二维局域共振周期格栅结构的低频振动带隙特性研究

李文博,章桥新

(武汉理工大学机电工程学院,武汉 430070)

0 引 言

在实际工程应用中,低频振动和噪声的控制一直是难以解决的问题[1]。低频弹性波在传播过程中穿透力强,难以衰减,对大多数工程结构和机械设备都是有害的,尤其是对机床和精密仪器。车削螺纹过程中机床、刀具和工件所产生的振动,引起刀—工切削接触关系不断变化,导致切削层厚改变,从而使切削力发生变化,切削过程处于不稳定状态,直接影响螺纹加工质量和加工效率[2]。潜艇在巡航时,主推进电机、柴油机、发电机组等机械设备的低频振动通过基座或支架传递到船体,激励船体振动向水中辐射声波,从而影响潜艇的隐蔽性[3]。战机在飞行过程中,发动机工作、导弹发射、特殊的飞行动作等都会对飞机本身产生严重振动和冲击[4]。机械振动不但会造成结构的疲劳损伤甚至破坏,影响设备的工作性能和寿命,还会危害人们的身心健康,特别是次声频段的弹性波易与机体器官发生共振[5-6]。

针对低频减振问题,目前常见的措施主要包括结构设计与参数优化、附加动力吸振器、附加阻尼材料、增加阻振质量,以及主动控制等[7]。总体来看,以上技术经过多年的发展,其有效性已被大量的应用实践证明。然而,在应用中还存在一些问题,例如:传统单自由度动力吸振器作用频段窄,对于复杂弹性结构,并不一定能使结构整体振动有效降低[8];自由阻尼工艺简单、实施方便,但效果较弱,约束阻尼又使结构质量增大[9]。针对以上问题,基于声学超材料的轻质周期格栅结构提供了有效的解决途径。

周期格栅结构是指由杆单元构成的原胞(最小的基本结构单元),按照指定的特征方向进行周期性排列所形成的网状结构。这种结构由于具有高比强度、高比刚度、隔热和隔振等特点,被广泛应用于航空航天、舰船潜艇、机械装备等结构的设计中[10]。目前对二维格栅结构的静力学性能(刚度、强度等)已经进行了深入的研究[11]。同时,减振特性作为结构的一个重要性能,如何实现消除和控制二维周期格栅结构中弹性波的传播或振动也是很值得重视的问题。

通常情况下,振动都是以弹性波的方式在结构中进行传播。从本质上来说,结构的振动可以归结为弹性波在介质中的传播效应。对弹性波在介质中传播特性的研究,是振动控制研究领域的核心问题[12]。其实,弹性波在周期支撑或加筋的各种梁板以及桁架等结构中传播时显现的带隙特性较早就已被发现[13-14]。弹性波在周期结构中传播时,受其内部结构的作用,在一定频率范围(带隙)内被阻止传播,而在其他频率范围(通带)可以无损耗地传播。Phani等[15]利用Floquet-Bloch原理研究了4种具有代表性的二维周期格栅结构(正方形、三角形、六边形以及Kagome结构)的能带结构及其带隙特性,研究发现,4种结构的带隙频率都在几千甚至几万赫兹以上,很难在低频产生带隙。2000年,Liu等[16]首次提出了局域共振型声子晶体的概念,用硅橡胶包裹铅球按照简单立方晶格排列在环氧树脂基体中,理论和实验结果都证实该单元尺寸为 2 cm 的结构具有400 Hz左右的低频带隙,比同样尺寸的Bragg散射型声子晶体的第一带隙频率降低了两个数量级。Liu等[17]将二维手性周期格栅结构与弹性包覆体结合,提出了一种用于低频应用的手性超材料复合结构。Martinsson等[18]对均匀密度与非均匀密度杆组成的方形格栅结构进行了研究,发现仅非均匀密度的格栅结构可以产生振动带隙。Zhao等[19]通过引入Koch分形结构,让原本不会产生带隙的正方形格栅结构产生一定宽度的低频带隙,而且随着分形迭代次数的增加,带隙的数量越多,带隙的频率越低。Zhang等[20]基于拓扑优化的方法对六边形周期格栅结构进行了优化,优化后的六边形格栅结构具有更低频率的带隙。王建伟[21]设计含压电分流电路的周期格栅结构,通过不同分流电路的组合,实现更宽频率范围的振动衰减。Han等[22]将正方形格栅结构的杆单元周期性截断,让部分杆单元一端不受约束,从而产生低频带隙。

本文提出一种新型二维局域共振周期格栅结构,结合有限元法对结构的带隙特性进行了研究。首先,计算无限周期结构的能带结构,并结合振动模态分析了局域共振带隙的产生机理。其次,基于局域共振单元的等效模型分析了结构的材料和尺寸参数对带隙的影响。最后,通过数值仿真和实验测试对有限周期的传输特性进行了验证。

1 单元模型

根据带隙形成的机理,若通过小尺寸结构控制低频弹性波传播,局域共振结构是一个很好的选择。局域共振机理认为,在基体和散射体中间加入柔软的包覆层,各个散射体在特定频率下产生共振,并与弹性波相互作用,从而抑制其传播。

新型局域共振周期格栅结构的组成单元如图1(a)所示,该结构就是基于局域共振的思想,以正方形格栅结构为基体框架,在环形框架内部引入包覆层和散射体,从而形成局域共振单元。其中:原胞的晶格常数为a;基体框架的宽度为b;散射体的半径为r1;包覆层的外径为r2。

2 带隙计算及其特性

2.1 基于有限元法的带隙结构计算

Floquet-Bloch理论可将无限周期结构的自由度凝聚在代表体单元的主控节点上。因此,周期格栅结构弹性波传播问题可采用有限元法在单胞域内求解。依据标准的有限元处理方法,在不考虑材料阻尼的情况下,二维周期格栅结构的单个结构单元(单胞)的动力学方程可表述为[23]:

(K-ω2M)q=F

(1)

式中:K和M分别代表原胞结构单元的总刚度矩阵和总质量矩阵;q和F分别代表广义节点位移向量和力向量;ω代表角频率。

位移向量q和力向量F可以写成如下形式:

q={qlqrqbqtqi}T

(2)

F={FlFrFbFtFi}T

(3)

式中:下标l、r、b、t和i分别对应单元的左、右、下、上和内部节点。

根据Bloch定理,原胞中边界上的节点位移向量和力向量具有周期性,即:

q(r+a)=ei(k·a)q(r)

(4)

F(r+a)=ei(k·a)F(r)

(5)

式中:r为位置矢量;a为晶格常数矢量;k为波矢。

根据周期性,单胞其他边界的位移和力向量均可用其中一个边界的向量表示,而且单胞内部节点力为零。经过运算,式(1)可写成:

(Kr-ω2Mr)qr=0

(6)

式中:Kr、Mr、qr均为关于波矢k的矩阵。因此,只要给定任意位置的波矢k,便可到得到一组对应的特征频率ω。求解时,只需令波矢k沿着布里渊区的边界M→Γ→X→M进行扫描,如图1(b)所示,即可得到整个结构的频散曲线。

基于有限元法在COMSOL中对结构Ⅰ进行特征频率分析。其中基体材料选用铝,中间包覆层材料选用硅橡胶,散射体材料选用铅块。材料及结构尺寸参数分别如表1、2所示。经过计算,图2为其能带结构图。从图中可以看出,结构Ⅰ在101.0～147.2 Hz形成了较宽的带隙,且频散曲线在波矢的绝大部分都为平直的,这也是局域共振型带隙的标志,然而带隙的起始频率仍然不够低。

表1 材料参数Table 1 Material parameters

图2 结构Ⅰ的能带结构图Fig.2 Band structure diagram of structure Ⅰ

2.2 带隙模态特性分析

为了进一步说明带隙的形成机理,图3给出了前四阶频散曲线上特殊点的振动模态。其中图3(a)～(c)为前三阶频散曲线在波矢X方向上对应的模态,图3(d)为第四阶频散曲线在波矢X方向上对应的模态。

图3 结构振动模态图Fig.3 Structural vibration mode diagram

其中图3(a)对应着图2中A点(66.41 Hz)的振动模态。在这种共振模式下,铅块和硅橡胶包覆层受到扭转剪切变形,仅对基体产生扭矩作用,而没有x或y方向的合力作用,对基体的振动无法产生抑制作用,因此基体中的长波行波难以与该共振模式发生相互耦合作用,从而未导致局域共振带隙的产生。

图3(b)和(c)分别对应着图2中B1点(100.80 Hz)、B2点(101.03 Hz)的振动模态,即带隙起始频率处。在这种共振模式下,铅块表现为整体横向或纵向的平移振动,硅橡胶包覆层因此受压缩或拉伸作用,从而在x或y方向上形成对基体的作用力。这种作用力会与振源对基体的外部激励力进行反向叠加,发生耦合作用,即发生反共振现象,导致作用在基体上的合力趋于零,基体的振动在此刻被完全抵消,从而导致了带隙的产生。另外,由于振动单元结构的对称性,横向和纵向两种振动模式是等效的,因此两种模态在离Γ点较远的倒空间范围发生了能带简并。

图3(d)对应着图2中C点(147.19 Hz)的振动模态,即带隙截止频率处。在这种共振模式中,基体和铅块在硅橡胶包覆层的弹性连接下都表现为整体的平移振动,但二者的振动方向相反。而相邻单元也是同样的振动模式,且振动相位相同,此时整个系统也会达到动态平衡。

综上所述,该局域共振格栅结构中低频带隙是基体中长波行波与周期局域振子的谐振特性相互耦合的结果,该耦合作用是否存在,是决定局域共振带隙能否产生的关键。

3 结构优化

3.1 对包覆层的结构优化

在结构Ⅰ的基础上,对包覆层的结构进行了改动,图4所示为优化后的结构单元。其中包覆层内侧与散射体接触部分的圆心角为θ1;包覆层中间连接部分的圆心角为θ2;另外包覆层在径向被等分为三部分,每部分宽度为e;包覆层与散射体接触区域的个数为N,其他参数与结构Ⅰ相同。单元结构的材料和尺寸参数分别如表1和表2所示。

表2 结构尺寸参数Table 2 Structural dimension parameters

图4 优化后单元结构Ⅱ及其布里渊区Fig.4 Optimized cell structure Ⅱ and its Brillouin zone

同样基于有限元法在COMSOL中对结构Ⅱ进行特征频率分析。其能带结构图如图5所示,由图可知,结构Ⅱ在45.2～68.1 Hz形成了一定宽度的低频带隙,相比结构Ⅰ,结构Ⅱ的带隙起始频率降低了一半,另外观察能带结构图可以发现,结构Ⅱ的第二、三阶频散曲线与第一阶频散曲线发生了简并,这是打开低频带隙的关键因素。

图5 结构Ⅱ的能带结构图Fig.5 Band structure diagram of structure Ⅱ

3.2 改变结构的材料与尺寸参数

图6 单胞与带边模式的简化模型Fig.6 Simplified model of unit cell and band-edge mode

(7)

(8)

式中:E和v分别为硅橡胶的弹性模量和泊松比。通过分析简化系统的共振模式及其固有频率,便可以对局域共振带隙的边界进行估算,同时为调节带隙提供理论指导依据。

对于局域共振带隙起始频率处的振动模式,其内部相当于一个单自由度的“质量-弹簧”系统,如图6(b)所示,对应的共振模式体现为原胞内部散射体的整体平移振动,用该振子的固有频率所估计的局域共振带隙起始频率为[23]:

(9)

将m1和k分别代入式(9),求得f1约为46.01 Hz,与仿真的带隙起始频率45.2 Hz基本一致。

而对于局域共振带隙截止频率处的振动模式,其内部相当于一个双自由度的“质量-弹簧-质量”系统,如图6(c)所示,对应的共振模式表现为散射体和基体质量在弹簧的连接下,以相对振动的方式发生共振,用该振子的固有频率所估计的局域共振带隙截止频率为[23]:

(10)

将m1、m2和k分别代入式(10),求得f2约为70.84 Hz,与仿真的带隙截止频率68.1 Hz基本一致。

从公式(9)和(10)可知,改变相应部分的等效质量或刚度就可以调节带隙的频率位置和宽度,而等效质量和等效刚度又受到结构尺寸的影响。因此,为了深入分析结构不同尺寸和材料时带隙的影响规律,以结构Ⅱ为例进行研究。图7给出了结构Ⅱ的第一共振带隙随铅块半径r1、硅橡胶包覆层外径r2、夹角θ1、夹角θ2、接触区域个数N和基体材料的变化曲线。

首先,研究在只改变参数r1而其他参数不变的情况下带隙的变化情况。由图7(a)可以看出,随着铅块半径的增大,带隙的起始频率和截止频率均增大,但是起始频率的变化率较小,所以带隙的宽度变宽,可见该结构带隙的位置和宽度与铅块的半径密切相关。铅块半径r1增大,则铅块质量m1随之增大,但在r2不变的情况下,硅橡胶包覆层的宽度r2-r1会变小,随之包覆层的等效刚度k增大。根据式(9),在m1和k同时增大的情况下,仿真结果表明带隙的起始频率f1降低,说明铅块半径r1增大对等效刚度k的影响相比铅块质量m1更大一些。

其次,研究在只改变参数r2而其他参数不变的情况下带隙的变化情况。由图7(b)可以看出,随着硅橡胶包覆层外径r2的增大,带隙的起始频率和截止频率均减小,带隙宽度也减小。根据式(9)和(10),当参数r2增大,则包覆层的等效刚度k就会减小,因此带隙的起始频率f1和截止频率f2都会降低,且f2的变化率更大。

接着,研究在只改变参数θ1而其他参数不变的情况下带隙的变化情况。由图7(c)可以看出,随着夹角θ1的增大,带隙的起始频率和截止频率均增大,且带隙变宽。根据式(9)和(10),当参数θ1增大,则包覆层的等效刚度k就会增大,且对截止频率f2的影响更大。

研究在只改变参数θ2而其他参数不变的情况下带隙的变化情况。由图7(d)可以看出,夹角θ2的改变对带隙几乎没有影响,由此可见,改变夹角θ2对包覆层等效刚度k的影响很小。

接着,研究只改变参数N对带隙的影响。此时为了方便建模,将θ1改为10°,θ2改为30°,而其他参数保持不变。由图7(e)可以看出,带隙的起始频率和截止频率均增大,且带隙变宽,由此可见改变参数N也会使包覆层的等效刚度k增大。

最后,研究只改变基体材料对带隙的影响。由图7(f)可以看出,基体材料的改变对带隙的截止频率影响较大,而且基体材料的密度越小,截止频率就越大,随之带宽也就越大。

根据以上分析可知,通过增大包覆层外径r2可以降低带隙的起始频率,而适当的增大铅块半径r1、夹角θ1和参数N可以起到放大带隙宽度的作用,同时选取密度较小的基体可以增大截止频率,从而获得低频且较宽的带隙。

4 有限周期结构传输特性验证

虽然理想声子晶体在其带隙范围内有完美的弹性波屏蔽效果,但这是基于无限周期结构的结果,即使较小的衰减效果也可以通过不断地累积从而达到实现消除弹性波的目的。而在实际的应用中,只能取用有限周期结构,这使得带隙结构中带隙频率范围内的某些弹性波可能无法衰减到一定程度而依然可以透过有限周期结构。因此,对于声子晶体,只用能带结构作为参考还不够,只有通过对有限周期结构的传输特性进行模拟仿真以及实验测试,才能进一步验证该结构的减振特性。

4.1 有限元模拟

在有限元软件COMSOL中,首先按照单元结构的参数建立有限周期结构模型。为了得到更好的效果,模型的基体材料采用有机玻璃,包覆层和散射体的材料依然采用硅橡胶和铅,结构的尺寸参数都采用表2中结构Ⅱ的参数。其中模型在x方向上具有10个周期,在y方向上只设置1个周期。然后在模型的一端施加y方向的单位加速度激励,并使频率扫过0～200 Hz,最后在另一端拾取相应的加速度响应,即可得到频率响应函数。频率响应函数的定义如式(11):

(11)

式中:X和X0分别为拾取端和激励端的加速度;T为频率响应函数值。

为了方便作对比,图8给出了结构Ⅱ的能带结构和频率响应函数曲线。从图8(a)中可以看到,在低频段44.7～86.1 Hz产生了较宽的带隙(图中阴影部分),在这段频率范围内不存在频散曲线,即弹性波无法传播;从图8(b)可以看到,有限周期结构在45.0～80.7 Hz,弹性波的传播也存在较大的衰减,在57.0 Hz处的衰减最大,其值达到了41.8 dB。通过两图的对比发现,有限周期结构的频率响应与对应的能带结构保持了较好的一致性,验证了带隙的准确性。

图8 结构Ⅱ能带结构及有限周期结构频响曲线Fig.8 Band structure and frequency response curve of finite periodic structure of structure Ⅱ

4.2 实验验证

为了验证仿真结果的准确性,对局域共振周期格栅结构进行制备,实验样件的材料和尺寸参数与4.1小节相同,图9(a)为1×10周期排列的测试样件,图9(b)为结构的原胞单元。同时搭建了振动测试分析实验系统,如图9(c)所示。在试验测试中,为了避免铅块的质量对有机玻璃板的垂直于板面振动的影响,保持样件侧立放置并通过绳子将其水平吊装在支架下,在测试样件的输入端和输出端分别安装加速度传感器,试验中采用的是B&K 4507B型加速度传感器,用于监测垂直于板面的振动加速度幅值。然后通过激励锤敲击测试样件的输入端,使其产生相应的激励信号;安装在板面两端的加速度传感器将获取的振动加速度信号传回分析系统,实验采用的是B&K Type3660-c-100型系统,经过分析系统的分析和处理,最终得到测试样件的频率响应函数。

图9 测试样件及试验测试方案Fig.9 Test samples and test plans

实验测试的结果如图10所示,为了对比分析,对不包含局域共振单元(只有基体框架)和包含局域共振单元的两种情况分别进行实验测试。从图中可以看出,不包含局域共振单元的仿真结果和实验结果在整个测试频率范围内频率响应函数值几乎都大于零,即不存在弹性波的衰减;仿真结果在A点出现了一个峰值,因为A点位于基体框架一阶固有频率(64 Hz)附近;另外,考虑到有机玻璃是一种黏弹性材料,仿真设置了一定的阻尼,其损耗因子约为0.073 6[25],因此固有频率处的响应幅值也不会特别大。从包含局域共振单元的实验结果可以看出,其频率响应函数值在40～90 Hz都至少小于-10 dB,最小值为-36 dB,即对弹性波的传播起到很好的衰减抑制作用,具有较好的减振效果。同时与仿真结果进行对比,两条频率响应函数曲线均存在一个振动衰减区,其频率范围吻合较好,验证了结构具有良好的低频减振性能;另外,仿真结果在B、C点出现了尖峰,因为B、C点分别处于带隙的起始频率和截止频率附近,结构发生了共振,此时仿真得到的响应幅值也是较大的。

图10 实验测试与仿真结果对比Fig.10 Comparison of experimental test and simulation results

总之,通过有限元仿真和实验测试,二维局域共振周期格栅结构的低频带隙特性得到了很好的证实。

5 结 论

本文将局域共振单元引入周期格栅结构中,并对包覆层结构进行优化设计,使其带隙频率比传统局域共振单元降低了近50%,具有更优越的低频振动带隙特性。研究发现振动带隙的产生是基体中传播的弹性波与内部共振单元的局域共振模态耦合作用的结果。弹性波的能量被局限在共振单元内,并在散射体的动能和包覆层的应变能之间不断转换。通过改变结构的材料和尺寸参数,其可以在40～90 Hz的低频范围打开宽度50 Hz的完全带隙,从而满足低频减振的需要。另外,本文分别进行有限元计算和试验测试,两种结果实现了很好地吻合,证实了这种周期格栅结构在低频范围可以获得较宽的振动带隙,具有较好的减振特性。

综上所述,新型二维局域共振周期格栅结构设计为格栅结构的减振研究提供了一种获得低频振动带隙的有效方法,在低频减振降噪领域具有潜在的应用前景。