“数”与“形”的融合，创新“一题多解”

房小记

摘 要：“一题多解”对学生逻辑思维能力的养成有着非常重要的影响，教师应重视将“一题多解”的意识巧妙渗透到数学课堂解题教学中去.以一道双曲线中的离心率与方程的求解问题为例，借助解三角形思维、平面几何思维等方面从不同视角进行解法探究，让学生在解题中感悟数学之美，培养思维的发散性，开拓视野，提升数学核心素养.

关键词：双曲线；离心率；方程；解三角形；平面几何

x23-y24=1.

解后反思：在第一空的基础上，已知构建参数a、b、c之间的关系，进一步以双曲线上的一条切线与其两条渐近线所转成的三角形的面积来巧妙创设，进而求解双曲线的方程，实现数学知识、思维与方法等方面的递进与提升.同时，问题的解决与应用，也是双曲线中的对应性质的归纳.

3 归纳拓展

在以上问题的解答第二空的双曲线方程的求解时，其中解析过程中发现双曲线有一个完美的性质：

性质 双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）上的任意一条切线与其两条渐近线所转成的三角形的面积为定值ab.

具体的证明过程，可参照以上问题的解答第二空的过程，这里不多加以叙述.在解答以上小题时，如果掌握以上基本性质所对应的“二级结论”，对于第二空中双曲线方程的求解，就更加简捷快速.

4 教学启示

4.1 “数”与“形”的结合，代数几何角度

在圆锥曲线的离心率及其相关问题的解决中，关键是抓住问题的内涵本质，合理构建参数a、b、c之間的关系，经常可以从两个层面来展开：（1） 代数视角，从“数”的角度切入，利用平面解析几何中的代数元素，并结合相关的公式来构建等量关系；（2） 几何视角，从“形”的角度切入，利用平面几何中的几何元素，并结合相关的图形特征来构建等量关系.

经常是同时综合“数”与“形”之间的联系，数形结合，合理综合“数”与“形”之间的关系加以综合应用，创新解决.

4.2 倡导“一题多解”，实现“一题多得”

在数学教学与解题研究中，借助“一题多解”，可以很好地开阔学生的解题思路，发散学生的解题思维，使学生学会多层面、多角度分析和解决问题，真正达到对数学原理、基础知识与“通性通法”的认识，提高数学解题技巧与能力，灵活应用，出神入化，达到“一题多得”的良好效果.