巧用数学思想，提升解题效率

何映霞

【摘要】数学是一门抽象性与逻辑性兼具的学科，考查学生思维和计算能力.在解题中引入数学思想可简化题目难度，提升解题效率.教师在教学中不仅要指导学生夯实基础知识，更要指导掌握数学思想，提升解题质量.

【关键词】初中数学；数学思想；解题策略

数学作为一门重要的工具学科，其重要的教学任务是培养学生的思维能力和综合素质，推动素质教育与核心素养的深入发展.在初中数学解题中巧用数学思想可帮助学生简化解题难度，引导学生体验不同的数学知识与解题技巧，提升解题效率.

1 运用分类讨论，提升解题效率

1.1 应用分类讨论解答函数问题

二次函数是初中数学考查重点，如果学生在解答函数问题时缺少技巧，必然会陷入困境，无法提升解题效率.再加上二次函数相关题目涵盖参数，故而要求学生运用分类讨论思想分析和解决问题.

例1 函数y=kx2－8x+8图象与x轴有两个交点，求k的取值范围.

上述函数问题涉及参数，大部分学生在审题时会率先发现x轴与函数图象有两个交点，下意识运用Δ>0解答，列出式子Δ=（－8）2－32k＞0，得出k<2.紧接着教师提问：“该函数必然是二次函数吗？”思维敏捷的学生已发现，字母k才是函数解析式的二次项系数，当k有不同取值时则会对应不同函数.所以，学生针对k=0与k≠0做出以下讨论：①当k=0时，原函数为一次函数，解析式为y=－8x+8，该解析式图象与x轴的交点仅有一个，不符题意.②当k≠0时，原函数为二次函数，解析式为y=kx2－8x+8，由Δ>0，解得k＜2且k≠0，所以，k的取值范围即k＜2且k≠0.

学生在解答上述题目时较易遗忘讨论函数解析式二次项系数是否为0情况，所以，教师总结道：一个函数是否为二次函数的前提条件即二次项系数是否为0，若二次函数为含有参数或参数式子则需讨论是否为0.

1.2 应用分类讨论解答绝对值问题

教师在解题教学中需引导学生形成良好的分类讨论思想，因为分类讨论有其固有原则，只有遵循原則才能避免分类缺乏条理或胡乱分类.在分类中要求每部分相互独立且根据一个标准分类，再逐级分类.教师可选取典型或代表题目引导学生分类，绝对值问题是初中代数重难点之一，教师可选取此类问题引导学生掌握分类讨论思想技巧并做出解答.

例2 已知0≤a≤4，简化|a－2|+|3－a|.

上述题目要求对含有两个绝对值的式子进行化简，在0≤a≤4范围内会有不同化简结果，故而需分类讨论，无法直接化简.教师设置以下问题：①当a=0，1，2，3，4时，化简结果是否相同，若不同，为何？②哪些数会使两个绝对值＝0？③若单对|a－2|进行化简，请问a的取值范围需几种情况？④若同时对|a－2|与|3－a|进行化简，请问需分为几种情况？学生思考上述问题后发现，临界值a=2与a=3是影响化简结果的临界值，所以，此两个数将0≤a≤4分为：①0≤a≤2、②2＜a＜3、③3≤a≤4三种情况，故而，解答本题时只需讨论上述三种情况即可.为提升解题效率，还可巧用数轴清晰形象地展示分类；学生在循序渐进的提问中会发现与绝对值有关的分类讨论的切入点，为后续解答复杂抽象的绝对值分类讨论问题做好铺垫.

1.3 应用分类讨论解答三角形相关问题

由于等腰三角形为特殊的三角形，导致学生在解决相关问题时陷入困境，对此，教师可指导学生运用分类讨论思想掌握高效且正确的解题方式.纵观历年数学考试重点发现，压轴题中常见的解题思路即分类讨论，学生借助分类讨论可高效解题，形成举一反三思维.针对压轴题中特殊三角形与四边形问题都可采取分类讨论方式，或运用分类讨论思想解答直角三角形存在性问题，即根据直角顶点不确定性展开分类讨论.

在对三角形相似存在分类讨论中主要确定已知三角形特征，以等腰三角形分类讨论为例，通常可分为以下类型：

1.3.1 遇边问题可讨论

例3 a，b为等腰三角形两条边长，且a、b满足|a－1|+|2a+3b－11|=0，求该等腰三角形周长.

学生对于上述题目可先根据绝对值非负性列式解出a=1和b=3，随后求解三角形周长，由于题目未明确指出底边与腰，故而需分类讨论：（1）a为底边时，三边分别为3，3，1，且周长为7；（2）若底边为b，则三边为1，1，3，且周长为5.大部分学生认为此题目答案为5或7.教师让学生思考以下问题：上述两种情况下的边长是否可构成三角形？部分思维敏捷学生已获知，三边为1，1，3时无法构成三角形.从上述可总结，只有三角形两边之和大于第三边才能构成三角形.

1.3.2 遇角问题可讨论

例4 已知等腰三角形一个内角为70°，求三角形另两个角.[HT]

上述题目并未说明已知角究竟为底角还是顶角，需采取分类讨论，将已知角分为底角与顶角后再运用三角形定理与内角和计算.

1.3.3 遇中线问题可讨论

例5 一个等腰三角形腰上中线将三角形分为了两个周长分别为9厘米与12厘米部分，求三角形腰与底.

针对上述问题需作图分析，之后再通过分类讨论明确9厘米与12厘米为等腰三角形上下哪部分；若9厘米为上部分，则假设腰与底边为未知数并列出方程，求得腰为6厘米，底边为9厘米，若上部分为12厘米时，则求得底边为5厘米，腰为8厘米.

2 运用转化思想，提升解题效率

转化思想即在分析和解决数学问题时借助联想、转换、归纳等方式将未知转为已知，简化抽象复杂问题，促使顺利解题.学生借助转化思想不仅能提升解题效率，还可掌握处理其他问题技巧，为全面发展奠定基础.转化思想应用可促使学生从抗拒和厌烦解题转至带有兴趣探究，切实体验数学解题特有的乐趣与魅力，所以，初中数学教师可从以下方面应用转化思想，提升解题效率.

2.1 直接转化

所谓直接转化，即运用对应数学理论与公式将复杂抽象题型转至学生广泛熟知的知识，促使其梳理解题思路.教师在教学中应着重讲解数学理论与公式并指导其深入理解，并应用知识分析和解决问题.

例如 在计算圆形内接多边形角度题目时，数学教师先让学生回顾之前所学相关定理与公式，如同一弦所对圆周角及圆的内接四边形对角和为180°，旨在让学生转化角度计算方式，将多边形连接对角线并形成四边形，最后将内角计算转至学生熟悉计算部分，提升解题效率.

2.2 降次转化

学生在解答方程式问题中难免需解决高次方程组问题，部分学生因未理解和掌握解答高次项式方法而面临较大困难，直接解答更不知从何下手，对此，教师可指导学生运用降次转化思想，将原有方程转至学生可计算内容，促使学生高效运用已学知识对计算方式行降次转化，由此一来，学生在未来解题中面临相同题目即可采取降次转化处理方式处理高次项式.

例6 b是方程x2－x－1=0的一个根，求b3－2b2+2021的值.

由于x2－x－1=0的根相对复杂，学生计算三次方难度较大，再加上此题考查学生是否会转化多项式，所以，教师在解题教学中即可指导学生对题目进行降次与变形处理.具体解答如下：先将x2－x－1=0转为x2－x=1，再将b3－2b2+2021转为b3－b2－b2+2021，紧接着将b3－b2－b2+2021转化为b（b2－b）－b2+2021，之后将b2－b=1代入其中可得b－b2+2021，最后将b－b2+2021转换为－1（b2－b）+2021，代入后可顺利得出结果2020.

2.3 换元转化

初中数学解题常见方式之一即换元转换，教师在教学中需让学生明确换元转换法在解题中扮演重要角色，指导学生化繁为简，更要强调换元中的等价性，保障顺利换元后不会使原式数学定义发生变化.

例7 已知，a＞b＞0，3a+2b+1a－b=0，求ab的值.

原题中并未出现ab，必然无法直接换元，对此，教师指导学生转化原式并从中得出ab，为后续解题奠定基础.如，根据3a+2b+1a－b=0条件将式子两边与ab（a－b）相乘，即可将式子转化为3b（a－b）+2a（a－b）+ab=0，整理式子后得2a2+2ab－3b2=0，两边同时除以b2后变为2a2b2+ab－3=0，此时，式子已具备换元条件，学生看到熟悉计算式子后直接运用n=ab换元，最后围绕题目要求解答一元二次方程式.

2.4 数形转化

函数是初中数学重难点之一为，良好的数形转化是教学不可缺少的组成部分，即协助学生将文字、代数转至直观形象图形，再从图形中获取解题思路.教师在教学中指导学生将抽象复杂方程问题转至函数图象问题并以交点形式梳理解题思路，提升学生解题效率.

例8 图1中的△ABC与函数y=kx均处于第一象限，△ABC与函数图象间存在交叉重合范围，求k的取值范围.

上述题目对于学生而言属于中等难度，学生在解题中可借助之前所学反比函数分析已知条件，当k>0，k值越大，函数图象则与y轴越来越偏离，观察图形可知，A点位于函数图形左边临界，右边仅在BC边与函数图形相交才能顺利解题.对此，教师可指导学生将问题从几何图形相交问题转至函数交点，根据A点、B点、C点坐标获得三角形每条边函数，最后转化为两个函数相交方程有解问题，顺利解答.

3 运用整体思想，提升解题效率

整体思想在数学解题中发挥重要作用，可以说贯穿整個数学教学，也是后续高中数学重难点.所以，中考数学命题将整体思想作为重点，更是数学教师深入剖析的数学思想之一.所谓整体思想即在解题过程中运用集中眼光对研究对象的全部或一个部分进行研究并将其视为整体，准确把握条件与问题间紧密联系，达到高效整体化处理问题.整体思想强调全局观念.具体应用如下.

3.1 在解答代数式求值类问题应用整体思想

历年中考重点题型之一即代数式求值类问题，大部分学生都习惯性逐一解答后再代入求值进行解答，然而此方式计算量较大，学生十分容易因为解题过程繁琐造成计算错误，降低解题效率.运用整体思想将问题条件或结论看做整体后展开等价代换，明确问题本质，提升解题效果.

例9 当a+b=5，ab=2，求代数式3a+5ab+3b值.

解析 如果在解答上述题目时从局部解出a与b的值，之后代入求值则需解二次方程，解题过程繁琐，计算量大，较易失误.深入观察该题目代数式3a+5ab+3b结构，即可得到代数式3（a+b）+5ab，最后用整体代入计算可顺利获得答案.

3.2 在解答方程组或不等式应用整体思想

例10 某工厂预计采购A、B、C三种货物，如果购进4件A货物，3件B货物，2件C货物，花费32元；如果购进2件A货物，3件B货物，4件C货物，花费28元，当前工厂预计购买A、B、C三件货物各1件，共花费多少元？

解析 上述题目情境相对简单，运用常规思路即可一一求出A、B、C三种货物，但从题目提供两个等量关系无法顺利解题，可运用整体思想将A、B、C看作一个整体，即可顺利解题.

4 结语

总之，数学思想是数学学科不可缺少的组成，在发展学生思维能力以及提升教学效率方面发挥着重要作用.初中数学教师指导学生掌握数学思想可简化题目难度、梳理解题思路、提升解题效率，为更高层次数学学习奠定基础.

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