变式教学在数学复习课中的应用

黄秀焕

摘 要：如何上好数学复习课，提高复习效率，体现高效课堂，这是每一位数学教师都关注的问题，在数学复习课中，变式教学能从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景展开考虑，以知识变式、题目变式、思维变式、方法变式为基本途径，揭示不同知识的内在联系，从而获取课堂效益的最大化，复习方法最优化。

关键词：数学复习课；变式教学；高效课堂

孔子提出了“学而时习之”“温故而知新”的主张。可见复习的重要性不言而喻。复习课在初中数学教学中占据相当大的比重，复习课教学的实际效果，影响学生对数学知识的掌握。在复习课教学中，教师若能将一个问题或图形从不同的角度进行变换和迁移，则可使学生在最近发展区得到发展，思维品质得以优化。变式教学从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景展开考虑，以知识变式、题目变式、思维变式、方法变式为基本途径，揭示不同知识的内在联系，暴露问题本质特征。真正做到“做一题，同一类，会一片，得一法”；把学生从“为解题而解题”的题海误区中解放出来，就能获取课堂效益的最大化，复习方法最优化。

一、数学复习课中的变式教学

例1：在“分式”的复习中，设计如下练习：

（1）当x     时，分式[x-23x+1]的值为0；

（2）当x     时，分式[x-23x+1]的值为0；

（3）当x     时，分式[x-2x+2]的值为0。

以上三道题，先是分式的分子由x－2变式为[x]－2，再是分母由3x＋1变式为x＋2。三道题目各不相同，但其解题的本质是分式值为0的条件：分子为0而分母不为0。通过这样有层次的三道题目，既可以使学生发现解题的本质，又可使不同的学生找到自己的解题切入点，从而有利于不同层次的学生总结出解题的规律，形成对此类问题完整的数学认知结构。

例2：复习三角形中位线时，求证：顺次连接各边中点所得的四边形是平行四边形，在讲授完后可以进行变式。

变式1：顺次连接矩形各边中点所得的四边形是什么图形？

变式2：顺次连接菱形各边中点所得的四边形是什么图形？

变式3：顺次连接正方形各边中点所得的四边形是什么图形？

变式4：若依次连接什么四边形各边中点所得的四边形是菱形，那么四边形应满足什么条件？

变式5：若依次连接什么四边形各边中点所得的四边形是矩形，那么该四边形应满足什么条件？

变式6：若依次连接什么四边形各边中点所得的四形边是正方形，那么该四边形应满足什么条件？

通过这样一系列的变式训练，学生能充分掌握四边形所有基础知识和基本概念，强化沟通常见特殊四边形的性质定理、判定定理、三角形中位线等，学生归纳得出：连接四边形各边中点所得到的四边形的形状与原四边形的对角线有关。

例3：复习一元一次方程概念的时候，设计如下练习：

（1）当m     时，关于x的方程xm－1＋2m＝1是一元一次方程。

（2）当m     时，关于x的方程（m＋2）xm－1＋2m＝1是一元一次方程。

（3）当m     时，关于x的方程（m＋2）x[m]－1＋2m＝1是一元一次方程。

（4）当m     时，关于x的方程（m＋2）x[m]－1＋x＋2m＝1是一元一次方程。

以上四道题，都是要学生理解一元一次方程的概念。通过不断地变异，既渗透了分类讨论的数学思想方法，又能使学生从四道变异题中理解一元一次方程概念的本质属性，明确解此类问题的一般原理，同时培养了学生分析问题、解决问题的思维严密性，发展了学生的求异思维。

例4：复习等腰三角形的性质时，设计如下练习：

（1）如下图，已知：△ABC中，AB＝AC，填空：

∠C＝     °           ∠B＝     °

∠A＝     °           ∠C＝     °

（2）如右圖，根据等腰三角形性质定理的性质2，在△ABC中，AB＝AC时，

①∵AD平分∠BAC，

∴     ⊥     ，     ＝

②∵AD⊥DC，

∴∠     ＝∠     ，     ＝

③∵AD是中线，

∴     ⊥     ，∠     ＝∠

（3）已知：如右图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝BC，填空：

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝     °，∠C＝     °

∵BD＝BC，

∴∠BDC＝     °，∠DBC＝     °

（4）等腰三角形的一个角是50°，则它的底角是（    ）。

A. 50°   B. 50°或65°   C. 80°或50°   D. 65°

（5）已知等边三角形的边长为2cm，那么它的高为      cm，面积为      cm2。

通过5道习题的层层推进式变式教学方式，不同层次地对知识进行重新加工，逐步加深巩固等腰三角形两个性质定理的内在联系，让学生更深入地理解等腰的性质。

例5：复习三角形三边关系时，设计如下练习：

（1）一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是        。

（2）一个等腰三角形的两边长分别是2cm，5cm，则它的周长为        cm。

（3）已知直角三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的第三边长可以是        。

以上三道题，都是要学生清晰三角形三边的关系：任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。通过不断地变异，从一般三角形到等腰三角形再到直角三角形，既渗透了等腰三角形、直角三角形的性质，又能使学生从三道变异题中理解三角形三边关系的本质属性，明确解此类问题的一般原理，培养学生分析问题、解决问题的能力。

例6：复习“垂径定理”时，可以设计如下练习：

（1）如下图，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，则下列结论不一定成立的是（    ）。

A. EA＝EB      B. EO＝ED

C. [DA]＝[DB]          D. [CA]＝[CB]

（2）如下图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点E，AE＝2，则下列结论正确的是（    ）。

A. OE＝2        B. EC＝2

C. AB垂直平分OC    D. OC垂直平分AB

（3）如下图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，AB＝8，OE＝3，求⊙O半径及ED的长。

通过相似题型的类比式变式教学，让学生更好地体验“垂径定理”，在小组合作学习中，学生自主学习。通过对定理的灵活运用，学生加深对知识点的理解。

又如：复习综合运用题时，出示以下题目。

问题1：如右图，等边△ABC的高为5，D是BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F。求：DE＋DF的值。

这个问题比较简单，是线段和问题的特殊情形，既巩固基础知识，又引出直接计算法，为后面的一般问题搭台阶。

问题2：如右图，等边△ABC的高为5，D是BC边上的任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F。求：DE＋DF的值。

这个问题从特殊到一般，从有具体数值的线段和问题，过渡到后面的抽象定值问题，渗透极端位置想法。

让学生一题多解，探索讨论，体会多角度看图形的乐趣，提高发散思维和创新思维能力，培养学习兴趣，发挥刻苦钻研精神。

問题3：如右图，等腰△ABC中，D是BC边上的任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F。求：DE＋DF为定值。

总结：及时引导学生归纳线段和问题有哪些解决办法：

（1）直接计算法；

（2）延长法（补短）；

（3）分段法（截长）；

[线段和差→线段相等不共线→共线]截长补短→构造全等→等量转化

（4）面识法：看见垂线段→可以作为高→想到利用面积。

二、小结

总之，教师在变式训练中所采用的变式方法对学生会产生潜移默化的影响，尤其是通过对经典题的变式及对比研究，可使学生获得对某一知识系统、深刻的理解，从中掌握科学的解题方法，养成良好的思维习惯，学会捕捉各种信息中的联系，提高发现问题的能力。

教师在设计复习课时，不要把复习认为是单纯的知识重复与拓展，而应在复习知识、整合知识的同时，让学生能感受到复习课的新鲜感，这就需要挖掘知识间的内在联系，突出问题解决方法，只有当学生真正掌握方法后，他们才能从题海中跳出，真正做到“减负不减质”。

实践证明，这样的变式教学不仅能增加学生的新奇感和参与感，而且能极大地激发学生的好奇心、求知欲和创造力，提高学生参与复习课教学活动的兴趣和热情。