强化思维教学 落实核心素养（二）

章建跃

关于指定课题的设计意图，总体思路如下.

（1）积极探索基于核心素养的数学教学策略与方法.

（2）发挥数学的内在力量，强化一般观念的引领作用，促使学生经历发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的过程，在获得数学基础知识、基本技能的过程中，领悟基本思想，积累基本活动经验，发展数学核心素养.

（3）回归数学本质，体现数学的整体性、结构化，加强单元教学设计基础上的课时教学设计研究，特别是加强情境创设和提出问题的研究.

（4）坚持教学相长，注重启发式、互动式、探究式教学，提高课堂教学质量，培养学生的学习能力，促进学生系统掌握各学科基础知识、基本技能和基本方法.

（5）重视课堂学习评价与教学反馈，有效处理课堂生成与教学预设的关系，恰当使用教学调节机制，及时改进教学，提高课堂教学效率.

在提升教学设计与实施水平上下功夫.

（1）整体性：以研究一个数学对象的基本套路为线索的教学整体架构.

（2）思想性：在一般观念引领下的数学学习.

（3）适切性：创设恰当的情境（现实、数学、科学等）.

（4）有数学含金量的问题，引导学生开展实质性数学思考.

（5）系列化的数学活动，引导学生开展独立思考、自主探究、合作交流.

（6）以学定教：把该讲的讲清楚，学生自己能做的要放手.

加强一般观念的指导，提升教学的整体性和思想性.

一般观念，是对内容及其反映的数学思想和方法的进一步提炼和概括，是对数学对象的定义方式、几何性质指什么、代数性质指什么、函数性质指什么、概率性质指什么等问题的一般性回答，是研究数学对象的方法论，对学生学会用数学的方式对事物进行观察、思考、分析，以及发现和提出数学问题等都具有指路明灯的作用.

一般观念导向的教学要关注以下几点.

（1）数学对象——抽象的过程与方法（理解概念）.

（2）研究内容——发现和提出值得研究的问题.

（3）研究路径——数学知识发生发展的内在逻辑.

（4）研究方法——解决数学问题的基本之道.

（5）研究结果——整体性、结构化、联系性等.

（6）知识应用——数学建模、数学探究等.

一、基本不等式

1. 内容与要求

2. 教学提示

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）提出的要求是完成高中课程学习后要达到的. 将基本不等式放在“预备知识”中，其认知基础与放在“必修5”是完全不一样的. 教学中要注意基本不等式作为初、高中衔接内容的课程定位，发挥基本不等式在培养学生的代数思维、借助直观理解数学原理、发展代数推理能力等方面的作用. 要注意在“相等关系与不等关系”的整体框架下进行基本不等式的教学设计，要注意选择恰当的学习素材，帮助学生掌握三种语言的表达与转换、基本不等式及其变式的证明，理解基本不等式模型的结构特征，并能进行简单应用.

3. 说明

新教材实施以来，基本不等式的教学出现了大问题——基本不等式成了“基本不懂式”.

教师对此内容的课程定位出现理解偏差，导致教学失准.

《普通高中数学课程标准（实验）》将基本不等式内容安排在函数之后，用函数知识解决基本不等式问题；《标准》将基本不等式内容安排在预备知识板块，有两个重要目的：一是培养学生的代数思维、代数推理能力；二是为函数研究准备工具.

二、指数

1. 内容与要求

2. 教学提示

指数幂的拓展过程与数及其运算的扩充过程有关联，要将内容放在数系扩充的大背景下，从基于运算单位的运算一致性上加强思考，体现数学的整体性；要注意与初中整数指数幂拓展经验相联系，引导学生建立拓展指数幂的整体架构；要引导学生经历从整数指数幂到有理数指数幂再到实数指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算法则和变化规律，领悟运算法则的合理性，理解数学运算的一致性，体验数学的思维方式.

3. 说明

三、圆锥曲线复习课

1. 内容与要求

能利用距离、角度等几何基本量，从多种角度建构圆锥曲线的内在关联，形成圆锥曲线的结构体系.

2. 教学提示

圆锥曲线有不同的定义方式. 要引导学生在逐个学习圆锥曲线的基础上，利用确定圆锥曲线的几何要素，从多种角度、用统一的几何语言清晰地描述圆锥曲线的几何特征与问题，再用代数语言描述这些特征和问题，然后借助几何图形的特点形成解决问题的思路，通过直观想象和代数运算得到结果，并给出几何解释，解决问题.

3. 说明

（1）关于圆锥曲线的定义.

数学对象的本质特征可以有多种等价表现形式，所以数学对象的定义是不唯一的. 数学定义是选择的结果.

如何选择才更有利于对数学对象的研究？这其实是没有统一标准的.

数学定义是一代代数学家不断研究、改进的结果，特别是一些处于基础地位的概念. 有时，不同的定义反映了认识的不同抽象层次.

因为要考虑学生的可接受性，所以对于教材的编写而言，不一定是越严谨的定义越好.

原始的圆锥曲线的定义基于平面截圆锥，由平面与圆锥的轴所成角的不同范围，将截线区分为三类，由此推出“椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为2a”“椭圆上任意一点到焦点的距离与到对应准线的距离之比为大于0小于1的常数”等性质.

由这个定义可以容易地区分截线的类型，但每一种截线的几何特征却不明显. 由此出发推导圆锥曲线的方程，需要用到较多的几何知识，推理过程比较复杂，对大多数学生而言难度太大，顯然不合适.

（2）“个性定义”的好处.

① 几何特征非常明确.

② 可以与圆的定义相衔接.（当两个定点的位置逐渐接近时，椭圆的形状就逐渐接近圆.）

③ 容易作图.

④ 其基本几何性质（对称性）易于直观想象，便于合理地建立平面直角坐标系求出椭圆的方程.

⑤ 由“距离的和等于常数”联想到“距离的差等于常数”非常自然.

……

复习阶段，要紧紧抓住长度和角度这两个基本几何量，利用坐标法，通过运算发现“运算中的不变性和规律性”，促使学生不仅理解“背景—概念—性质—结构—应用”这一知识明线，而且掌握“事实—方法—方法论—数学学科本质观”这一暗线.

（3）循序渐进地提高综合和联系的要求.

要注意正确理解“综合与联系”的含义，通过知识点的叠加、加大题目的难度并不是明智之举，综合与联系的目光要聚焦在核心概念上，目的在于促使学生从整体上更好地把握圆锥曲线.

根据圆锥曲线的方程，a，b，c，p，e等是决定圆锥曲线性质的关键量. 圆锥曲线的焦点、顶点、轴、准线、弦及其中点、切线、焦距、长（短）轴的长、焦半径、面积、内接图形（特别是内接三角形、内截矩形等）、角（与焦点、中心等相关）等，以及它们之间的相互关系，都可以用这些不变量来表示. 对此展开一番研究，能极大提升学生对圆锥曲线的认识水平.

四、信息技术在探究函数图象与性质中的运用

1. 内容与要求

借助代数推理和几何直观探究一个函数的图象与性质，并通过函数图象和代数运算理解和解决问题.

2. 教学提示

自主选择一个新函数（如基本初等函数的运算、有理分式函数、一元三次多项式函数、逻辑函数、椭圆曲线、心脏线等），利用信息技术作出函数图象，通过数形结合探究函数性质——定义域、值域、特殊点、对称性、单调性等. 要充分发挥信息技术在探索函数图象与性质中的作用；注重借助图形认识函数的基本特征、形态变化与运动规律，通过图象描述、分析数学问题；要引导学生认识图象作为数学问题直观模型的作用，借助图形探索解决问题的思路. 通过教学，提升学生的数形结合能力，发展学生的几何直观和空间想象能力，增强学生运用几何直观和空间想象思考和解决问题的意识.

五、空间中点、直线、平面的向量表示

1. 内容与要求

能用向量语言描述点、直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量.

2. 教学提示

在“空间向量与立体几何”的整体架构中，用向量语言描述空间基本图形是运用向量方法的第一步，也是沟通向量方法与综合几何方法的桥梁. 要通过适当方法引导学生领悟点、直线、平面的向量表示中蕴含的数学基本思想，理解参照系的作用，体会“位置”和“方向”作为三维欧几里得空间基本概念的基础地位，形成将确定空间直线、平面的条件向量化的一般观念.

3. 说明

这个内容处于“用向量解决几何问题”的起始阶段. 要用向量解决几何问题，首先要将几何图形的组成元素、元素之间的基本关系进行向量表达.

在不同维度空间下，用向量表示空间基本元素，本质上是将符合一定条件的点用向量表示. 其一般观念是：取定空间一点O为基准点，发挥向量表示方向的作用，通过向量运算得到向量表示式，而且这样的表示式具有唯一性.

问题：几何图形的向量表示，要解决的问题是什么？

要解决的问题是：将确定几何图形的要素及其基本关系用向量表示出来，本质上是把满足几何条件的点用向量方法表示出来，实现几何图形“向量化”，进而能够通過向量运算解决几何问题.

六、数学活动课：斐波那契数列与黄金分割

1. 内容与要求

通过实际情境引入斐波那契数列，通过代数运算导出黄金分割数；联系初中阶段的黄金矩形与黄金三角形，欣赏黄金分割在自然规律、艺术创作等跨学科研究中的应用.

2. 教学提示

初中阶段的黄金分割从比例线段、一元二次方程引入，高中阶段通过数列（兔子繁殖、爬楼梯等）引入，在研究数学性质的过程中得出黄金分割数. 殊途同归，反映了数学的统一性. 要注重从数学探究、数学欣赏、数学应用等角度展开教学活动，帮助学生拓宽数学视野，感悟数学观察、思考与表达的韵味.

3. 说明

（1）斐波那契数列的探究的整体架构如下.

一般观念：运算、函数的观点；数形结合，与现实的联系；等等.

要通过类比等差数列和等比数列的研究内容与研究方法，对斐波那契数列展开探究. 可以研究的内容是什么？方法从哪里来？这里要重点讨论. 这些是教师要引导的. 通过这样的教学，让学生体会如何用已经学习的知识和思想方法去研究一个新的数列.

（2）课堂上是否要研究所有性质？

课堂上并不需要研究所有性质，其实也不可能. 建构研究框架，形成研究方法，给出研究示范，然后让学生在课下自主探究. 研究成果可以通过板报、成果的课堂展示等进行交流. 也就是说，这个内容要用“数学探究活动”的方式来组织.

数学探究活动是一种综合实践活动，其目标追求如下.

① 以问题解决为导向.

② 整合数学与其他学科的知识和思想方法.

③ 让学生从数学的角度观察与分析、思考与表达、解决与阐释社会生活及科学技术中遇到的现实问题.

④ 感受数学与科学、技术、经济、金融、地理、艺术等领域的融合.

⑤ 积累数学活动经验，体会数学的科学价值，提高学生发现与提出问题、分析与解决问题的能力.

⑥ 发展应用意识、创新意识和实践能力.

实际上，强调综合与实践活动，就是要在学生长知识的过程中增长见识，提高学习的兴趣，关注社会生活中与数学相关的信息，主动参与数学活动；在解决数学问题的过程中，能够克服困难，树立学好数学的信心，感受数学在实际生活中的应用，体会数学的价值，欣赏并尝试创造数学美；养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑的学习习惯.

七、超几何分布

1. 内容与要求

通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题.

2. 教学提示

整体而言，应通过典型案例开展教学活动，案例的情境应是丰富的、有趣的、学生熟悉的；要重视过程，层次清楚，从具体到抽象，从实际到理论. 具体地，要通过不放回摸球试验或随机抽样问题，利用建立二项分布模型积累的数学活动经验，经历抽象试验特征、推导分布列、直观猜想并计算验证超几何分布随机变量均值的过程；要引导学生辨析二项分布与超几何分布的联系与区别，帮助学生积累建立概率模型的经验，体会概率决策的作用.

3. 说明

二项分布和超几何分布是在引入随机变量的概念及其分布列后，重点研究的两个离散型概率分布模型. 超几何分布的教学可以看成概率建模课，重点是试验特征的抽象、随机变量的意义、分布列的计算和随机变量的均值，是培养学生数学抽象与数学建模素养的一个很好的载体. 教学中要特别注意以下问题.

（1）重视试验特征的抽象过程.

（2）分布列的计算.

（3）通过直观分析与计算验证相结合，认识二项分布与超几何分布的联系.

（4）在解决实际问题中提升学生的能力.

二项分布与超几何分布在现实中具有广泛的应用. 下面以2018年高考试题为例进行简单分析.

从实际背景分析，应该采用不放回抽取；如果采用不放回抽取，則各次抽取的结果不独立，次品数服从超几何分布. 对超几何分布求极大值点是非常困难的. 这里可以认为样本量20相对于200较小，每次抽取的结果对下一次抽取结果的影响很小，故可以假设近似独立，即用二项分布近似超几何分布.

概率的重要应用之一是利用期望值进行决策. 这里需要比较两种方案所需的总费用，但总费用是随机变量，所以只能比较总费用的均值. 在该问题中，按二项分布或超几何分布计算，总费用的均值是相等的.

八、测量学校内、外建筑物的高度

1. 教学要求

运用所学知识解决实际测量高度的问题，体验数学建模活动的完整过程. 组织学生通过分组、合作等形式，完成选题、开题、做题、结题四个环节.

2. 教学提示

这是《标准》中的案例15，要根据《标准》对“教学过程”的描述，让学生完整经历数学建模活动过程. 在优秀课展示过程中，要注意完整选取四个环节中的真实素材，还要适当阐释评价过程.