集合思想作统领　经典问题创新意

2023-06-09李娜娜陈昕

中国数学教育（高中版） 2023年5期

李娜娜　陈昕

摘要：“有限样本空间与随机事件”是一节较为经典的数学概念课. 这节课的教学设计和实施较好地遵循了数学概念获得的一般流程. 作为高中“概率”单元的起始课，这节课着眼于大单元教学目标，采用基于情境和问题导向的课堂教学方式，从学生初中阶段的学习认知出发，逐步形成以集合论为基础的数学观，建立在集合基础上的样本空间与随机事件的概念. 在教师的引导下，数学探究学习贯穿了整堂课教与学的过程，帮助学生获得“四基”，提高“四能”，发展数学核心素养.

关键词：概念课；集合思想；问题导向；数学探究

“有限样本空间与随机事件”是人教A版《普通高中教科书·数学》必修第二册第十章“概率”第一节“随机事件与概率”第1课时的内容，主要内容是以经典问题和情境为载体，建立在集合基础上的样本空间与随机事件的概念，为后续概率内容的学习打下坚实的基础.

样本空间与随机事件等概念的探究过程渗透归纳类比、数学抽象、模型转化等数学思想，关注数学抽象、逻辑推理和数学建模素养的培养.

数学课型按教学内容和形式分类，可以分为概念课、规则课、解题课和复习课等.“有限样本空间与随机事件”是一节典型的概念课，具有很强的代表性. 下面就从执教教师对本节课的教学定位、样本空间和随机事件概念的抽象、本节课的教学设计与实施三个角度谈谈笔者的看法.

一、关于本节课的教学定位

1. 课程标准的要求

《普通高中數学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）对“有限样本空间与随机事件”的要求是“结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系”. 在学习本节课之前，学生在初中阶段已经形成了对随机现象、随机事件描述性的感性认识，但不能用数学语言准确刻画随机事件，导致不能准确地理解随机现象与随机事件的关系，不能表达事件与事件的关系，进而不能解决生活中更为复杂的概率问题. 因此，教师需要结合大量实例情境，搭设合适的探究过程和递进的启发问题，使学生经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程，让学生理解引入集合语言对随机事件进行刻画的合理性和必要性.

作为高中“概率”单元的起始课，基于整体单元化教学的需要，本节课兼具知识预备和单元导引的双重价值——架起学生认知结构中新、旧知识之间的桥梁，引导学生了解概率的研究对象、研究方法和研究路径. 主要任务是抽象概率的研究对象，重点是抽象出有限样本空间和随机事件的概念. 在初中描述性定义的基础上，通过不同实例抽象出概念，进一步用集合工具对有限样本空间、样本点、随机事件等核心概念用数学语言进行精确、简洁地表达.

2. 为什么要引入样本空间

集合是现代数学中重要的数学思想方法和语言，几乎所有的数学过程都从构造集合开始，概率论也不例外. 用集合语言重构相关概念有以下几点优势：将实际问题数学化，用数学方法与思想研究数学问题；符号化语言描述概率问题更加简练、准确；把随机事件看成样本空间的子集，揭示了随机事件的本质；类比集合的关系与运算，更好地理解事件的关系和运算的意义；有利于揭示随机变量的本质（样本空间到实数集的映射）.

3. 教学问题诊断及突破策略

经过初中阶段的学习，加之直觉生活经验，学生对随机现象和随机事件有了初步的感性认识. 本节课用集合语言对“随机事件”的概念进行重构，是学生首次接触. 选择集合语言表示样本空间，是概率建模的关键一步，但面对随机试验可能出现的不同结果，学生首先想到的是用“自然语言”表达，缺乏用适当集合语言构建样本空间的程序与技巧. 因此，自然语言和集合语言之间的相互转换是学习的一个难点.

为了突破这一难点，执教教师从学生熟知的抛掷骰子试验入手，通过问题串引导学生自主探究、交流分享，并及时进行评价反馈. 以“随机现象数学化”为导向，以“不同语言的相互转换”为手段，针对样本点、样本空间、随机事件及其关系等提出一系列问题，层层递进，贴近学生思维的最近发展区.

二、关于样本空间和随机事件的概念抽象

本节课最关键的内容为样本空间和随机事件概念的抽象. 执教教师对这两个概念抽象的流程非常清晰.

样本空间的概念抽象过程：提供具体的随机试验—分析试验的可能结果—语言描述—符号表示—样本点—集合表示所有样本点—样本空间—有限样本空间.

随机事件的概念抽象过程：描述性定义—明确事件发生的意义—逐步将随机事件抽象为样本空间的子集.

在概念的抽象过程中，执教教师通过设计问题串，给予学生充分探究与展示交流的机会，特别重视训练学生自然语言和符号语言的相互转化.

三、关于本节课的教学设计与实施

1. 设置感性情境，抽象理性概念

首先，执教教师将数学课堂与信息技术相融合，选择学生熟悉的抛硬币试验与有趣的谢尔宾斯基三角形试验创设情境，运用GeoGebra软件和Matlab软件编程，制作重复试验动画，使学生通过观察发现：一次抛硬币试验具有“偶然性”，但大量重复试验之后，结果会呈现“稳定性”（如图1）；一开始点的产生具有随机性，呈“散乱”状态，当大量点（3 000余个）出现的时候，结果也呈“稳定”状态（如图2）. 这种感性的情境激发了学生的好奇心，也引发了学生的理性思考. 从“偶然性”到“稳定性”，从“散乱”到“稳定”，激发了学生学习概率的兴趣.

接下来，为引入集合语言，执教教师选择了学生非常熟悉的抛掷骰子试验作为情境，并针对试验结果提出六个问题：可能出现哪些点数？出现的点数会是奇数吗？出现的点数会是3的倍数吗？出现的点数会是3吗？出现的点数会大于0吗？出现的点数会是7吗？前五个问题较容易回答，第六个问题学生能自然想到用空集[?]来表示.

执教教师趁势引导，与学生充分互动、交流，将六个问题的结果都统一为集合的形式，实现将每个事件都跟集合对应起来. 这是实现理性抽象，用集合语言精准表达的过程. 图表的呈现，更加直观地展示了样本点、样本空间与随机事件、基本事件等的关系，如图3所示.

2. 设计探究问题，提升能力素养

探究1：足球比赛的开球权是由主裁判“抛硬币”决定的. 在一场足球比赛开赛前，主裁判抛掷一枚专用的硬币，观察它落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间.

方法1：Ω₁用图片表示，Ω₁={正面的图片，反面的图片}.

方法2：Ω=正面，反面.

方法3：设用z表示“正面”，用 f 表示“反面”，则Ω₁={z，f}.

方法4：设用1表示“正面”，用0表示“反面”，则Ω₁={1，0}.

学生口头回答，执教教师引导启发，总结提供以上四种不同抽象程度的写法，经历“实物—文字—字母—数字”的数学抽象过程. 执教教师特别强调了数字化表示形式的重要性和实用性，为学生后续概率的学习打下基础.

探究2：（1）抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间.

（2）拋掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面为正面的枚数，写出试验的样本空间.

对于第（1）小题，学生结合树状图、列表等方式分析试验的基本结果，并采用适当的形式写出样本空间. 教师巡视并指导，挑选不同的写法代表进行展示，引导学生分享交流. 对于第（2）小题，对比第（1）小题，两个试验背景相同，但观察的角度和目的不相同. 据此，教师引导学生归纳总结：相同的试验背景，基于不同的观察目的，可能写出不同的样本空间.在这个过程中，执教教师通过提出问题，递进探究，培养学生的理性思维能力. 整个教学过程按照教师的预设来推进，学生知识的生成水到渠成.

探究3：如图4，一个电路中有A，B，C三个电路元件，每个元件可能正常，也可能失效. 把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，对整个电路进行一次检查，观察各元件是否正常.

（1）写出试验的样本空间；

（2）用集合表示事件“恰好两个元件正常”“电路是通路”“电路是断路”.

该探究是一个较复杂的电路问题. 第（1）小题要求学生用集合语言表示样本空间，巩固前面所学. 第（2）小题为后续古典概型的学习作准备. 整个探究过程，先分析试验结果，用符号表示样本空间，接下来分析随机事件，能够写出对应的样本点. 通过综合分析解决问题，提升学生的数学抽象和数学建模素养.

3. 瞄准两个理解，精准实施教学

（1）理解数学.

从理解数学的角度来看，理解《标准》，尊重教材，所有的问题情境几乎都来源于教材. 执教教师对教材的设计意图理解到位，主线清晰（如图5），重点突出. 概念抽象的过程比较充分.

（2）理解教学.

问题的设计能激发学生的积极思考，数学知识的发生发展过程合理. 问题的挑战性激发了学生思维的不断深入，学生思维过程合理.

四、小结

1. 聚焦单元主题

作为“概率”起始课，注重从整体教学入手，聚焦大单元主题——集合思想的统领. 核心概念串珠成线，织线成网，形成系统的知识结构.