应用“几何画板”分析带电粒子在圆形磁场中的运动

伏军

【摘要】带电粒子在圆形磁场中的运动涉及许多几何知识，其中粒子的轨迹圆与磁场区域圆相互关系的分析一直是学生学习的难点，尤其是轨迹圆的动态变化问题更令学生头疼不已.本文阐述利用“几何画板”这一软件来分析带电粒子在圆形磁场中的运动问题，借助软件提供的几何作图、动态调节、追踪动画功能，逐步熟悉动态圆的建立过程，展现粒子轨迹的动态变化过程，帮助学生提升分析能力和空间想象能力.

【关键词】圆形磁场；几何画板；带电粒子

“几何画板”软件是美国Key Curriculum Press公司开发并出版的优秀教育软件，它能够快捷、准确、动态展现出几何对象的位置关系、运动变化规律，被誉为“21世纪的动态几何”，在理科教学上应用非常广泛.教育部全国中小学计算机教育研究中心将此软件作为辅助教学软件面向全国中小学教师进行推广，目前的最新版本是“几何画板5.0.7.6”.

笔者在高中物理教学中发现，学生在分析带电粒子在圆形有界磁场中的运动时，因大量涉及与圆相关的几何知识，学生难以找到其中的角、弦、弧之间的联系，难以将轨迹圆和磁场区域圆结合起来考虑，难以建立“动态圆”思维，因此带电粒子在磁场中的运动成为高中物理教学的重点和难点，特别是当带电粒子进入磁场中的运动速度、入射点或磁场强弱发生变化时，粒子作匀速圆周运动的圆心、半径和轨迹就会发生相应变化，用黑板上画图、用PPT课件画圆等常规的教学手段不但画图过程繁琐而且很难保证画出的圆符合几何规则，更不用说动态呈现粒子轨迹变化过程了.利用“几何画板”的作图、动态调节、追踪动画等功能，则可以追踪到圆的轨迹，分析其圆心和半径的变化，展现各物理量的几何关系，从而使带电粒子在磁场中运动的教学难点得到突破.

笔者将用“几何画板”制作的带电粒子在圆形磁场中的运动的三个课件实例，浅析如何用“几何画板”来分析带电粒子在圆形磁场中的运动，展现带电粒子轨迹圆与磁场区域圆相互关系，探究其中的几何关系和基本规律.

案例一 带电粒子沿着半径方向射入圆形磁場

当带电粒子沿着半径方向射入圆形边界内的匀强磁场中时，如果粒子的速度大小发生变化，由r=mvqB可知，轨迹半径大小会随之发生变化，会在磁场中形成一系列半径变化、出射点在磁场边界上改变的动态圆，确定动态圆的轨迹范围经常是高考的热点问题.当然，还有许多关于带电粒子在磁场中的运动问题并不是带电粒子进入磁场的速度发生变化，而是磁感应强度B、粒子的比荷qm、粒子的动量P、粒子动能Ek等物理量发生变化，但只要分析半径公式的变形式r=mvqB=PqB=2mEkqB就会发现，这些物理量的变化导致的结果也不过是让粒子的轨迹半径发生变化而已，因此，不管什么原因导致的半径变化，解题思想都是大同小异的，都需要分析粒子轨迹圆与磁场区域圆之间的几何关系，这些半径、弦长、圆心角、偏向角、弦切角等几何量之间的相互关系正是分析这类问题的突破点，也是帮助学生构建解题思维的关键点，需要在制作课件时逐步展现出来.

通过上述分析不难发现，分析带电粒子在磁场中运动的课件展现出半径不同时轨迹的特点、必须展现粒子轨迹中圆心角、偏向角、轨迹半径、磁场半径、公共弦的几何关系，还得让课件具有逐步分析运动过程的能力，用“几何画板”制作课件时必须实现这样几个基本功能：（1）要设置调节点来改变轨迹半径大小；（2）要设置按钮来控制各个辅助线、圆弧、角度的显示与隐藏.（3）要能够显示出粒子轨迹范围.

本案例主要制作步骤如下：

步骤一：建立圆形磁场.利用几何画板两点建立圆的方法，通过标记向量功能，实现圆形磁场半径R可以动态调节.在画出圆形磁场区域里，用插入文字的方式显示出方向向里的磁场.

步骤二：画出粒子轨迹.在工作区画出水平射线代表入射方向，其端点代表粒子源.让射线通过圆形磁场的圆心，和磁场圆的交点为粒子进入磁场的入射点.在入射点利用几何画板两点建立圆的方法作出轨迹圆，利用标记向量功能实现粒子轨迹圆半径r可调.

步骤三：构造相关几何量.利用几何画板构建直线、垂线、交点、夹角功能，画出入射方向辅助线、出射方向辅助线、公共弦、偏向角、圆心角、圆心连接线等几何量.

步骤四：美化线条，设置相关动作按钮.逐个选取各点、线段、弧线进行美化.将辅助线设置为虚线，调节磁场圆、轨迹圆、调节点的颜色，确保相关量颜色统一.逐个选取几何量，通过操作类按钮设置显示与隐藏功能.通过轨迹圆上选择追踪功能实现动态圆展示，从而展现出半径变化时粒子轨迹范围.

课件最终制作效果如图1所示.

在教学过程中，遇到带电粒子的速度方向是沿半径方向入射的这类问题时，教师可结合具体情况通过点击功能按钮、打开追踪功能、拖动调节半径大小等方法进行演示，逐步展现圆心角、偏向角、轨迹半径、磁场半径、公共弦的几何关系.通过各种辅助线的显示与隐藏，可凸显出，学生将其中的几何关系看得一清二楚，教学难点从而得到了突破.

案例二 带电粒子沿着任意方向射入圆形磁场

当带电粒子沿着任意方向射入圆形边界内的匀强磁场时，会形成射点不同的动态圆.这种情况还可以变形成另外一种表述，即位于磁场边界的粒子源向各方向发射出速度大小相同的粒子.当轨迹半径r小于磁场半径R时，随着带电粒子入射方向的改变，入射点与出射点的距离将出现最大值.当轨迹半径r大于磁场半径R时，将出现运动时间最长（轨迹圆心角最大）的特殊轨迹.典型的问题有：求解粒子出射点的范围，求解入射点与出射点的最大距离，求解粒子所有轨迹中最长运动时间等.

对于学生而言，以上分析的数学原理是容易理解的，难以理解的地方是：当速度方向不同时，粒子的轨迹是如何改变的？何种条件下粒子的入射点和出射点距离最大？什么条件下出现最长轨迹？为什么速度是向各方向都有，而轨迹却分布在一定范围内等等.

通过上述分析不难发现，要分析不同速度方向轨迹特点，讨论粒子的轨迹范围、最长时间等问题，需要在制作几何画板的课件时做到这几点：（1）设置按钮动态控制各个切线、弦线、弧线、角度的显示；（2）设置调节点来改变初速度方向；（3）设置调节点改变轨迹半径大小.

本案例主要制作步骤如下：

步骤一：建立圆形磁场.在工作区画出圆形磁场区域.利用几何画板两点建立圆的方法，通过标记向量功能，实现圆形磁场半径R可以动态调节.

步骤二：画出粒子轨迹.在磁场圆上创建一个点作为粒子源，并将其设置为旋转中心.利用几何画板两点法建立轨迹圆，利用标记向量功能实现粒子轨迹半径r可调，利用标记角度方法实现速度v方向可调.

步骤三：构造相关几何量并进行美化.利用几何画板构建直线、垂线、交点、夹角功能，画出入射方向辅助线、出射方向辅助线、公共弦、偏向角、圆心角、圆心连接线等几何量.设置相关动作按钮.逐个选取各点、线段、弧线进行加粗、改变颜色等，让线条更美观.

最终呈现的效果如图2所示.

教学时，教师通过调节粒子的初速度方向和轨迹半径大小，分别探究在轨迹半径r小于磁场R时和半径r大于磁场R时，随着速度方向的改变，粒子的轨迹是如何变化的.通过追踪功能，学生可清晰观察到粒子轨迹的范围，体会动态圆的形成，借助按钮打开各种辅助线展现各线、各角、各弧的几何关系并进行逐步分析，从而帮助学生构建出动态圆思维.

实例三 轨迹半径等于磁场半径时的“磁聚焦”问题

高中物理所涉及的“磁聚焦”问题是指当一束平行的带电粒子束射向圆形匀强磁场区时，若粒子在磁场中的轨道半径r恰好等于磁场圆的半径R，所有进入磁場的粒子将从同一点射出圆形磁场区域，此射出点的切线与入射的速度方向平行.分析“磁聚焦”问题的难点在于：不同点射入的粒子为什么会聚焦到同一点射出磁场？怎样用简单明了的几何关系来证明会聚焦到同一点？其不同入射点轨迹有什么特点？为什么轨迹半径与磁场半径不相同时就不会聚焦了？

为了实现上述分析过程，制作课件时要考虑到这几个关键功能：（1）磁场半径和轨迹半径都是可以调整的；（2）要体现出粒子束的速度方向都是平行的；（3）可自由切换切线、弧线、角度的显示隐藏，方便进行几何分析.

本案例基本制作步骤如下：

步骤一：建立圆形磁场.在工作区画出圆形磁场区域.利用几何画板两点建立圆的方法，通过标记向量功能，实现圆形磁场半径R可以动态调节.

步骤二：画出粒子轨迹.在工作区画出竖直线段代表粒子源.水平射线代表入射方向，让射线通过圆形磁场的圆心.射线和磁场圆的交点为粒子进入磁场的入射点.在入射点利用几何画板两点建立圆的方法建立轨迹圆，利用标记向量功能实现粒子轨迹半径可调.

步骤三：构造相关几何量并进行美化.利用几何画板构建直线、垂线、交点、夹角功能，画出入射方向辅助线、出射方向辅助线、公共弦、偏向角、圆心角、圆心连接线等几何量.设置相关动作按钮.逐个选取各点、线段、弧线进行加粗操作，让线条更加便于学生观察.最终呈现的效果如图3所示.

图3

在教学时，打开线段的追踪功能，拖动入射点，可让学生清晰地观察到不同入射点射入的粒子都从M点射出.通过显示轨迹半径和磁场半径的辅助线，可清晰地显示出无论入射点在何处，轨迹半径和磁场半径都构成菱形，根据菱形两边平行原理，很容易证明得到粒子将从同一点射出这一结论.

结语

通过以上三个案例，不难看出“几何画板”软件功能强大，辅助教学效果良好.制作出来的课件生动形象，让物理规律中蕴藏的数学知识更为直观地呈现出来，让复杂的几何关系变得简洁明了，符合学生的认知特点和规律，使学生原本感到枯燥的知识变得形象生动.几何画板课件展现了物理量动态变化的过程，能培养学生的思维能力，极大地调动了学生学习的积极性.合理运用“几何画板”可以提高课堂教学效果，突破教学难点，值得物理教师积极探索和大胆尝试.

参考文献：

［1］吴熙，彭朝阳.用《几何画板》显化带电粒子在复合场中的运动［J］.物理之友，2017，33（10）：42-43+47.

［2］王正雄.几何画板破洛仑兹力教学难点［J］.中国教育技术装备，2002（12）：11.

［3］朱亚.利用“几何画板”解决物理疑难问题［J］.物理教师，2007（4）：40-41.

［4］伍荣捷.用几何画板制作物理课件的尝试［J］.新课程（下），2017（9）：104.