“问题提出”引领下的数学探究活动

李沐慧

摘  要：以“正方体的截面”教学为例，借助“问题提出”引领学生展开数学探究活动. 在动手实践、几何实验的基础上启思明理，帮助学生发现并提出一系列关于正方体截面的探究问题，培养学生的分类讨论、作图表达、推理论证等能力，在具体的数学情境中提升学生的直观想象、数学抽象和逻辑推理等素养.

关键词：数学探究活动；问题提出；正方体截面；任务单

数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究和合作研究，并最终解决问题的过程. 具体表现为：发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探索和合作研究论证数学结论. 为落实《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《標准》）的教学要求，探究活动的设计需要抓住探究特点，明确方向、整体设计、突出问题导向、任务驱动、合作交流、把握过程，引导学生用数学的思维分析现实世界，用数学的语言表达现实世界.

问题是探究活动的核心，相较于教师设计一套完整、优良的“问题串”，引导学生自己提出一系列探究问题更能让其体验数学知识的发生发展过程，进而有层次地整体理解数学的本质和逻辑. 下面以《标准》附录中的案例11“正方体截面的探究”为例，探讨“问题提出”引领下的数学探究活动教学.

一、教学前期分析

1. 内容分析

沪教版《普通高中教科书·数学》必修第三册（以下统称“教材”）关于正方体截面的内容出现在第11章“简单几何体”的课后习题部分，第11章主要包括多面体与旋转体、柱体、锥体、球等内容，而第10章主要研究的是“空间直线与平面”. 由于本节课的研究对象为正方体，因此安排在多面体内容之后进行学习.

本活动包含的知识内容有正方体、截面形状，以及空间中点、直线、平面的位置关系等. 蕴含的数学思想方法包括从特殊到一般、分类讨论、转化与化归等. 可以发展的数学核心素养主要包括直观想象、数学抽象和逻辑推理.

2. 学情分析

正方体截面的探究中包含了跨度很大的探究问题，针对不同学生可以设计不同的教学方案，通过多种方法实施探究. 本次探究活动安排在高二年级进行，学生具备一定的自主探究和合作学习能力. 在认知基础方面，学生已经学习了空间几何体及点、直线、平面之间的位置关系，掌握了相关的性质和定理，具备一定的空间想象能力和推理论证能力. 然而，由于数学探究活动经验不足，学生在探究正方体截面的过程中可能难以系统地提出一系列探究问题，对于多面体截面的分类讨论意识也不足.

3. 教学目标及教学重点和难点

首先，让学生在经历实物操作、几何实验后能够作出正方体的截面. 其次，用样例问题引导学生自主发现、提出一系列探究问题并尝试解决，通过观察猜想和抽象推理，了解正方体截面的图形特征. 再次，用“问题提出”引领学生理解探究正方体截面的基本方法，并在探究过程中提升学生的提出问题、分类讨论、作图表达、推理论证等能力. 最后，帮助学生回顾反思提出数学问题的一般思路，在具体的数学情境中提升直观想象、数学抽象和逻辑推理等素养.

本活动的教学重点是掌握正方体截面的图形特征，并能按要求作正方体的截面；教学难点主要是引导学生提出一系列探究问题，分类找出所有正方体截面的图形特征并推理论证部分结论.

4. 教学策略和流程设计

本活动设计了包含课前、课中、课后三个阶段的开放式探究活动，主要围绕正方体截面作图、正方体所有截面形状、正方体截面相关性质展开探究，内容比较丰富.

课前，采用自主研学的方式，让学生利用教师设计好的“课前任务单”尝试作出正方体的截面，通过分析、解决、反思相对简单的例题提出新问题，展开进一步探究.

课中，展示学生的课前研究成果，并以学生提出的探究问题为例，围绕正方体截面的作图、形状、周长、面积、截面所分几何体的体积，以及空间中点、直线、平面之间的距离、角度计算或位置关系的证明等展开“以点带面”式的系统探究.

课后，学生结合所学完成相应的基础练习，并自主思考课中引申出的深层次、高难度的探究问题.

整个活动主要借助几何画板、GeoGebra等软件，让学生在直观的动态展示和实践操作中探究正方体截面的形状. 完整的探究活动流程如图1所示.

二、课前：依据各项任务，实践自主探究

1. 动手实践

活动1：切割正方体模型（如土豆块、花泥模具、泡沫塑料等），尽可能切割出不同形状的截面，并拍照记录截面图形的边数，判断截面图形的特征并说明原因.

活动2：利用网络资源，学习几何画板、GeoGebra等软件的使用方法，绘制正方体截面的动态演示动画，截图记录截面图形的边数，判断截面图形的特征并说明原因.

【设计意图】在动手实践中直观感知正方体截面形状的多种可能. 针对软件操作和直观想象能力较强的学生，让其在制作动态动画的过程中，更准确、全面地判断正方体截面的多种可能，并准确分析图形特征，促进思考.

2. 几何实验

活动3：给出截面概念. 要求学生在课前任务单中作出一个正方体，选择正方体棱或面上的3个点，尝试作出经过这3个点截正方体所得的截面.

【设计意图】让学生脱离活动1和活动2中的实物操作，在直观体验的基础上进入几何抽象和空间想象的阶段.

3. 提出问题

活动4：在活动1、活动2和活动3的基础上，尝试回答或证明课前任务单中的例1和例2，随后独立提出3 ～ 5个关于正方体截面的数学问题，并尽可能给出每道题目的解答.

例1  用一个平面截正方体.

（1）截面是否可以为一个三角形？

（2）如果截面可以是一个三角形，这个三角形可以是直角三角形吗？为什么？

（3）如果截面可以是一个三角形，还可能是什么样的三角形？试说明原因.

例2  如图2，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P，Q，R分别是棱AB，BC，D1C1的中点，试作出过P，Q，R三点的平面截正方体所得到的截面.

【设计意图】例1探究正方体截面是三角形时的图形特征；例2解决简单正方体截面作图问题. 此外，两道例题也可以作为提出问题的样例.

课前活动主要通过“课前任务单”鼓励学生迈出探究的第一步. 数学探究活动是运用数学知识解决问题的一类综合实践活动，因此从设计到实施通常始于课前，且不止于课堂. 本节课通过设计课前探究活动及相应任务单，引导学生从动手实践到几何实验，再从中提出可以探究的数学问题. 在动手实践中，针对操作水平不同的学生分别设计了“切割模型”和“软件绘图”两个活动，在此基础上引导学生尝试抽象并作出正方体截面. 课前自主探究活动的设计旨在让学生在真实的情境中参与活动、体验成功，通过“做数学”，手脑协同，经历从特殊到一般、从具体到抽象、从简单到复杂的逐渐深入的数学学习过程.

三、课中：分析探究思路，归纳截面作法

问题1：什么是“截面”？

问题2：要从哪些方面探究正方体的截面？

通过师生共同探究，学生明确“截面”的本质是空间中的平面多边形，并指明要从形状、周长、面积、截面所分几何体的体积，以及空间中点、直线、平面之间的距离、角度和位置关系等方面展开对正方体截面的探究，并在教师的引导下，确定基于学生提出的截面作图问题开始探究.

题目  如图3，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F，G分别在棱AB，BC，DD1上，求过点E，F，G的截面.

解：如图4，连接EF并延长，交DC的延长线于点N. 延长FE，交DA的延长线于点M.

连接GM，GN，分别交AA1，CC1于点P，Q.

连接EP，QF，则五边形EFQGP即为所求截面.

问题3：例2和上述题目中给定的三点的位置有什么共同特征？

学生得出结论：三个点都在棱上，且其中两个点的连线在正方体的外表面上.

问题4：如何改变三个点的位置，提出比例2简单或复杂的新问题？

学生得出结论：变简单可以把三个点都放在棱上，且两点的连线中有两条在正方体的外表面上（如图5）；变难可以把三个点都放在棱上，但两点的连线都在正方体的内部（如图6）；最难的则是把两个点放在棱上，另外一个点放在正方体的外表面上，且任意两点的连线都在正方体的内部（如图7）.

问题5：能否总结、归纳正方体截面的作图方法？

【设计意图】该部分对应课前活动3. 首先，通过解决学生提出的求截面问题，帮助学生掌握作出比较简单的正方体截面的方法. 其次，带领学生由“条件”反思原始问题，鼓励学生提出新的数学问题，探究更加复杂的正方体截面的作法.

四、课中：展示课前成果，讨论截面形状

成果展示：展示学生课前活动1和活动2的成果，包括动手切实物模型、GeoGebra软件作图、几何画板软件作图三类.

问题6：能否证明正方体截面是三角形时一定是锐角三角形，并总结三角形截面的其他可能图形？

问题7：能否提出关于正方体截面形状的两大类问题？

第一类问题是：正方体截面是否可以为一个n（n ≥ 3，n ∈ N*）边形？第二类问题是：当正方体的截面是n边形时，是否可能为某种特殊的n边形？为什么？

问题8：正方体截面最多是几边形？正方体截面为什么不会是正五边形？当正方体截面为四边形时，是否可能为直角梯形？为什么？

总结归纳：运用几何画板软件展示正方体截面图形的各种情况及细节，如表1所示.

【设计意图】展示学生的活动成果及提出的数学问题，激发学生课后自主学习的动力. 类比例1提出两类新的数学问题，经历从三边形到n边形的探究过程，帮助学生逐渐理解探究正方体截面形状的基本思路.

以上课中的探究过程注重用“问题提出”引领学生自主发现探究问题.《标准》案例11中给出了关于“正方体截面”的一系列可探究问题. 诚然，教师可以将这些问题一股脑儿全抛给学生，但那样做得到的教学效果可能只是停留在让学生解决了一道又一道数学问题的层面. 至于这些问题是从哪里来的，以及这些问题之间有什么关联，学生很难有更多的思考，未来面对类似“正方体截面”这样较为复杂、宏观的探究主题时，仍然无从下手.

本节课采用给出样例问题引导学生继续提出数学问题的方式设计课前任务，进而在课堂中让学生经历“动手实践—几何实验—提出问题—分析问题—解决问题—反思问题—提出新问题—总结归纳”的循环推进过程. 课堂教学中，把学生自己提出的问题作为分析对象，在不断提出新问题的过程中引领学生思考、推理，将探究的主动权留给学生.

五、課中：厘清提问思路，理解探究过程

问题9：如何基于一个问题提出新的问题？有哪些策略可以帮助我们发现、提出更多的数学问题？

学生基于教师的引导进行思考，师生共同总结提出更多数学问题的策略，如图8所示.

【设计意图】本节课是一节以激发学生提出问题为主要目标的探究型课例，由于学生缺乏相关经验，故教师引导学生对“提出问题”进行更高站位、更全面地思考.

问题10：如何提出更好的数学问题？好的数学问题有哪些标准？

问题11：关于正方体的截面，你还能想到哪些有待探究的问题？

【设计意图】尝试帮助学生解决“为什么要做这些活动？”“开展自主探究、提出问题的基本思路大概是怎样的？”等困惑，以便学生更好地面对未来多变的自主学习和教学方式，开展更多的自主探究.

六、课后：回顾活动历程，课后补充巩固

在完成对正方体的截面的探究后，教师通过以下两个问题引导学生对探究活动過程进行回顾、总结.

（1）通过此次探究活动，你学到了哪些数学知识？

（2）此次探究活动的探究思路是什么？

【设计意图】在教学正方体截面的相关基础知识、提升学生相应基本技能的基础上，本节课旨在设计一条循环递进、螺旋上升的探究思路，以期帮助学生更好地积累数学活动经验，进而提升学生发现和提出数学问题的能力.

课后作业：略.

七、教学反思

在以上课堂教学活动中，笔者主要帮助学生分析“问题提出”的底层知识，从认知视角帮助学生实现上位学习. 在数学探究活动中提出问题，对学生掌握的经验和学习能力要求很高. 探究活动的有效性与学生的站位高度直接相关. 在本节课中，学生提出数学问题的经验较少，只有小部分学生能够快速领会其中的奥妙. 因此，在本节课后半段的教学中，笔者引导学生基于“问题提出”本身讨论了三个问题.

首先，“如何基于一个问题提出新的问题？”是关键所在. 面对不同的探究主题，学生需要尽可能多地罗列与其相关的知识要素，并在头脑中快速生成一张关于此主题的“知识网络”，这是提出新问题的基本条件. 就本节课而言，涉及作图、形状、周长、面积、截面所分几何体的体积，以及空间中点、直线、平面之间的距离、角度的计算和位置关系的证明等基础知识.

其次，教学需要帮助学生从认知某个主题的多个视角出发，对不同的问题进行归类思考. 例如，在本节课的提问探究过程中，学生大致经历了“直观—抽象—计算—推理”的分析过程，还经历了把“三维”的研究对象“二维化”进行初步研究后再放回“三维”中继续研究的过程. 此外，整个探究还是先对单一“不变”截面的分析，再整体分析截面“动起来”的过程. 在回顾、反思、认知正方体截面的不同视角后，学生对自己提出的数学问题会有更加深刻、清晰的理解.

最后，就“提问策略”而言，课堂教学中总结了改变问题条件、类比、结果与条件置换及将在解题过程中得到的新的发现或结论作为新问题的出发点等建议. 关于“好问题的标准”，学生通过讨论得出了问题的大小要适切、内容要丰富、答案要多样或开放等结论.

分析数学探究活动中的基础知识和认知视角，旨在帮助学生理解“问题提出”是开展数学探究的一种可行方式. 探究活动的设计教学需要给予学生具体的方法和整体的思考，为学生指明一条循环递进、螺旋上升的探究思路，从而辅助其积累活动经验，并提升发现和提出数学问题的能力及有关素养.

每个人天生就是提问者，发现和提出问题在生命个体的发展过程中具有独特且重要的意义，是学生探究能力的发端. 然而，目前学生很少有机会经历知识发生发展的过程，更缺乏从真实世界发现和提出相关数学问题的学习经历. 因此，我们需要从基础教育改革的大背景出发，关注数学探究活动的设计与教学，培养学生的各类数学与综合素养，努力实现新时代下人才的培养目标.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史宁中，王尚志.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》解读［M］. 北京：高等教育出版社，2020.