片断中，同学自己能够解决问题，却难以表达自己的想法，处于懵懂的状态.此时教师适时介入，进行有效的启发引导，帮助学生寻找思维的突破口，排除疑难.学生在教师的引导下，梳理了自己的思路，解决了困惑，走出“悱”的状态.

2.2 适时追问，辨析真理

任何教学中少不了老师和同学的追问.追问是数学课堂教学的重要手段，是精妙的课堂艺术.教师应抓住追问的时机适时追问，使课堂成为智慧启迪、心灵碰撞的场所.当学生的思考出现错误、矛盾、困惑时，教师应及时追问，激活学生思维，促进学生深入思考.学生在追问中慢慢地“悟”，在交流思辨中理清知识的来龙去脉.

教学片断4

在全班交流环节，还有一位男同学用列算式的方法解决了问题（见图5）.

生：我是这样想的：8乘2等于16条，26减16等于10条，10除以2等于5只，兔子5只，8减5等于3只，鸡有3只.大家还有什么疑问？

师：咱们来问问他，8×2＝16（条）表示的是什么？

生：就是先把这8个头假设成8只鸡，8乘2等于16，一共有16条腿.

生：为什么26-16＝10（条）？

生：26-16＝10，就是差10条腿.

生：那10÷2＝5是什么意思？

生：还差10条腿，每只鸡是2条腿，10除以2等于5.

生：这个“2”是鸡的腿吗？

教师见学生面露疑惑，于是追问道，“谁能说说这个‘2表示的是什么？”

生：我们可以结合刚才的图来帮助理解，这个“2”不是鸡的腿，是给每只鸡添上的2条腿，添了5个2，所以是10÷2＝5（只）.

师：这5只是鸡还是兔呢？

生：是兔，因为每只鸡添上2条腿后就变成了兔，10除以2等于5，添了5个2，相当于把5只鸡变成了兔，所以5是兔的只数.

师：你明白了吗？这个2是什么？

生：是给每只鸡添上的2条腿.

师：为什么是添上2条腿呢？

生：因为鸡添上2条腿才能变成兔.

师：“2”是怎样求出来呢？

生：4-2＝2（条）.

师：10÷2＝5（只）表示的是什么？

生：还差10条腿，每只鸡添上2条腿后就变成了兔，10除以2等于5，也就是添上了5个2，把5只鸡变成了兔.

在这个教學片断中，同学虽然可以自己列式解决问题，但只能读出每一步算式，讲不明白其中的道理.教师引导学生追问，“8×2＝16（条）表示的是什么？”，并给予点拨和启发.在学生“悱”的时候，教师“发”，其他学生“顺藤摸瓜”，摸清了提问的方法.在交流对话中，学生的思路一步一步变得清晰.接着，师生抓住本课难点进行追问——“10÷2＝5是什么意思？”学生回答：“还差10条腿，每只鸡是2条腿，10除以2等于5.”这样，又一次引发了认知的冲突——“这个2到底是什么呢？”.随着生生对话的深入，结合图形直观，学生终于弄清了“2”表示的意义，攻克了“鸡兔同笼”问题的难点.

总之，基于启发式教育思想，在教学过程中，教师要把学生当作学习的主人.教师应最大限度地把课堂交给学生，让他们充分经历知识的形成过程.教师应该给予学生足够的思考空间，让其在“愤”中学会思考.此外，教师还需要给予学生足够的表达机会，让其在“悱”后学会表达.在小学数学教学中，只有让学生的数学思考真正发生，数学核心素养才会落地生根.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准［S］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］ 张爱华，钱铭.不愤不启，不悱不发——两节同课异构的新授课对比反思［J］.数学学习与研究，2017（5）：166-167.

［3］ 苏静霞，马绍文.基于“综合与实践”活动培养学生发现和提出问题的能力［J］.数学之友，2022，36（1）：16-18+21.

［4］ 刘艳鲜.利用Geogebra开展线性规划问题探究例析［J］.数学之友，2022，36（1）：77-79.

［5］ 王思俭.基于单元教学情景的新概念课堂教学设计与研究——以《导数在研究函数中的应用》为例［J］.数学之友，2022，36（2）：14-18.

［6］ 樊欣，马小琼，韦华益，唐剑岚.动感技术的融合提质增效数学教学——以“反比例函数图象与性质”教学片段为例［J］.数学之友，2022，36（2）：88-89+93.