理解数学·理解学生·理解教学

李现勇

摘  要：在“圆锥曲线”复习课的教学过程中，执教教师对《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》的要求把握准确，对教材和教学内容理解深刻，对学情分析恰当. 在教学中，通过任务驱动，引领学生经历了数学复习课的研究路径；通过横纵对比、由此及彼，引导学生参与了提炼数学思想方法的完整过程；通过对精选习题的分析和解决，帮助学生从多个角度建构了圆锥曲线的内在关联，促进了学生数学思维的提升.

关键词：圆锥曲线；理解数学；数学思维

课程改革背景下，我们越来越重视对学生进行学法指导，要教会学生学习需要一个抓手，而这个抓手可以是新授课，也可以是复习课. 笔者认为，复习课中的“复”不是简单的重复，而是复盘，回首来时路，明晰下一步的学习方向；“习”则是进一步学习，也是养成好的习惯，是一种方法的指引.

復习课到底该如何授课？“圆锥曲线”复习课给我们做了一个很好的示范. 复习课不仅要巩固旧知、查漏补缺，更重要的是要基于对已有知识的回顾，帮助学生通过梳理、归纳建立结构化的知识体系，提炼具有普适性的学习方法，使学生能在不同的情境下进行迁移运用，从而发展数学思维，形成数学能力.

本节课中，执教教师对《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》的要求把握准确，对教材和教学内容理解深刻，对学情分析恰当，课堂教学活动设计合理有序，教学实施过程流畅自然，课堂评价适时、用心. 在教学中，执教教师通过任务驱动引领学生经历了数学复习课的研究路径；通过横纵对比、由此及彼，引导学生参与了提炼数学思想方法的完整过程；通过对精选习题的分析和解决，帮助学生从多种角度建构了圆锥曲线的内在关联，促进了学生数学思维的提升. 整节课中，师生配合默契，学生在愉悦的课堂气氛中积累了数学学习的经验，感悟了数学智慧、数学美和数学精神，发展了逻辑推理、数学运算、直观想象和数学抽象等素养.

执教教师的教学设计做到了理解数学、理解学生、理解教学，从呈现的精彩课堂教学中，可以看出其对教学内容进行了深入的研究. 深入带来深刻，执教教师关注了教材内容及知识间的前后联系，关注了学生接受和理解的程度，关注了学生的变化与成长，关注了知识之外的思想方法的教学，也关注了数学学科的育人价值.

一、理解数学

数学是一门科学，数学思维、数学抽象、逻辑推理等都是数学所特有的本质，数学是有价值的、自然的、抽象的.

1. 研读教材，关注教材内容的前后联系，理解数学是有价值的

教材是数学知识和数学思想方法的重要载体，圆锥曲线是高中解析几何部分的核心内容，是一类重要的数学模型，其研究方法充分体现了解析几何的基本思想. 圆锥曲线中包含了丰富的数学文化的内容，是进一步培养学生对数学的内在兴趣和科学精神的良好载体. 以几何中的“距离”为纽带，以代数中的“运算”为方法，通过“运算中的不变性”发现圆锥曲线的几何特征，给出圆锥曲线的定义. 圆锥曲线的“个性定义”几何特征突出，而统一定义能兼顾“个性”与“共性”，能表明椭圆、双曲线和抛物线之间的内在联系. 对圆锥曲线性质的研究先直观感知，再用方程进行论证，有利于培养学生的理性思维. 从教学设计中可以看出，执教教师把握了教学内容的本质，深刻认识了本单元的教学内容和本节课承载的重要价值.

2. 创设情境，以重温名称来源引出教学主题，理解数学是自然的

本节课伊始，执教教师引用了数学家梅内克缪斯冲击数学难题时的发现，引出椭圆、双曲线和抛物线本是同源，这是圆锥曲线的起源. 接着提出本节课的教学主题，即回顾、总结、提炼椭圆、双曲线和抛物线的共性，这样的情境贴近学生思维的最近发展区，让学生一开始就能自然地融入本节课的学习中去.

3. 数学方法，重在提炼归纳的过程，理解数学是抽象的

这节课最大的难点就是引导学生更深层、更有高度地总结圆锥曲线的共性，提炼椭圆、双曲线和抛物线共同的研究方法，找出研究解析几何的普适方法. 执教教师以丰富的具体内容和实例作为支撑，设置了多步台阶，通过设置的问题和追问，激发学生进行数学抽象和归纳，使学生完整经历了从特殊到一般、从具体到抽象的数学方法的提炼过程.

二、理解学生

1. 关注“双基”，以学定教，理解学生是课堂主体

本节课从知识的回顾到方法的提炼再到问题的解决和反思总结，执教教师都做到了立足学生的基础，结合教学目标，以学生为本，放手让学生探究. 整节课任务的展示、研究方法的提炼、问题的解决都尽可能让学生参与，调动学生学习的主动性和积极性，做到了尊重学生的主体地位，实现了设定的教学目标. 从整节课中学生的展示可以看出，授课班级学生有良好的表达和学习习惯，数学素养水平整体较好.

2. 关注差异，因材施教，理解学生的个体差异

本节课中，对圆锥曲线及直线和圆等几何图形的研究方法的提炼，使学生获得对解析几何基本思想的认识，是教学的难点. 执教教师充分理解和尊重学生的个体差异，让学生相互补充、完善方法的归纳. 在最后的作业布置上，执教教师设置可供自主选择的题目，让不同层次的学生都能获得锻炼和提升.

三、理解教学

孔子有言：“教，上所施，下所效也.”教学要做到教师主导，引导学生主动参与课堂教学，使得课堂教学有新意、有创意、有深意. 有新意，就是要突破学生的认知，超出他们的预期；有创意，就是要让课堂有挑战，探究有价值；有深意，就是要体会数学所带来的惊喜，感受数学的教育魅力.

1. 精心设置教学环节，使课堂教学有新意

自主学习不能放任自流、漫无边际，应该是教师指导下的自主. 学生的自主，要有规则、有要求、有方法、有落实. 本节课中，执教教师设置了7个教学环节，环环相扣. 特别是精心设计的自主复习提纲，很有新意，自主复习提纲中共设置5个问题：（1）简述椭圆、双曲线和抛物线的主要内容；（2）简述椭圆、双曲线和抛物线各自采用的研究方法；（3）简述椭圆、双曲线和抛物线在研究方法上的共同点；（4）简述圆锥曲线和直线与圆在研究方法上的共性；（5）简述解析几何问题研究的基本思想. 学习的本质不在于记住了哪些知识，而在于它触发了你的思考. 执教教师通过这5个问题，引导学生学会自主复习，激发学生进一步思考，让自主复习成为一种良好的学习习惯.

在知识回顾总结和方法归纳概括环节，设置展示交流活动，引导学生梳理、展示、交流、比较、总结、联系、概括已有知识. 从学生已有的认知出发，给学生提供了课堂参与的机会和自我领悟的空间，让学生在自主学习、展示交流、相互促进中深入理解知识及其中蕴含的思想方法，突破了学生的原有认知，提升了学生的认知层次.

2. 精心设计数学问题，使课堂教学有创意

我们见过很多复习课，以题为主，学生虽然进行了大量的习题训练，但收效甚微. 题不在多而在精. 本节课中，执教教师只选择了两道例题，可谓精心之选.

例1  已知直线l和椭圆C交于A，B两点，定点M2，0，……

（1）∠AMO=∠BMO，]求……

（2）AM⊥BM， 求……

试把以上两个几何条件分别转化为代数表达.

例1要求学生由已知题目中的几何特征提炼其几何意义，进而进行代数表达，这个题目属于基础题，学生通过此题，再次体会将几何特征进行准确代数表达的方法，教学思路简明清晰.

例2  已知A，B为两个定点，AB=2， 动点P满足PA · PB=1， 求动点P的轨迹方程，并畫出图形.

相较于例1，例2以卡西尼卵形线为背景，提出新问题，需要学生应用课堂中提炼出的思想方法加以解决. 对这种没见过但又不是很陌生的题目的解决，可以让理论落地，让解析几何的思想方法进一步得到实践. 问题探究充满挑战，课堂教学也就很有创意.

3. 课堂适时评价点拨，使课堂教学有深意

当学生某个瞬间的好行为、好想法被教师发现并获得肯定后，其就会在肯定中被激励，好的习惯就会在激励中被传播，并在传播中影响班级中的每名学生. 这就是评价带来的影响，也是教育的魅力. 本节课的教学中，执教教师善于使用评价，其在学生上台展示后会给出恰当、亲切、真诚的评价. 例如，“你课前准备得很好，内容详细、全面整齐，有一定的自主复习能力，讲解大方，清楚流利”“这位同学讲得很好，大家回答得也很好，看到大家这样相互促进，老师很开心”“表格的方式更直观清晰，箭头的使用更清楚”. 这样真诚的评价可以促进学生的思考，激励学生不断进步.

恰当的点拨如同点睛之笔，既给人情理之中的满足，又给人意料之外的惊喜. 在本节课的教学中，执教教师采用适时点拨的教学方式，让学生在对知识获得深刻认识的同时，使理解更有深意. 数学中的那种豁然开朗，本质上就是因深刻认识事物而产生的快乐. 例如，“善于提问也是一种学习方法”“大道至简”“这是一种统一美”“这是一种结构美”“这是一种逻辑美”“翻译很重要，把几何语言翻译成代数语言，正因为有了文学语言的翻译，才能让世界了解我们中国灿烂辉煌的文化，也正是因为数学语言的翻译，才让人们更深刻地去认识自然规律，进而促进科技的发展”这样恰到好处直抵人心的点拨，体现了执教教师深厚的知识底蕴，又给学生呈现了更广阔的思维天地，同时会带给学生惊喜和感动.

此外，执教教师非常注重数学文化和数学精神的渗透，通过介绍数学家梅内克缪斯、笛卡儿、卡西尼引导学生追求真理、勇于创新. 在总结环节，从数学智慧，到数学之美，到数学精神，再到自我成长，引导学生回归自身. 教育的本质是自我教育，学习的本质是自我学习. 这就是有光的课堂，这就是有润泽的课堂，也是能给学生带去深远影响的课堂.

四、优化建议

整节课中，学生集体回答的次数偏多. 建议执教教师根据复习内容，多设置些开放探究性问题，提升设计问题的思维含量. 当学生面对挑战时，教师要舍得留出时间，让学生深度思考，在生生碰撞、师生碰撞的过程中，不断暴露学生的想法，激发学生参与课堂的积极性，使学生在合作探究中解决问题，培养学生的高阶思维，提升学生深度学习的能力，发展学生的数学核心素养.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史宁中，王尚志.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》解读［M］. 北京：高等教育出版社，2020.