关于Gorenstein FPn-内射模

昌文浩, 周德旭

（福建师范大学数学与统计学院, 福建 福州 350117）

左R-模E称为FP-内射模[1-3]，如果对任意有限表现左R-模P，有Ext1R(P，E) =0.FP-内射模作为内射模的推广，对于同调代数中的一些环如凝聚环，IF 环等的研究中起着重要的作用.近年来， 关于FP-内射模的推广及其在Gorenstein同调理论中的研究引起了许多学者的兴趣(如文献[4-12]).2012年， 文献[6] 利用FP-内射模引入研究了Gorenstein FP-内射模.2013 年，文献[7] 进一步定义了强Gorenstein FP-内射模，并得到了FC 环的一些刻画.另一方面， 2003 年文献[12]利用n-表现模推广引入了FPn-内射模，并给出了n-凝聚环的若干等价刻画.

受以上工作的启发，首先通过文献[13]的FPn-内射模研究(强)Gorenstein FPn-内射模， 给出了Gorenstein FPn- 内射模，强Gorenstein FPn- 内射模以及FPn-内射模的关系， 然后得到了(强)Gorenstein FPn-内射模的若干性质和等价刻画，最后研究了一类特殊的环——左GFPn-正则环，即每个左R-模均为Gorenstein FPn-内射模， 得到左GFPn-正则环的等价刻画， 推广了文献[6-7]中相关结果.

总设环R是一个有单位元的结合环，模为酉模， 同态是指模同态， 未指明的定义和符号可参见文献[13].

1 Gorenstein FPn - 内射模

按照文献[12]， 称左R-模E是FPn- 内射模， 若Ext1R(X,E) =0， 其中X为n-表现模.首先， 利用FPn-内射模引入如下Gorenstein同调模.

定义1称左R-模M是Gorenstein FPn-内射模， 如果存在FPn-内射模的正合列

使得M≅Ker(E0→E1)并且上述正合列在函子HomR(X,-)的作用下为正合列， 其中X为投射维数有限的n-表现摸.特别地， 当上述正合列中Ei=Ei=E，fi=fi=f时，则称M是强Gorenstein FPn-内射模.

命题1(强)Gorenstein FPn-内射模关于直积(直和)封闭.

证明只证强Gorenstein FPn-内射模关于直积封闭，其他情形类似可证.设{Mi}i∈I是一簇强Gorenstein FPn-内射模，则存在一个FPn-内射模的正合列

使得Mi≅Ker(Ei→Ei)并且上述正合列在函子HomR(X,-)的作用下为正合列.从而存在如下正合列

使得∏Mi≅Ker(∏fi) 且∏Ei是FPn- 内射模.又HomR(X,∏εi) ≅∏HomR(X,εi)， 所以∏Mi是强Gorenstein FPn-内射模.

下面讨论FPn-内射模，Gorenstein FPn-内射模，强Gorenstein FPn-内射模之间的联系.

命题2每个FPn-内射模都是强Gorenstein FPn-内射模.

证明1设M是FPn-内射模，存在左R-模正合列

其中f:(x,y) ↦(y,0) ，x，y∈M.显然有Kerf=Imf=M⊕0=M.设X为投射维数有限的n-表现摸， 将HomR(X,-)到上述正合列上， 得到下述交换图.即

由于下行序列正合， 所以上行也是正合的， 即HomR(X,δ)为正合的.从而M为强Gorenstein FPn-内射模.

命题3每个Gorenstein FPn-内射模是某个强Gorenstein FPn-内射模的直和项.

证明令M是Gorenstein FPn-内射模， 则存在完全FPn-内射分解

使得M≅Ker().对于任意整数m，记δm为利用正合列δ通过增加指标m而得到的正合序列， 其中diδm=令Q=∏Pi， 则有正合序列

注意到M为Ker() 的直和项，且

由于对任意整数m都有 HomR(X,δm)正合， 所以HomR(X,ω)也正合， 于是Ker(∏d0δi)是强Gorenstein FPn-内射模.所以M是某个强GorensteinFPn-内射模的直和项.

推论1每个GorensteinFPn-内射模是FPn-内射模当且仅当每个强Gorenstein FPn-内射模是 FPn-内射模.

证明必要性显然.充分性.由命题3 知，Gorenstein FPn- 内射模是某个强Gorenstein FPn- 内射模的直和项， 而FPn-内射模的直和项还是FPn-内射的.从而充分性成立.

下面给出在一般环下(强)Gorenstein FPn-内射模的一个等价刻画.

命题4设M是左R- 模，则M是强Gorenstein FPn-内射模当且仅当存在一个短正合列0 →M→E→M→0，其中：E是FPn-内射模，且对于投射维数有限的n-表现模X有Ext1R(X,M) =0.

证明必要性.若M是强Gorenstein FPn-内射模， 则由定义知存在FPn-内射模正合列，使得M≅Imf≅kerf.从而存在短正合列0 →M→E→M→0.由定义知对于投射维数有限的n-表现摸X， HomR(X,-)保持上述序列正合， 即有正合列

再由同调长正合列定理知， 存在如下正合列

由于E为FPn-内射模， 所以Ext1R(X,E) =0.由上述正合列得到Ext1R(X,M) =0.

充分性.由条件知存在短正合列0 →M→E→M→0，其中：E为FPn-内射模，从而存在FPn-内射模正合列，使得M≅Imf≅kerf.用HomR(X,-)作用于上述正合列，再应用同调长正合列定理和已知条件知0 →HomR(X,M) →HomR(X,E) →HomR(X,M) →Ext1(X,M)=0 为正合序列， 从而HomR(X,-)保持上述序列正合， 即M为强Gorenstein FPn-内射模.

类似可证下面命题.

命题5左R-模M是Gorenstein FPn-内射模，当且仅当存在FPn-内射模的正合列

使得M≅ker(E0→E1)并且对于任意投射维数有限的n-表现模X均有Ext1R(X,M) =0.

2 关于左n-凝聚环

考虑在左n-凝聚环R中(强)Gorenstein FPn-内射模的等价刻画， 并研究左GFPn-正则环的性质.

命题6设R是左n-凝聚环，则左R-模M是Gorenstein FPn- 内射模当且仅当存在FPn-内射模正合序列ε=…→E1→E0→E0→E1→…，使得M≅ker(E0→E1).

证明必要性.由定义可以直接得到.

充分性.只需证明对于投射维数有限的n-表现模X， HomR(X，ε)为正合的.设X的投射维数为m.下面对m做数学归纳法.当m=0时结论显然成立.现在设m≥1， 则存在短正合列0 →L→P0→X→0，其中P0为有限生成投射模，从而L的投射维数≤m-1.由于R为左n-凝聚环，从而L为n-表现模.于是有复形正合序列为

由归纳可知HomR(L,ε)为正合的.显然HomR(P0,ε)为正合的.根据文献[14]知，HomR(X,ε)也是正合的.

推论2设R是左n-凝聚环，则下列叙述等价：

1)M是Gorenstein FPn-内射模；

2) 存在一个正合序列…→E1→E0→M→0， 其中Ei为FPn-内射模；

3) 存在一个短正合序列0 →K→E→M→0， 其中E为FPn-内射模，K为Gorenstein FPn-内射模.

证明1)⇒2)， 1)⇒3)可由定义得到.现在证明2)⇒1)与3)⇒2).

2)⇒1) 设M满足条件2)， 令0 →M→E0→E1→…为M的FPn-内射分解， 则M ≅Ker(E0→E1).从而得到如下FPn-内射模的正合序列

由命题6知，M是Gorenstein FPn-内射模.

3)⇒2) 设存在左R-模短正合序列

其中：E为FPn内射，K为Gorenstein FPn-内射模， 则存在左R-模正合序列

其中：E'i为FPn-内射.现在将序列α与β合并，得到以下正合列：

其中：E,Ei'为FPn-内射， 所以2)成立.

命题7设R是左n-凝聚环， 则左R-模M是强Gorenstein FPn-内射模当且仅当存在正合列0→M→E→M→0其中E是FPn-内射模.此时，ExtiR(X,M)=0， ∀i＞0.

证明必要性显然.

设存在正合列0 →M→E→M→0， 其中E是FPn-内射模， 则由R是左n-凝聚环， 根据文献[13]定理1知ExtiR(X,E) =0，∀i＞0.由同调长正合列

可知， 0=Ext1(X,M)≅Ext2(X,M)≅Ext3(X,M)≅….

下面研究左GFPn-正则环的性质.

定义2环R称为左GFPn-正则环， 如果每个左R-模都是Gorenstein FPn-内射模.

定理1环R为左GFPn-正则环当且仅当每个投射左R-模是FPn-内射的且每个投射维数有限的n-表现左R-模都是投射的.

证明必要性.由于环R为左GFPn-正则环， 从而每个左R-模都是GFPn-内射模.于是每个投射左R-模P都是GFPn-内射模，进而存在一个FPn-内射模的正合列

使得P≅Ker(E0→E1)， 于是存在可裂正合列E0→P→0.从而每个投射左R-模P是FPn-内射的，再设X为投射维数有限的n-表现模，由命题4知，对任意左R-模M均有Ext1R(X,M) =0，从而X为投射的.

充分性.设M是一个左R-模，由于每个投射左R-模是FPn-内射的，从而把M的投射分解与FPn-内射分解合并，得到完全的FPn-内射左R-模的正合列ε.再由每个投射维数有限的n-表现模X都是投射的，所以HomR(X,-)为正合序列，由GFPn-内射模的定义得到，M是GFPn-内射模.命题得证.

注1由定理1 可知，当环R的左总体维数有限时，左GFPn-正则环R一定是左n-凝聚环.

定理2设R为左n-凝聚环， 则下列叙述等价：

1） 环R为左GFPn-正则环；

2） 每个投射左R-模是Gorenstein FPn-内射的；

3） 每个投射左R-模是强Gorenstein FPn-内射的；

4） 每个投射左R-模是FPn-内射的；

5）RR是FPn-内射的(强GorensteinFPn-内射的， Gorenstein FPn-内射的)；

6） 每个投射维数有限的左R-模是FPn-内射的(强Gorenstein FPn-内射的， Gorenstein FPn-内射的).

证明1)⇒2) 显然.

2)⇒4) 设M为投射左R- 模，则由2)知M为Gorenstein FPn-内射模，从而存在正合列0 →A→E→M→0，其中E为FPn-内射的.由于M为投射的，从而正合列可裂，于是M为FPn-内射的.

4)⇒6) 设M为投射维数有限的左R-模，则存在正合列

其中：E0,…,Em均为投射模.由3)知，E0,…,Em均为FPn-内射的.根据文献[13]的命题4 和定理1 可知，M为FPn-内射的.

6)⇒1) 设X为投射维数有限的n-表现摸，则存在正合列0 →X0→P→X→0， 其中P为有限生成投射模.从而X0为投射维数有限的.由4)知，X0为FPn-内射的.于是0 →X0→P→X→0是可裂的，即X为投射的.根据命题知，R为左GFPn-正则环.

4)⇒3)⇒2) 根据命题1可得.

4)⇔5) 利用FPn-内射模类关于直和与直和项封闭即得.