“空间中点、直线和平面的向量表示”教学设计

路景明

摘  要：用空间向量表示点、直线和平面是解决立体几何问题的基础，也是沟通向量方法与空间图形的桥梁. 通过问题引导和自主探究，使学生形成“数学问题解决的首要环节是将数学对象符号化”的一般观念.

关键词：空间向量；基点；自主探究；直观想象

一、内容和内容解析

1. 内容

用向量表示空间中的点、直线和平面.

2. 内容解析

本节课的内容源自人教A版《普通高中教科书·数学》选择性必修第一册（以下统称“教材”）第一章“空间向量与立体几何”. 从本章知识的内部结构来看，空间向量是空间中既有大小又有方向的量，直线的方向与空间向量的方向具有一致性，平面的方向能由与之垂直的向量的方向确定，点的位置可以由观察基点与此点所构成的空间向量表示. 由此，空间向量可以表示空间中点的位置，以及直线和平面的方向. 根据空间向量方向的特点，空间中的直线与平面、平面与平面的位置关系可以转化为向量的相关问题. 对于“平行”与“垂直”两种特殊的位置关系，以向量的运算为工具，可以证明空间中线面间的平行与垂直关系，并能解决直线与平面、平面与平面和异面直线的夹角问题. 本单元的核心内容是探求利用空间向量解决立体几何问题的一般方法，即先用空间向量表示点、直线和平面等基本要素，从而将立体图形“向量化”；然后，进行空间向量的运算，求得相应结果；最后，把空间向量的运算结果“翻译”为几何结论. 显然，本课时的教学内容——用空间向量表示点、直线和平面等基本要素，是问题解决的基础，也是沟通向量方法与空间图形的桥梁. 空间向量的运算是问题解决的核心，用运算结果解释几何结论是问题解决的归宿.

基于以上分析，确定本节课的教学重点：用向量表示空间中的点、直线和平面；平面的法向量的求法.

二、目标和目标解析

1. 目标

（1）能用向量语言描述点、直线和平面，理解直线的方向向量和平面的法向量，会求平面的法向量.

（2）通过建立立体图形与空间向量之间的联系，初步了解立体几何中的向量方法，体会转化与化归思想.

（3）在探究直线和平面的向量表示的过程中，发展直观想象素养和数学表达的能力.

2. 目标解析

达成上述目标的标志如下.

（1）能通过选取基点确定点的位置向量；能通过向量知识和立体几何初步知识推导出空间直线、平面的向量表示式；能根据给定的点及方向用向量表示直线；能用给定的两个不共线的方向向量表示平面；知道用法向量表示平面的原理，并能求出一个平面的法向量.

（2）通过用空间向量表示点、直线和平面等基本要素的过程，体会用向量语言描述立体几何问题是利用空间向量解决立体几何问题的第一步，结合利用法向量表示平面的推导过程，提升直观想象、逻辑推理等素养.

三、教学问题诊断分析

学生通过立体几何初步相关知识的学习，已经能够解决点、直线、平面的位置关系和度量的相关问题，并且经历过运用平面向量解决平面几何问题. 基于此，学生自然能够想到运用空间向量解决立体几何的相关问题.

可能存在的认知困难：本节课的授课学生为区级普通中学的高二学生，学生整体的逻辑推理能力和直观想象素养仍处于发展阶段，主动应用向量法解决问题的意识不强，缺少对运用空间向量表示直线和平面的条件及方法进行探究的经验和体会. 特别是对用法向量表示平面，学生没有参考经验.

基于以上分析，确定本节课的教学难点：用向量表示平面的探究过程.

突破难点的关键：教学中，采用“图形语言—自然语言—向量语言”的路径，通过问题引导、合作探究，逐步建立用向量表示点、直线和平面的一般方法. 借助问题搭建脚手架，通过小组合作突破难点.

四、教学策略分析

1. 教法分析

结合本节课的内容特点和学情分析，确定本节课主要采用任务驱动和基于问题串引导的教学方法. 本课时以提升学生的直观想象和逻辑推理素养为根本出发点，启发学生从数学角度发现和提出问题. 类比学生已有的关于平面向量探究的经验和方法，探究空间中点、直线和平面的向量表示，获得研究新的数学对象的一般路径，落实“四基”，发展“四能”.

2. 学法分析

学生主要采取自主探究、合作交流的学习方法学习本节课的内容. 在课堂教学中始终以学生为核心，鼓励学生独立思考、敢于质疑，通过小组合作、交流分享突破难点. 有效提升学生的课堂参与度，提升学生的合作探究意识，提高学生分析和解决问题的能力.

五、教学过程设计

引导语：我们已经把向量从平面推广到了空间，在平面向量的学习过程中，我们已经掌握了用向量解决平面几何问题的“三步曲”. 通过空间向量运算解决立体几何问题，首先就是要将空间中的位置和方向表示清楚，即用向量语言来描述立体几何问题. 因此，建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决几何问题的关键.

【设计意图】将向量从平面推广到空间，既作了数学知识和工具上的准备，也作了学习方法上的准备. 这里有一个提示作用：本节课就是要学习用向量语言描述立體几何问题，即用向量表示空间的基本图形.

环节1：明确内容，聚焦问题.

问题1：组成空间几何图形的基本元素是什么？

师生活动：学生指明点、直线和平面是空间中的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.

教师总结：用空间向量解决立体几何问题，首先就要学会用向量表示空间中的点、直线和平面，将几何问题转化为向量问题. 这是向量法的第一步，也是本节课的研究任务.

【设计意图】明确本节课的教学内容. 明确研究的基本对象是空间中的点、直线和平面，研究任务是对象的表示.

环节2：明晰任务，探求新知.

问题2：如何用向量表示空间中的一点P？

师生活动：学生独立思考，提出点的表示是相对位置. 例如，对于教室中一个物体的位置，从教师视角和学生视角会有不同的表示. 然后抽象出数学问题.

【设计意图】将数学与生活相结合，抽象出数学问题. 利用生活中的实例，顺理成章地确定用基点表示空间中的点. 发展学生的数学抽象和直观想象素养. 另外，图1中的平面用于衬托立体感，这是用图形语言表述数学对象的需要.

小结：空间中点的向量表示，如表1所示.

问题3：如何用向量表示空间中的直线？即如何用向量表示出直线上的任意一点？

【设计意图】类比平面向量的研究方法研究空间向量，引导学生关注其中维数带来的变化. 引导学生利用共线定理寻找用向量表示直线的方法，让学生体会利用空间向量解决立体几何问题是用平面向量解决平面几何问题的发展. 学生在探究问题的过程中体悟数形结合思想，提升直观想象素养.

【设计意图】这几种表示平面的方法都建立了平面与向量的联系，用向量表示平面为通过向量运算研究图形的性质奠定了基础. 三种表示方法各有特点：前两种表示方法充分运用平面向量基本定理，通过向量的线性运算表示平面；第三种表示方法借助平面的法向量，通过向量的数量积运算表示平面. 对于平面而言，法向量是反映垂直方向最为直观的表达形式，既体现了几何图形直观，又提供了代数定量刻画.

【设计意图】通过题目训练，巩固直线方向向量及平面法向量的求解方法. 通过目标检测，了解学生对知识的理解和掌握情况，为学习评价提供依据，培养学生的直观想象和数学运算等素养.

教师总结：通过本节课，我们学习了用向量表示空间中的点、直线和平面，并深入研究了直线的方向向量和平面的法向量的求法. 理解了参照系的作用，体会了“位置”和“方向”作为三维欧几里得空间基本概念的基础地位. 为我们利用空间向量的运算研究空间直线、平面间的位置关系，以及距离、夹角等度量问题提供了工具.

【设计意图】结合板书，从三种语言的过渡引导学生从知识层面和方法层面进行总结. 通过总结研究方法，促使学生形成“数学问题解决的首要环节是将数学对象符号化”的一般观念. 教师从单元视角对本节课的地位和作用进行总结.

【设计意图】分层布置，力求让不同基础的学生都拥有成功学习的体验. 必做题主要考查学生对本节课重点知识的掌握情况，检查学生运用所学知识解决问题的能力，实践作业的设置是为了让学生体验如何检索、搜集资料进行数学学习，这是对本节课所学内容的提高与拓展，可以更好地培养学生分析问题和解决问题的能力.

参考文献：

［1］中華人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］朱成万. 基于比较的新教材解读：“空间中点、直线与平面的向量表示”的教材分析与教学建议［J］. 中学数学月刊，2021（7）：39-42.