“探究活动：从圆到球”教学设计

2023-07-06张巧巧

中国数学教育（高中版） 2023年6期

张巧巧

摘要：“探究活动：从圆到球”一课从现象、定义、性质和关联四个方面引导学生类比圆的几何性质探究球的几何性质，让学生经历“生活现象中的球—球面的形成方式—球与平面的关联—球与几何体的关联”的探究过程，体会科学研究的一般路径，帮助学生更加充分地认识客观世界中的球面与球体，更加深刻地理解球的定义与球的几何性质，更加灵活地发现球与平面、球与几何体的关联．

关键词：从圆到球；类比与转化；单元整体教学

一、教学设计

1. 教学内容解析

课例“探究活动：从圆到球”是人教A版《普通高中教科书·数学》（以下统称“教材”）必修第二册第八章中球的几何性质的探究活动的成果展示课，安排在学生完成教材必修第二册“立体几何初步”和教材选择性必修第一册“直线与圆的方程”的学习，并基本形成初步的章节知识框架之后进行．

本次从圆到球的探究活动采用先整体设计后分步实施的方式进行. 借助具体情境引导学生从类比、模仿到自主创新，从局部实施到整体构想，使学生以小组为单位借助具体主题经历选题、开题、做题、结题的过程，并通过参与探究活动积累发现和提出问题、分析和解决问题的经验，养成独立思考与合作交流的习惯.

圆是贯穿小学、初中和高中三个学段的数学研究对象. 学生在小学阶段初步直观感知图形圆，在初中阶段进一步应用圆的几何性质，在高中阶段充分利用解析法对圆进行代数刻画. 知识横跨三个学段，实现了对数学对象从具体到抽象、从定性分析到定量分析的逐层递进的认知过程. 球也是非常重要的数学对象. 事实上，圆是球在二维平面上的投影，球是圆在三维空间中的拓展. 在高中阶段，计算球的表面积和体积、研究球与平面相截的问题、确定几何体的内切球与外接球等都是非常重要的数学问题. 除此之外，球在学生将来要学习的微积分、空间解析几何、微分几何等课程中也占有一席之地．

此外，教材调整了立体几何模块与解析几何模块的编排顺序，借助本次探究活动的具体情境可以实现以立体几何为主线的单元内容整合. 乔治·波利亚曾经说过，类比是一个伟大的引路人. 求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题. 而“立体几何初步”的教学内容多次采用了类比与转化的数学方法，如从线线关系到线面关系、从平行关系到垂直关系等. 因此，可以沿用本章教学的主要方法——类比与转化，将知识难点迁移到平面几何图形——圆的类似问题中，抓住圆与球的内在关联，由简入繁，化繁为简. 在复习圆的相关知识时，引导学生重新整合不同的知识和问题，并进行比较、归纳和总结，找出其内在联系，洞悉数学的本质．

基于以上认识，确定本节课的教学重点为：球的截面问题，几何体的外接球问题，类比与转化思想．

2. 教学目标设置

本节课的教学目标设置如下.

（1）通过平面内形成圆周的方式，运用类比思想，探索空间中形成球面的方式，体会定义一个数学对象的基本思想.

（2）类比圆的相交弦问题中的特征三角形（由圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形），提炼出球的截面问题中的特征三角形（由球的半径、截面圆半径、球心到截面距离构成的直角三角形），提升直观想象、数学抽象和逻辑推理素养.

（3）借助GeoGebra软件绘制球的截面立体图，通过直观感知、操作确认、推理论证等探究过程，领悟研究几何问题的基本思路，提高运用图形语言、符号语言和文字语言表达与交流的能力.

（4）通过对几类特殊三棱锥的外接球的分析和探究，将空间问题转化为平面问题，并通过探究活动的实践与展示，体验敢于探究、乐于探索和勇于创新的科学精神．

3. 学生学情分析

本次探究活动的参与对象为高三学生，具有扎实的基础．经历了小学、初中、高中三个学段对圆和球的学习，学生已经具备了一定的从定性分析到定量分析的能力，但是还不能系统地认识球与平面、球与其他几何体关联后形成的综合性较强的动态切接问题，不能灵活地将空间问题与平面问题进行类比与转化．

将处理圆的基本方法和基本思想类比迁移到球的相关问题之中，实现学生对处理球的切接综合问题的融会贯通. 通过这一过程，使学生在具体的情境中体会从低维到高维、从简单到复杂、从具体到抽象和从已知到未知的探究数学问题的方法. 这对提高学生学习数学的关键能力，提升学生的数学抽象和直观想象素养起着十分重要的作用．

根據以上分析，确定本节课的教学难点为：体会研究问题的一般路径，形成探索精神．

4. 教学策略分析

数学是思维的科学，数学学习不是简单的“告诉”，而应该是学生个性化的“体验”. 本次项目式探究活动设置七个环节（项目选定、制订计划、活动探究、作品制作、成果展示、活动评价、拓展延伸），采用问题引导、合作探究和研究性学习的方式，倡导自主探索、独立思考、动手实践、合作交流. 充分利用观察、思考、探究等，强调几何直观，把空间观念的建立和空间想象能力的培养放在突出的位置. 此外，教学中注重发展合情推理，降低证明要求，渗透类比与转化的数学思想．

“探究活动：从圆到球”一课的教学基本流程为：课前探究，课中展示，课后延伸.

5. 教学过程设计

（1）项目选定.

基于上述对教学内容、教学目标、学生学情和教学策略的分析，将此次活动设定如下.

主题：从圆到球.

形式：项目式探究.

研究路径：类比与归纳.

研究重点：以球为载体对立体几何内容进行整合.

研究难点：体会研究问题的一般路径，形成探索精神．

（2）制订计划.

本次探究活动利用课外时间及两节数学课完成，详情如表1所示.

（3）活动探究.

教师课前设置了详细的探究活动方案，从情境、研究对象、研究对象与其他对象的关联三个维度设置了七个参考选题. 学生采用小组合作的方式，结合选题确立七个研究性学习小组，即实例组、定义组、体积组、切面组、截面组、内切球组和外接球组. 将各小组的研究成果集结成册（《撑一支长篙，向青草更青处漫溯》）.

（4）作品制作.

本次探究活动的主要成果为：一本以球的几何性质为主要内容的研究报告册、一个圆的相交弦定理的推广、一种求解三棱锥的外接球问题的解题策略.

（5）成果展示.

① 课堂展示环节，实例组、定义组、截面组和外接球组分别以“知圆与球之用”“辨圆与球之义”“明球与面之理”“悟球与体之法”为主题展现了科学研究的一般规律，即观察生活，抽象并定义研究对象，研究对象的性质，研究对象与其他对象的联系.

② 借助GeoGebra软件，学生分组展示探究成果，问题驱动全体学生主动参与知识建构、合作探究，同时保证学生学习的规范性，实现高效课堂．

③ 学生从课前探究和课上展示中感知研究几何问题的基本思路，体会数学中的类比与转化思想，将空间问题平面化，螺旋上升地学习核心数学知识，重点提升直观想象、数学抽象和逻辑推理素养．

（6）活动评价.

根据各小组展示的研究成果，现场设置教师课堂观察、教师口头评价、开放式活动反馈评价、课内外作业等多种评价方式，并根据展示过程中暴露出的研究问题及时提问修正．

（7）拓展延伸.

① 将各小组的研究报告集结成册，形成研究报告册（《撑一支长篙，向青草更青处漫溯》）．

② 帮助学生对接清华大学、浙江大学、东南大学、南京大学、华中科技大学、华中师范大学的教授，通过邮件交流的方式为学生答疑解惑．

③ 幫助学生联系武汉大学教授，通过视频采访的方式解决困惑．

二、成果展示

七个研究小组的研究内容都非常丰富. 在成果展示环节，仅让实例组、定义组、截面组和外接球组参与现场展示，目的是将四个小组的展示内容作为一个整体，突出展现科学研究的一般规律，即观察生活，抽象并定义研究对象、研究对象的性质及研究对象与其他对象的联系. 以下为展示小组的活动梗概.

主题1：知圆与球之用.

教师导入：教师与学生现场互动，讨论在哪些生活情境中会遇到圆形或球形的物体，并介绍实例组的主题、人员构成、主讲人和关键词．

实例组研究内容简介：实例组细心观察生活，从生活中的各个领域寻找圆与球的身影，并列举出具体实例．

教师简评：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日月之繁，无处不用数学.（华罗庚）

【设计意图】让学生在开放的现实情境中自主探索、亲身体验、积极思考. 配合教师给出的实例，引导学生细心观察生活，关注科技，关心时事，从而提升学生的民族自豪感和爱国情怀．

主题2：辨圆与球之义.

教师导入：教师引导学生对问题“小学阶段用实验的方法度量了圆的周长，进一步通过分割圆借助圆的周长求出了圆的面积. 在高中阶段我们用什么方法计算球的体积呢？”进行思考，通过互动对球的简单几何性质进行回顾，进一步探究球的形成方式，并介绍定义组的主题、人员构成、主讲人和关键词．

定义组研究内容简介：定义组通过四种几何角度，仿照平面内圆周的多种形成方式和圆周的方程，类比得到空间中球面的形成方式（如表2）和球面的方程.

推广探索：为了激发学生的探究热情，在定义组介绍了球面的四种形成方式之后，教师补充了球面的标准方程和参数方程. 球心在[x0，y0，z0]，半径是R的球面的标准方程为[x-x02+y-y02+z-z02=R2]，参数方程为[x=x0+Rsinφcosθ，y=y0+Rsinφsinθ，z=z0+Rcosφ][0≤φ≤π，0≤θ≤2π]. 同时，教师借助GeoGebra软件进行动态展示．

教师简评：当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像、美丽的风景，听到优美的曲调等一样而得到充分的快乐.（柯普宁）

【设计意图】通过设置研究问题，引导学生在研究性学习中运用类比的思想从圆周的形成方式类比球面的形成方式，初步形成利用平面问题解决空间问题的意识. 在掌握概念的同时，让学生领会化归、类比、联想等数学思想方法的运用. 在此环节中，设计了球面标准方程和参数方程的科学论证，原因有二：其一是由于球面方程的推导涉及三元方程的相关知识，虽然不属于高中数学教学的内容，但学生理解其含义并没有困难；其二是为学生埋下自主探究的种子，培养学生严谨的科学研究态度，树立其自主学习的意识．

主题3：明球与面之理.

教师导入：教师引导学生思考球与平面的位置关系，通过现场交流、互动，明确了研究球与平面的内容和重点，并介绍截面组的主题、人员构成、主讲人和关键词．

截面组研究内容简介：截面组的研究成果主要有两个. 其一，在圆与直线的相交问题中，抽象出一个特征三角形（以外接圆半径[r]，弦心距[d]，半弦长[l2]构成的直角三角形）. 类比这个特征三角形，在球的截面问题中同样抽象出一个由球的半径、截面圆半径、球心到截面圆的距离构成的特征三角形，并用GeoGebra软件动态演示了截面面积取最值的位置. 其二，类比圆的相交弦定理推广得到球的相交弦定理，并对其进行了证明. 除此之外，结合GeoGebra软件进行了数据检验．

类比维度1：球的一个截面，如表3所示.

类比维度2：球的两个截面.

类比圆的相交弦定理，截面组得到了球的相交弦定理：过球内任意一点[P]，任意作[nn≥2，n∈N]条与球相交的直线，分别与球交于[An，Bn]两点，则[PAi ? PBi=PAj ? PBj]，其中[i，j≥2，i，j∈N，i≠j].

下面以[n=3]为例，进行定理的证明.

证明：如图1，作直线[l]与球[O]交于[A]，[B]两点，任取线段[AB]上一点[P]，过点[P]任意作两条直线[m，n]，其中直线[m]与球交于[C]，[D]两点（如图2），直线[n]与球交于[E]，[F]两点（如图3）.

教师简评：数学家通常是先通过直觉来发现一个定理，这个结果对于他首先是似然的，然后他再着手去制造一个证明．（哈代）

反馈评价：通过现场提问环节了解展示成效.

问题：过球O内一个定点E作球的截面，且球O的半径为3，OE = 2. 在所有截面中，截面面积的最小值是多少？

思考：该问题可以与圆中的一个怎样的问题进行类比？怎么解决？

【设计意图】通过设置现场提问环节，突出引导学生用“平面化”的思想来研究球的截面面积的大小的方法．通过课前小组讨论，截面组学生从质疑、操作探究到解惑，最终领悟出截面面积的最大值与截面面积的最小值的位置，并将其用软件进行演示. 这样既激发了学生的学习兴趣，又培养了学生的动手能力和创造性思维. 学生将圆的相交弦定理类比推广为球的相交弦定理，并应用GeoGebra软件验证猜想，提升了抽象概括能力. 整个学习过程，学生独立完成，经历了从直观感知、操作确认到抽象概括的全过程，发展了直观想象、逻辑推理和数学抽象素养.

主题4：悟球与体之法.

教师导入：教师引导学生思考球与几何体的位置关系，通过现场交流、互动明确球与几何体的研究内容和研究重点，并介绍外接球组的主题、人员构成、主讲人和关键词．

外接球组研究内容简介：外接球组以问题的形式串联了整个研究思路，在展示环节提出了以下问题.

问题1：任意三角形都有外接圆吗？唯一吗？

问题2：任意三棱锥都有外接球吗？唯一吗？

问题3：如何找到三棱锥外接球的球心？如何计算外接球的半径？

问题4：研究哪些三棱锥外接球的问题呢？

问题5：直角三棱锥（墙角模型）的外接球的确定方法是什么？

问题6：正三棱锥的外接球的确定方法是什么？

问题7：一般三棱锥的外接球的确定方法是什么？

针对问题1和问题2，他们分别采用尺规作图和GeoGebra软件画图演示的方式，先直观说明问题，再进行推理论证．

学生类比直角三角形、等腰三角形和一般三角形的外接圆的确定方法，得到直角三棱锥、正三棱锥和一般三棱锥的外接球的确定方法，从找球心、算半径两个层面进行了方法概述，如表4所示.

学生现场质疑和证明.

质疑1：用尺规作图证明三棱锥的外接球具有唯一性时，确定球心的方法不够简洁，是否可以调整成一条面垂线与一个中垂面的交点？（通过教师引导和学生讨论回答.）

质疑2：过三棱锥两个侧面的外心作的两条垂线不能直接确定必然相交，是否需要证明？（全班讨论并证明.）

教师简评：在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们如何知道什么.（毕达哥拉斯）

【设计意图】外接球组尝试运用类比的方法，采用从一般到特殊的方式，展示直角三棱锥、正三棱锥、一般三棱锥外接球的确定方法的研究过程，定性分析球心位置、定量计算外接球的半径，探究解决问题的策略与途径，进一步体会空间问题与平面问题的相互转化．

三、小结与延伸

1. 课堂小结

在课堂小结环节，教师提醒学生结合下列问题对本节课进行总结：本节课我们从哪几个方面研究了球的几何性质？在研究过程中用到了哪些数学思想和方法？以上四个研究小组作为一个整体，展示的逻辑主线是什么？对你有何启示？

【设计意图】通过小结，使学生结合展示的具体内容对本次探究活动形成全局把握. 将四个小组的展示内容作为一个整体，突出展现科学研究的一般规律，即观察生活，抽象并定义研究对象、研究对象的性质及研究对象与其他对象的联系. 为学生在后续自主探究时确立研究思路奠定基础.

2. 学生小结

学生结合探究活动的过程分享探究的心路历程．

实例组：研究开始覺得内容非常简单，但是在全面调查之后发现生活中很多现象都与数学有关，而且有很多现象暂时无法解释，需要不断进行知识的积累才能得到答案，感悟数学源于生活又指导生活.

定义组：感觉探究背后的数学思想值得深思，因为在研究的过程中发现圆是球在二维平面上的投影，球是圆在三维空间中的拓展. 而学习中的很多知识都要用到这种类比与转化的思想，层层推进，化繁为简.

3. 课后延伸

针对“球面不可展前提下地图的绘制原理”，展示实例组通过视频会议采访武汉大学资源环境学院教授得到的信息.

针对球体的性质，展示定义组通过邮件交流的方式采访清华大学、浙江大学、东南大学、南京大学、华中科技大学、华中师范大学的教授们得到的信息.

【设计意图】通过两个小组获取信息和知识的途径，为学生的学习提供一个窗口，让学生能够在学习的道路上保持探究的热情，怀揣探究的勇气和创新的精神，不断拓宽认知的边界．

四、教学反思

设计本次探究活动的初心是希望通过活动让学生直面问题，探索解决之道，在探究的过程中培养学生从无到有、从零到一的能力，为学生成为有创新能力的拔尖人才提供必要的训练和储备. 但是在活动开展的过程中还是遇到了一些问题.

1. 探究活动内容丰富，难以面面俱到

本次探究活动虽然是以“球的几何性质”为研究主体，但是整个研究涉及“定义概念—推导性质—建立联系—实践应用”四个层面，知识容量大，研究主线丰富，理论背景较强，对学生的要求较高. 因此，学生在短时间内难以将一个主题研究透彻，而在展示环节也较难让每一名学生都掌握所有内容. 但是可以将小组的研究报告集结成册，便于存在疑惑的学生进行后续学习，或者学有余力的学生继续完善．

2. 活动战线长，知识掌握效果有差异

球的截面、几何体的内切球、几何体的外接球等问题是高考考查的重点和难点. 本次探究活动的内容还涉及高考不考查的数学知识（如球面的标准方程、参数方程，以及球的体积公式的积分算法等），考虑到学生基础扎实，能力和求知欲强，可以通过延伸和拓展让学生进一步了解高等数学中的相关知识，为进一步研究球等几何体奠定基础．

3. 过于重视探究结果，未翔实记录各环节的得與失

在探究过程中，没能引导学生更全面地记录探究的历程，对探究过程中各小组、各成员的表现关注不足. 应该增加多维过程性评价，促进所有学生主动思考，及时保护学生的好奇心，激发学生的想象力.

本次探究活动最终以球的几何性质为落脚点. 与传统课堂中通过大量习题训练获得几何体的外接球不同，本次探究活动几乎没有设置训练习题，希望学生通过数学探究跳出解题的限制，提升用数学知识解决问题的能力. 同时，通过探究活动，强化数学学科的实践经验，培养学生的数学抽象、逻辑推理和直观想象素养.

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