数学探究引导课的教学设计

唐忠杰,王凯

摘 要：通过观察学生的课堂参与度、讨论质量及解题过程中的思维活动，对学生的学习情况进行评估.引导学生尝试使用向量法研究其他几何问题，如平行四边形、正方形等的性质.鼓励学生主动查询相关学科知识，了解三角形性质在实际生活中的应用.

关键词：向量法；三角形；教学设计

1 问题缘起

2019人教A版教材在必修第二册第六章《平面向量及其应用》结束后，安排了3课时的数学探究活动《用向量法研究三角形的性质》.这个数学探究活动与必修一第四章《指数函数与对数函数》结束后的数学建模有所区别.数学探究活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合活动，而数学建模则是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动，即数学探究活动是解决数学内部的问题，数学建模活动是用数学解决实际问题，也可以认为是数学外部的问题.

2017版《普通高中数学课程标准》对数学探究活动的定位是：围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作探究并最终解决问题的过程.数学探究活动具体表現为：发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作研究论证数学结论.［1］所以这个探究活动既不是向量学完之后的复习课，也不是数学建模课，更不是习题课，它是重在研究、贵在探究的新课，意图让学生用平面向量学习过程中获得的方法和工具来研究三角形的性质，让数学理论走向数学应用，即把初中需要用逻辑推理证明的几何用向量工具来运算，进而让学生获得研究几何的一个范式，积累“研究一个几何对象”的活动经验，让学生在数学探究的过程中“学会学习”，让学习能真正地“生长”.

整个数学探究活动应该分为三个部分：第一部分是数学探究引导课，即教师引路，学生探路，为学生研究给出一个范式；第二部分是数学探究实践环节，即学生探究，教师协助，学生根据教师给出的研究策略和方向进行自主和合作探究；第三部分是数学探究成果展示环节，即学生汇报，教师小结，这个环节不仅让学生梳理了实践环节的成果、思考和反思，也锻炼了学生的表达能力，培养了其学术研究的能力.

俗话说：良好的开端是成功的一半，所以如何上好引导课是高质量完成数学探究的关键.本文以笔者的课堂实践来谈一下如何对数学探究引导课进行教学设计.

2 教学方法的选择

如何让学生用自己已有的知识和方法去引领其思考？这是本节课的重点.笔者从回顾知识、梳理方法，到同构问题，疑难解决，到最后的放手探究，让学生经历一个数学探究的过程，感知用平面向量研究几何问题的范式，体会向量的代数运算相比于平面几何的逻辑推理的优势.笔者将数学思维的发生和发展过程充分地暴露在学生面前，吸引学生积极参与知识的再创造和发展的过程［2］.

3 课堂实录

3.1 回顾知识、梳理方法

师：同学们，我们在第六章系统地学习了平面向量，它是代数和几何的一个完美结合，今天我们尝试用其研究平面几何问题，如余弦定理、正弦定理（投出图1），又或是三角形中位线的性质和平行四边形两条对角线和四边的关系（投出图2）.

【设计意图】带领学生回顾这些重要结论和习题解决的过程，不仅复习了向量的基本知识（余弦定理：三角形回路；正弦定理：数量积运算；例1：向量的数形二重性；例2：a2=|a|2的应用，即向量长度的刻画），更重要的是和学生一起回顾用向量方法解决平面几何问题的一般步骤（三步曲）：问题的向量表示→选择合适的向量运算→结果译回几何.目的是让学生从原有的知识结构入手，着眼于学生的最近发展区，这是学生数学知识发生发展的起点，更是数学思维的发生和发展的起点.

3.2 同构问题、牛刀小试

引问：直角三角形的三边存在怎么样的关系？同学们是否还记得初中我们是如何证明这个结论的？

义务教育教科书数学八年级上册（浙江教育出版社）对勾股定理的证明采用的是图形重构法，有学生还知道可以利用赵爽弦图证明和美国第二十任总统加菲尔德的“总统”证法（每种方法都投影给学生看一下）.但对于勾股定理的几何证明，无论是哪种方法，都需要变换图形技巧，这是学生在解决问题时难以想到的.

问题：那么你是否可以用平面向量的相关知识和运算来证明勾股定理？

针对这个问题，学生主要会使用以下三个策略来证明.

策略一：如图3，在△ABC中，∠C=π2，利用三角形回路AB=AC+CB，两边平方得AB2=AC2+BC2+2AC·CB，因为∠C=π2，所以AC·CB=0，那么有AB2=AC2+BC2，即AB2=BC2+AC2.

策略二：利用三角形回路AC=AB+BC，两边同时乘BC，由数量积的运算可得AB·BC=-BC2，然后同策略一两边平方可得AC2=AB2-BC2，也可以获得最终结论.

策略三：由AB=CB-CA（即余弦定理推导过程中的结构和方法）出发得到AB2=BC2+AC2.

【设计意图】带领学生解决这个问题的目的是让学生在回顾梳理的基础上实践操作，鼓励学生用不同的方式来处理问题（可以直接从图中的向量回路出发，也可以从现有的结论出发）不仅使学生对之前回顾的三步曲有了更好的体会，也感受到了勾股定理的向量法要优于几何法的证明.让学生有了用向量法“研究一个几何对象”的体验，初步感受用向量程序化研究几何，具备“算”几何的意识.

3.3 疑难解决、尝试说理

师：在初二，我们曾经学过三角形的中线，知道“三角形的三条中线相交于一点，这个交点叫作三角形的重心”.那我们是否严格证明过三条中线交于一点？我们今天能否从向量的角度来证明这个结论？

师：如何说明三角形三条中线交于一点？

生：如图4，假定两条中线一定交于一点（比如BE和CF交于点G），接下来我们去证明AD经过点G.

师：那么如何说明A，G，D三点共线？

生：尝试得到AG=λAD，即向量共线来说明.

师：非常好，请大家尝试证明你们的想法.

【设计意图】以问题链的方式带领学生思考，培养其“学会学习”意识，为其实现“生长”学习奠定基础.这个阶段一定要给学生充分的时间去实践.如果学生选定AB和AC作为基底的话，可以得到AG=13AB+13AC（学生有两种方式得到该结论：第一是算两次，用系数相等；第二是利用共线结论（6.3.1《平面向量基本定理》例1）），AD=12AB+12AC.

师：大家得到了什么结论？

生：AG=23AD.

师：翻译回几何的结果是什么？

生：向量AG和AD共线，且共点于A，所以A，G，D三点共线；|AG|=23|AD|，这说明G是AD上靠近点D的一个三等分点，这也是我们初中已经知道的一个结论.

【设计意图】把得到的向量结果回译到几何问题，不仅从理论上解决了初中遗留的问题，也再一次讓学生感受到了向量法在说理过程中的优势，感受到了“有了运算，向量的力量无限”（这里用了向量的线性运算，之前的勾股定理用的是线性运算和数量积运算）［3］.我们此时已经为学生打开了一个研究几何对象的窗口，接下来就要给他们更多自由发挥的空间.

3.4 范例拓展、探究起步

师：刚才我们用向量法证明初中的两个结论，本质就是将传统几何逻辑演绎系统下的几何证明变成了基于向量运算系统下的几何运算（不仅可以获得位置关系，还可以得到数量关系），而且不需要太多的变换技巧，更容易发现和证明一些优美的结论.关于重心，大家能否用我们已有的运算尝试得到一些新的结果，最好能尝试解释一下其几何意义.

【设计意图】这个环节可以让学生以小组的形式进行，教师一定要鼓励学生尝试用向量运算来获取新结果，鼓励其尝试解释获得结果的几何意义（有些结果可能并不太好解释），这个过程重在让学生去用向量“玩”（研究）数学、让探究的火种在其内心点燃.

学生可能得到的结果：

① GA+GB+GC=0;

② GD+GE+GF=0;

③ 若点P为平面在△ABC内任意一点，则PA+PB+PC=3PG;

④ 若点P为平面在△ABC内任意一点，则PD+PE+PF=3PG;

⑤ 若点P为平面在△ABC内任意一点，则PA+PB+PC=PD+PE+PF;

⑥ AB2+AC2+BC2AD2+BE2+CF2=43；

⑦ 若点P为平面在△ABC内任意一点，当点P在重心G时，PA2+PB2+PC2取到最小值;

⑧若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则重心Gx1+x2+x33，y1+y2+y33.

3.5 归纳成果、制定方案

对于不同的个人和小组，上面的结论获得程度可以会有比较大的差异，但我们希望学生通过上面的教学环节，让学生有研究问题的“术”、有探究问题的“渴望”.教师给出《用向量法研究三角形性质》研究报告的参考形式（表1）.

表1

1. 本课题组的成员姓名.

2. 发现的数学结论及发现过程概述.

三角形三条中线交于一点.

从严谨性角度看，第三条中线是否经过前两条中线的交点有待证明.

3. 证明思路及其形成过程描述.

利用向量的基底思想，借助向量共线证明三点共线.

4. 结论的证明或否定.

5. 用向量方法探索几何图形性质的一般步骤.

问题的向量表示→选择合适的向量运算→结果译回几何.

6. 收获与体会.

【设计意图】教师引路，让学生用平面向量学习过程中获得的方法和工具来研究平面几何的三角形，让数学理论走向数学应用.学生探路，重在研究、贵在探究，获得程序化研究几何的一个方法，积累“研究一个几何对象”的活动经验，也为其接下来小组研究奠定了基础，让学习“生长”.

4 课后反思

数学探究课是为了探究一个具体的、具有一定综合性、复杂性的数学问题，这与数学建模活动的内容（解决一个现实问题）是不一样的.作为引导课，笔者试图通过学生已有的知识和方法，引导他们学习如何“学以致用”，培养“思考”力，最终让“学会学习”这一目标得以实现.这也是《普通高中数学课程标准》刻意强调的，是数学课堂改革的一个方向.

本节课的教学活动主要是运用向量知识解释一些疑难问题，发现、提出数学问题并解决问题.要注意的是，这里的活动不同于常规地解答一个习题，是具有一定的数学研究味道的创新性综合实践活动.本节引导课在对经典问题（勾股定理）重现和疑难问题（三条中线交于一点）证明的基础上，进行了开放式的教学，对学生分析问题、解决问题的能力进行了培养，有助于提升学生的数学核心素养.

所以数学探究引导课首先要低起点，即落脚点是基本的知识和方法；重思维，即重视如何打开学生的思维，鼓励学生发散思维；有突破，即要鼓励学生突破自己的思维定势，探索属于自己的结论.教学探究引导课作为当今课堂教学的一种新课型，必须在新课程实施过程中给予高度重视.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）［S］.北京：人民教育出版社，2018.

［2］ 王凯，苏有生.基于“两个过程”合理性思考下的课堂教学设计——以“空间向量的正交分解及其坐标表示”为例［J］.中学数学教学参考，2018（6）：38-40.

［3］ 中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书数学必修第二册［M］.北京：人民教育出版社，2020.