以不变的“方法”应对万变的“试题”

吕二动+刘占权

【摘要】随着课改的进一步实施，高考在考查知识点上更具针对性和灵活性.主要体现在考学生分析问题、解决问题的能力和方法，这些能力的提高关键在于我们的课堂是否有效、高效.特别是高三数学复习课的有效性问题，高三复习课应从典型的基础问题入手，进行有效的变式教学，课堂教学有效性的核心内容是学生的发展，是学生对知识的自我构建和形成能力.

【关键词】导数的应用；数学复习课；教学及思考

在高三数学复习课中，如何真正做到精讲精练，提高复习效率，是高三数学老师所面对的一个重要课题.课堂上必须是学生为主体，教师为主导，学生全面参与教学，知识体系、技能方法是学生自我构建的，而不是老师教给学生，更不是死记硬背.构建主义理论同样适用于高三复习课的教学，新课程理念与高考并不矛盾，相反，高三复习课必须在新课程理念的指导下才能最大限度地提高课堂教学的有效性，才能大面积提高学生综合运用知识的能力和创新的能力.下面来看课例：复习导数的应用

例1设a为正实数，函数f（x）=x3-ax2-a2x+1，x∈R，若y=f（x）至多有两个零点，求实数a的取值范围.

师：请同学们思考3分钟，找到解题的思路.

师：甲同学请你说说你的思路.

甲同学：老师，我还没有想出来.

师：没关系，说说你这3分钟想了些什么？

甲同学：如果是二次函数就好了，可以画图象，是根的分布问题，可是三次函数我不会画它的图象.

师：你能从函数图象的角度去思考问题，很好，有没有同学会画三次函数的大致图象呢？画出它的大致图象对解这道题有帮助吗？

乙同学：老师，只要求出函数的极值和单调区间就可以画出它的大致图象，再看图象与x轴的交点就可知道根的情况.

师：大家想一想，你们是否同意乙同学的说法？大家可以相互讨论.（学生讨论）

师：乙同学的思路很好，接下来请大家求出函数的单调区间和极值，画出至多有两个零点时函数的大致图象，得出你的结论.

学生基本做完后，教师讲解，简略的解题过程如下：

解y′=3x2-2ax-a2（a>0），

当x<-a3时f′（x）>0；

当-a3

当x>a时f′（x）>0.

所以f（x）在（-∞，-a3），（a，+∞）上单调递增，在（-a3，a）上单调递减.

所以f（x）极大=f（-a3）=527a3+1，f（x）极小=f（a）=1-a3.

图1如图，因为a>0，所以527a3+1>0，y=f（x）至多有两个零点，必须满足1-a3≥0，所以0

师：下面做变式1：设a为正实数，函数f（x）=x3-ax2-a2x+1，当x>0时，f（x）>0恒成立，求实数a的取值范围.（学生思考2分钟）

师：丙同学，说说你的做法.

丙同学：老师，从上面的图象可以看出，只要f（x）在（0，+∞）上的最小值1-a3>0即可，所以0

师：回答得非常好，很正确，大家明白了吗？（老师作简要讲解）

师：现在我们做下面这道题（变式2）：已知x>0，证明不等式x3≥x2+x-1.（思考3分钟）

师：请同学举手回答.好的，丁同学说说你的看法.

丁同学：将不等式变形为x3-x2-x+1≥0，它的左边就是上题中a=1时的f（x），此时f（x）在（0，+∞）上的最小值为0，所以x3-x2-x+1≥0成立，所以x3≥x2+x-1得证.

师：回答得很好，把不等式转化为函数，只需证明函数的最小值大于或等于零即可，请大家写出解答过程，丁同学到黑板写出你的解答过程.（过程略）

师：同学们想一想，例1及它的两个变式题核心内容是什么？由它们的解答过程你能得到什么启发？这里面有什么数学思想方法？

学生自由回答，相互补充后教师总结.

师：例1及它的变式本质上都是利用函数的极值或最值去解决问题的，在这个过程中结合函数图像能更直观地解决问题，从这3个题中我们还能发现函数、方程、不等式的关系，方程和不等式是函数的两种状态，即y=0或y>0，y<0时的状态，所以方程问题，不等式问题都可以借助函数来解决.下面留两道习题课后完成.

1.已知函数f（x）=ln（1+x）-x，

g（x）=xlnx.

（1）求函数f（x）的最大值；

（2）设0

2.已知x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x2-10x的一个极值点.

（1）求a的值；

（2）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围.

给这两道题的目的是让学生巩固最值与极值相关知识的同时又有创新，第一题的第二问有两个字母，应该将一个字母当成参数，另一个字母当成变量，转化为函数求导解决，第二题的第二问在形式上与例1不一样，变成两个函数图象的交点个数，但本质上是一样的，仍然是方程根的个数问题.（解答过程略）

在这节课中，学生经历了“思考”、“实践”、“归纳”、“创新”几个过程，是课堂的真正主体，这些题目的完成，思考及思想方法的归纳，很大程度上是学生自己完成的，知识是学生自己构建的，不是老师灌给他的.当然学生不可能想得很全面，个体差异也很大，这就需要老师的帮助，也就是教师主导作用的体现.