数形结合思想在初中数学解题中的应用

梁浓庆

摘 要：数形结合是解决数学问题的重要数学思想。为了让学生学会用数学的思维思考，文章主要从“以形辅数，以数解形，数形互变”三个方面来阐述数形结合思想方法在初中数学讨论含绝对值的式子的最值、平面直角坐标系及数与式的应用。

关键词：数形结合思想；数学思想方法；数学核心素养

“数缺形欠直观，形缺数难入微”，数形结合是解决数学问题最重要的数学思想方法之一。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形，数形互变”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，是数学的规律性与灵活性的有机结合。下面笔者就谈谈数形结合思想在初中数学解题中的应用。

一、以形辅数，凸显“图解法”

一般来说，代数问题不依赖于几何都是可以解决的，然而由于代数关系比较抽象，因此，若能结合问题将代数关系赋予几何意义，那么往往就能借助直观形象对问题做出透彻分析，从而探求出解决问题的途径。许多应用性问题的分析，如果有图形辅助便可使隐含问题直观化，如含绝对值式子的最值问题，函数应用题等更需要图解帮助，从而达到优化解题的效果。

例1：求[x-7+x-8+x-9]的最小值。

在七年级上册学习绝对值这部分内容中，常常出现以上求含绝对值式子的最值问题，讨论含绝对值式子的最值一般有两种方法，一是根据绝对值的代数意义，用零点分段法讨论；二是根据绝对值的几何意义，用数形结合法分析。

解法一：利用绝对值的代数意义，用零点分段法讨论：

设[y=x-7+x-8+x-9]

①当x≤7时

y＝7－x＋8－x＋9－x

＝-3x＋24

∵-3＜0

∴y随x的增大而减小

∴此时，当x＝7时，y有最小值，最小值为3。

②当7＜x≤8时

y＝x－7＋8－x＋9－x

＝-x＋10

∵-1＜0

∴y随x的增大而减小

∴此时，当x＝8时，y有最小值，最小值为2。

③当8≤x＜9时

y＝x－7＋x－8＋9－x

＝x－6

∵1＞0

∴y随x的增大而增大

∴此时，当x＝8时，y有最小值，最小值为2。

④当x≥9时

y＝x－7＋x－8＋x－9

＝3x－24

∵3＞0

∴y随x的增大而增大

∴此时，当x＝9时，y有最小值，最小值为3。

综上所述，当x＝8时，y有最小值，最小值为2。

解法二：根据绝对值的几何意义，用数形结合分析法：

[x-7+x-8+x-9]表示数轴上表示x的数所在的点到7和8及9的距离和，又因为两点之间线段最短，所以表示x的点在数轴上表示8的位置。如图：

即当x＝8时，[x-7+x-8+x-9]的最小值为2。以上的解法一中，应用绝对值的代数意义，将问题转化为一次函数的单调性来解决，这对于初一的学生来说有相当的难度，但解法二中，利用绝对值的几何意义的同时，再通过数形结合的思想，将问题转化为我们的数学公理：两点之间线段最短。显然，解法二的求解来得简单、直观，学生更容易理解和接受。

本题解题借助图形，通过“以形助数”方法，将形象思维与抽象思维相结合，借助于“形”的几何直观性来阐明“数”的大小关系，思维碰撞，更好地帮助学生理解题意，让学生看图便知道了答案。

用一种直观而有效的策略、简化易懂的方法，找到了问题的结论，学生耳目一新，激发了兴趣，帮助学生分析数量关系。体验“数形结合”在解决问题中的使用价值，让学生清晰而明确认识“数形结合”的妙处，感知数学思想之妙用。

二、以数解形，精化解题方法

在平面直角坐标系这一部分，经常会遇到一些探索规律题，在教学中图形规律题的探索也是常见一种形式，遇到这一类问题，我们必须学会分析图形位置序号与图形本身的一种联系，将几何图形变化情况进行数字化、代数化，这就是“以数解形”。

例2：如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P（0，-2）处开始依次关于点A（-1，-1），B（1，2），C（2，1）对称作循环对称跳动，即第一次跳到点P关于点A的对称点M处，接着跳到点M关于点B的对称点N处，第三次再跳到点N关于点C的对称点处……如此下去，则经过第2022次跳动后，棋子落点的坐标为______。

本题是一道探究规律的题目，确定出点P跳动前三次的轨迹是解答本题的关键。根据对称的性质，利用中点坐标的计算方法，先求出点M和点N的坐标，进而得到棋子跳动3次后又回到了点P，从而得到点P的跳动每3次一个循环，用2022除以3，结合余数即可找出第2022次跳动后的位置为（0，-2）。

近年的中考压轴填空题大多是探索几何图形（或几何图案）的数量关系，教师指导学生用代数式表示几何图形（或几何图案）的数量关系，教师若注重了数形结合思想方法的渗透，会使学生很快領悟几何图形（或几何图案）的规律，从而找出其中的数量关系。

图形规律探索题，重在考查学生的观察、分析、归纳的能力，要使学生具备这些能力，需要教师在平常教学中多引导，懂得将图形变化情况数字化，找到数字与序号间一种隐性关系，从而将一个在不断变化中的几何图形代数化，达到精化解题目的。

三、数形互变，优化解题方法

就是根据“数”与“形”既对立又统一的特性，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并揭示隐含的数量关系。

数形结合的基本思想方法，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形的性质问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案。

例3：试求[12+14+18+…+1210]的值。

分析：如果直接求出[12+14+18+…+1210]的值，对于初中学生来说还是非常难的。为了解决上面的问题，我们可以用数形结合的思想方法，通过不断分割一个面积为1的正方形，把数量关系同几何图形结合起来，最终解决问题。

如图所示，用剪刀去剪这个正方形纸片，第一次剪去正方形纸片的一半，正方形剩余面积是[12]，第二次剪去剩余图形的一半，得到的图形面积是[14]，第三次剪去第二次剪剩的图形的一半，得到的图形面积是[18]，即每次剪去前一次剩余图形面积的一半……那么当第10次剪后得到的图形面积是（[12]）10，把每次剪下来的图形面积相加，即得到[12+14+18+…+1210=1-1210]。

总而言之，“数无形不直观，形无数难入微。”运用数形结合的思想解决数学问题。通过数与形紧密结合，学生的思维完成从“形象”到“抽象”的归纳，从“抽象”到“形象”的反映。

数形结合既是重要的数学思想方法，也是中学数学的基本解题技能，是将知识转化为能力的纽带，体现了数学核心素养的内化。因此教师要注意积累有关的素材，注重数学思想方法的渗透和应用，潜移默化地培养学生运用数形结合思想方法的意识，让学生学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界。这是发展学生数学核心素养的体现。

参考文献：

［1］杨锋泼.初中学生数形结合思想培养的探究［J］.读与写（教育教学刊），2010（07）.

［2］罗洪信.在初中数学中蕴藏着的数形结合思想［J］.桂林市教育学院学报（综合版），2001（02）.