大道至简 登高望远

戴启猛

摘  要：以“直线与方程”单元复习课为载体，从追求好的数学课一定是教数学、注重生成、必须有大观念和大思路、坚持核心素养导向等四个方面，对关注数学教学本质、突出思维教学、落实数学核心素养、做好课堂教学提问及复习课问题设计等进行了讨论.

关键词：直线与方程；核心素养；问题及提问

一节好的数学课理应做到大道至简、登高望远. “大道至简”中的“道”指的是数学教学的本质，即数学教学的根本，抑或数学核心素养的培养.“登高望远”的意思是登上高处，看得更远，比喻思想境界高，目光远大，出自《荀子·劝学》. 观摩“直线与方程”单元复习课就有一种登高望远的感受.

一、好的数学课一定是教数学

当大家听到“好的数学课一定是教数学”这句话时，一定会心生疑惑：难道我们在数学课上教的不是数学吗？这个观点是笔者引用章建跃博士的. 的确，许多数学课教的不是数学！

“直线与方程”单元复习课通过如下问题引导学生回顾直线的方程的形式，强化斜率概念的精确定义，感受不同形式的直线的方程之间的内在联系，并从“数”和“形”两个角度重新认识直线与方程，夯实其作为直线的方程表达的逻辑推理基础，建立统一的观点．

问题1：通过本章内容的学习，你对标题“直线与方程”有怎样的认识？

问题2：直线的方程有哪几种形式？

问题3：有人说“直线的方程的其他形式都是点斜式方程的‘推论”，你怎么理解？

紧接着，教师给出例1及两个变式，引导学生利用所复习的知识解决问题.

例1  写出图1中各条直线的方程.

变式1：试写出一个方程，表示经过点（2，3）的所有直线．

变式2：当m变化时，直线x-2y+m=0 （ m∈R）有什么几何特征？

一方面，加深学生对公式的理解与运用，由“形”定“数”，以“数”研“形”，精确定义、精准表述，难度层次分明，思维逐步提升，呈现严格的逻辑推理过程，自然而然地将“直线与方程”单元组成了一个逻辑严密的整体. 这就是好的数学课理应具备的特征，一定是教数学.

二、注重生成才是好的数学教学

教师一定能接受观点“注重生成才是好的数学教学”. 学习归根结底是学生自己的事情. 如果学生的思维没有参与进来，那么教师讲得再好，教学效果也微乎其微. 因此，好的数学教学一定是能把学生“卷”入课堂活动中，使他们“躬行此事”从而“绝知此事”的教学.

本节课的教学环节3通过精选例题，一题三变，在几何问题与代数问题灵活转化的过程中形数融通，悟透通法，带领学生进一步感悟解析几何研究的一般路径. 例2以学生熟悉的图形为载体，研究两条直线的垂直关系，思维入口宽，解题方法多，让学生再次认识到坐标法是研究解析几何问题的核心方法，它是基于点与坐标、直线与方程的对应，通过代数运算研究几何图形的性质. 变式1和例2基于同一个背景，是对例2的传承与发展. 但图形中的几何要素有所增加，解题难度有所提升，可以进一步培养学生分析问题和解决问题的能力，也培养了学生用运动的观点观察问题的能力. 变式2以矩形为载体，借助反射问题考查了图形的对称变换，有利于培养学生的看图、识图、用图和解图能力，有利于发展学生的直观想象素养，提高学生分析问题的能力. 变式3以函数的最值问题为背景，培养学生将代数问题转化为几何问题的能力，促使学生进一步体会数形结合的双向应用，也体现了解析几何在函数领域的应用．

整个过程高潮迭起，一气呵成. 尤其是在执教教师精准而简洁的点拨之下，学生表现出色. 正如叶澜教授所言，一节好课不完全是预先设计好的，而是在课堂中有教师和学生真实的、情感的、智慧的、思维和能力的投入，有互动的过程，气氛相当活跃. 在这个过程中，既有资源的生成，又有过程状态的生成. 本节课就给了我们这样的感受.

三、教学必须有大观念和大思路

数学教学倡导大格局，指的是数学教学必须注重数学的整体性，这是由数学学科特點决定的. 数学的整体性既体现在数学概念及其反映的数学思想方法的一体性上，又体现在各部分内容的有机联系上. 本节课中，执教教师引用华罗庚先生的“熟书生温”的学习观点和“薄厚互换”的读书方法，揭示了数学单元复习课的内在价值. 站在“方法、思想、路径”的视角回看全章内容，学生犹如登高回望，有“会当凌绝顶，一览众山小”的通透澄明之感.

本节课还有一大亮点，那就是大思路解析，综合融通训练实. 执教教师精选的两组例题及其变式促使学生的数学思维不断攀升. 在几何与代数的灵活转化中，由“以形助数，以数解形”升华到“形数融通，悟透通法”. 这样的教学方式，既强调大问题引领、大思路解析，又落到实处，细腻深刻，达到了很好的训练效果.

四、核心素养导向的数学教学

掌握数学知识是发展数学核心素养的前提. 以发展学生的核心素养为追求的数学教学，要做到以下几个方面：根据学生的认知规律，螺旋上升地安排教学内容，特别是让重要的（往往也是难以一次完成的）数学概念、思想方法得到反复理解的机会；以“事实—概念—性质（关系）—结构（联系）—应用”为明线，以“事实—方法—方法论—数学学科本质观”为暗线，并强调结合明线布暗线，形成基本数学思想和方法的“渗透—明确—应用”的有序进程，使学生在掌握“四基”、发展“四能”的过程中有效发展数学核心素养.

本节课以知识重构为明线，以思想渗透为暗线，双线贯穿，感悟“数”和“形”的对立统一，探索解析几何研究的一般路径，建立单元复习的一般范式. 整节课围绕“直线与方程”“两条直线的位置关系”“平面上的距离”三个知识板块，在自主建构、合作探究、交流分享中实现了知识再建构、方法再巩固、思想再感悟，做到了根据数学知识的发生发展过程和学生认知过程这“两个过程”合理设计教学.

例如，在本节课的教学环节4中，教师用关键词引导学生总结升华. 最后是思考与运用（课外作业布置），教师从知识、方法、思想等多维度引领学生进行反思提炼，既总结收获、积累经验，又站在单元的视角明晰后续解析几何研究的方向，鼓励学生自主探究、提升素养，为后续圆、椭圆等知识的学习打下坚实基础．

笔者以为，这就是核心素养导向的数学教学.

五、思考或建议

本节课中，执教教师一共提出了33个问题，对这些问题进行分类和统计，结果如表1所示.

这33个问题大多数集中在解释性问题（12个）和探究性问题（11个），质量很高，学生的思维量大，这是大多数教师在课堂教学中难以做到的. 课堂上，教师提出问题引导学生思考，恰时、恰点、恰当地追问，展开学生的思维过程，提升学生的思维能力. 这是数学教师最重要的职责，也是数学学科发挥培养学生核心素养不可替代的责任；这是数学教学的本质，也是数学教学的根本，抑或数学学科最重要的素养和学科育人价值最重要的体现.

下面我们关注三个无效表达的问题. 这三个问题引发了笔者的思考.

思考1：课堂上教师提问的量与质如何保证？

执教教师在课堂上提出的三个无效问题如下.

第一个问题：如果对结果没有特别要求，我们通常把直线方程化成      （填空式提问，教师自问自答：一般式.）

这个问题是在学生回答了问题“你認为求直线的方程应该注意什么？”后的随口一问. 笔者猜测教师提问的目的是强调或强化.

第二个问题：除了蕴含数形结合数学思想外，还包含什么思想方法？（教师自问自答：化归.）

这个问题是执教教师在学生展示“平面上的距离”知识框图，并进行师生互动后，旨在补充所突出的数学思想而提出的问题. 这里要特别提出一个问题，笔者在反复观看这段视频的过程中，从教师提出问题到学生独立完成“平面上的距离”知识框图，再到结束讨论，整个过程仅用时1′30^‘，此处教学过程的用时值得怀疑. 是否与后期视频剪辑有关系？如果是，这样的剪辑显得教学很不真实. 这也启发我们注意视频剪辑要契合教学关键过程.

体现数学核心素养的四个方面是情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思. 思维与表达、交流与反思就是要求学生能够用数学语言直观地解释和交流数学的概念、结论、应用和思想方法，并能进行评价、总结和拓展. 在此，执教教师可以让学生用自己的语言去表达，要相信学生经过知识的整理及课堂上对直线的方程的知识归纳能够用数学的语言来表达. 虽然学生的表达可能不够专业、标准，但是这又有什么关系呢？教师在此大可不必包办.

第三个问题：当点T与线段CD的两个端点重合时，我们应该怎么办？（学生补充：分类讨论一下. 师：这样就更完美了.）

此处存在着很好的教学思辨契机. 对于高中生来说，分类讨论是有难度的，但也是无法回避的. 在此，教师不用问得那么直接，完全可以通过追问“这位同学做对了吗？他考虑得周全吗？”启发学生进行深入思考.

思考2：章节单元复习课的问题设计如何实现？

为什么要提出这个问题呢？受到执教教师对师生共同研究问题及其变式教学设计的启发. 为此，笔者对近十年高考全国卷和地方卷中涉及解析几何内容的试题进行了统计，如表2所示.

从统计的情况来看，高考对这部分内容的命题热点在“直线和圆的位置关系”部分，涉及“直线与方程”内容的高考命题，只在2020年全国Ⅲ卷（文科）中考过一次. 当年的试题如下.

之所以说得这么详细，笔者想表达的是，我们应该考虑如何设计复习课的问题. 复习课的问题与新授课的问题有什么不同？本节课，我们已经到了单元复习课，后面还有期末总复习课、高考前复习课，笔者以为复习课上设计的问题必须依据学生的实际，对标学业质量（水平二），设计的问题要有明晰的目标和层次.

爱尔兰诗人叶芝曾说过：“教育不是注满一桶水，而是点燃一把火.”与大家共勉.

参考文献：

［1］曹才翰，章建跃. 中学数学教学概论（第3版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］章建跃. 章建跃数学教育随想录［M］. 杭州：浙江教育出版社，2017.

［3］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.