面向权重未知的区间直觉模糊多属性决策方法

龚匡丰, 林耀进, 李国和, 杨伟萍

（1.龙岩学院数学与信息工程学院,福建 龙岩 364000；2.闽南师范大学计算机学院,福建 漳州 363000；3.中国石油大学(北京)信息科学与工程学院,北京 102249）

学者Atanassov[1]提出直觉模糊集理论（intuitionistic fuzzy set, IFS）.在此基础上，Atanassov 等[2]将其进行推广，给出区间直觉模糊集（interval-valued intuitionistic fuzzy set, IVIFS）概念.目前，IVIFS 理论已经被广泛应用于图像处理、模式识别等领域[3-4].

多属性决策是通过挖掘已有信息，对候选方案进行评价，给出较好方案或者对方案进行排序[5].徐泽水[6]在IVIFS环境下，提出一种属性权重完全已知的决策方法.刘久兵等[7]将IVIFS理论与代价损失函数结合，同时融入三支决策思想，给出一种专家权重信息未知的区间直觉模糊三支群决策方法.何佳蔓[8]用灰色关联系数法确定专家权重和属性权重，提出一种基于云模型的多属性群决策方法.郭子雪等[9]在IVIFS环境下，利用离差最大化思想对属性权重完全未知的多属性决策方法进行研究.陆广地[10]针对模糊不确定性问题，提出一种基于联系数的区间直觉模糊多属性决策新算法.孟振华等[11]重新定义直觉模糊数得分函数，同时提出一种多属性决策方法.张晓慧等[12]利用最大最小偏差思想，结合有序加权平均算子提出一种针对方案偏好信息为实数的多属性群决策方法.冯源等[13]将最大最小偏差思想推广到属性值为区间型的多属性群决策问题中.由于IVIFS在不确定性的刻画上更细腻，因此，提出一种新的区间直觉模糊多属性决策方法.首先，分析文献[6]中传统得分函数的局限性，将文献[11]中得分函数推广到IVIFS环境.其次，利用最大最小偏差思想确定属性权重，通过区间直觉模糊加权平均(IIFWA)算子对每个方案集的评价指标进行集成.最后，比较各方案中综合得分函数值，实现排序.

1 预备知识

定义1[1]给定非空论域U，则称A为U上的一个直觉模糊集.A表示为

其中：uA(x)和vA(x)分别称为x属于A的隶属度和非隶属度.即

且满足条件：0 ≤uA(x)+vA(x)≤1，x∈U.

另外，称πA(x)为x属于A的犹豫度，πA(x)表示为

定义2[14]给定一个直觉模糊数α=(uα，vα)，则α的得分函数S(α)表示为

定义2中得分函数没有考虑犹豫度的作用，文献[11]对其进行改进，给出考虑犹豫度的得分函数.

定义3[11]设存在一个直觉模糊数α=(uα，vα)，则其得分函数S(α)表示为

定义4[2]给定非空论域U，则称为U上的一个区间直觉模糊集表示为

定义5[6]设为一个区间直觉模糊数，则该区间直觉模糊数的得分函数定义为

显然，S()∈[-1，1].

定义6[6]设为一个区间直觉模糊数，则该区间直觉模糊数的精确函数定义为

由（8）式可知，h()∈[0，1].

定义7[6]设有三个区间直觉模糊数，则满足以下式子：

定义8[6]设(k=1，2，…，n)为一组区间直觉模糊数，且设，若

其中：w=(w1，w2，…，wn)T为的权重向量，且wk∈[0，1]，，则称f为区间直觉模糊加权平均（IIFWA）算子.

定理1[6]设为信息系统的区间直觉模糊数组，则由IIFWA 算子集成后，其结果为

2 改进的得分函数

2.1 现有得分函数的局限性分析

定义5中得分函数的计算方法只考虑隶属度和非隶属度，而忽略犹豫度的作用，导致区间直觉模糊数中信息没有被充分发掘.现用例1说明传统区间直觉模糊数的得分函数具有局限性.

例1给定非空论域U，和为两个区间直觉模糊数，且=([0.45，0.55]，[0.15，0.25])，=([0.1，0.5]，[0，0]).利用传统区间直觉模糊数得分函数和精确函数计算方法可得如下结果易得，由传统区间直觉模糊数的比较规则可知即认为优于.

2.2 新的得分函数

文献[11]中得分函数同时考虑隶属度、非隶属度和犹豫度，该得分函数更加客观地反映事物不确定性.本节将该思想推广到IVIFS环境中，重新定义得分函数.

定义9设为论域U中一个区间直觉模糊数，且，则该区间直觉模糊数的得分函数定义为

定义9中表达式可以改写成为

公式（12）中第一项为传统得分函数表达式，第二项为犹豫度的一个修正项.考虑到弃权人群的从众心理，可能倾向于赞成、反对和保持中立三种情况，将犹豫人群分为等权的三类.即犹豫度的权重为，最后用得分函数的一半来修正该权重值.定义9 中区间直觉模糊数得分函数充分考虑隶属度、非隶属度和犹豫度三个方面因素，更加符合人们对客观事物的判断.

性质1当区间直觉模糊数取得最大值=([1，1]，[0，0])时，S()=1；当区间直觉模糊数取得最小值=([0，0]，[1，1])时，S()=-1.

证明当=([1，1]，[0，0])时，有

推论1区间直觉模糊数得分函数式（11）为直觉模糊数得分函数式（4）的自然推广.

证明由定义9可知，当时，区间直觉模糊数退化为直觉模糊数.此时

上式即为定义3中直觉模糊数的得分函数，证毕.

例2（续例1）根据公式（11），可得

3 基于最大最小偏差的区间直觉模糊多属性决策方法

3.1 问题描述

文献[7]对区间直觉模糊多属性决策方法作如下形式化描述.

假设存在方案集Y={yi|1 ≤i≤n}，属性集为AT={atk|1 ≤k≤m}∈Rn×m， 属性权重向量为W∈Rm×1，wj∈[0，1]，，方案集中任一对象可以表达成：其中分别表示方案yi关于属性atk的隶属程度和非隶属程度.令，可得如下决策矩阵

3.2 模型分析

文献[12]认为在多属性决策问题中，如果各备选方案在某个属性下取值越接近，则该属性对方案的影响越小.由此可知，该属性的权重也应该越小.文献[15]指出：如果各备选方案中某个属性取值都相同，则大多数决策者认为该属性对方案排序不起作用.相反，如果某个属性值差异性相对较大，则该属性权重值也应该相对较大.利用这种思想得到的最优权重向量应该满足所有属性值最小差异最大化.文献[12]和文献[13]利用最大最小偏差思想，分别在方案属性值为实数型和区间数型情况下讨论多属性群决策问题.然而，上述文献并没有在IVIFS环境下对最大最小偏差思想进行讨论分析.IVIFS对不确定性的刻画比直觉模糊集更细腻.因此，有必要将这种思想推广到IVIFS环境中，由此进一步丰富多属性决策问题的理论研究.

利用最大最小偏差思想，构造目标函数为

其中：wi为第i个属性的权重值；δ为两两方案中同一个属性的得分函数值之差的绝对值；δwi表示不同方案中同一属性（wi）的距离.此处有

其中：Sij，Slj为不同方案下同一个属性的得分函数值.得分函数由定义9给出.

公式（14）的求解如下

通过求解（17）式可在属性权重未知情况下，得到一个相对合理的权重向量，减少主观性.

3.3 决策方法与伪代码

基于以上分析，本节详细说明所提决策方法.首先根据（11）式计算决策矩阵中每个属性的得分函数值，构造得分矩阵；然后，计算每个属性下两两方案间得分函数值之差的绝对值得到距离矩阵，结合3.2节所提权重模型，确定属性权重值，并利用算子IIFWA 计算每个方案的综合区间直觉模糊数，最后根据（11）式计算每个方案的最终得分函数值得到最优方案.具体伪代码如算法1所示.

算法1 面向权重未知的区间直觉模糊多属性决策方法输入:决策矩阵Y ∈Rn×m,属性集AT ∈R1×m,距离矩阵D_Value ∈R n(n-1)2×m.输出:得分函数排序结果.1:根据Eq.(11)计算决策矩阵Y ∈Rn×m中每个属性的得分函数值,构造得分矩阵D ∈Rn×m;2:for ati ∈AT do 3: l=1;4: for j= 1:(n-1) do 5: for k= (j+1):n do 6: 根据Eq.(15)计算在属性ati下,方案yj与yk之间得分函数值之差的7: 绝对值,赋值到距离矩阵元D_Valueil;8: l=l+1;9: end for 10: end for 11:end for 12:由最大最小偏差模型(3.2)计算每个属性的权重值,得到权重矩阵W ∈R1×m;13:由IIFWA算子集成综合区间直觉模糊数;14:根据Eq.(11)计算每个方案的最终得分函数值;15:返回最优方案.

4 算例分析

4.1 算例

例3[9]某企业为评估应急预案对突发事件的处理能力，对备选方案进行分析.分别从响应程度(at1)，内容合理性(at2)，预案保障程度(at3)，经费合理性(at4)以及预案可推广性(at5)等方面进行综合考虑.假定方案集为yi(i=1，2，3，4，5)，专家组根据自己的阅历背景、通过实地调研得到统计数据对每个预案进行评价，表1是方案集关于属性的区间直觉模糊评价信息矩阵.假设属性权重完全未知，试对方案集进行排序.

表1 决策矩阵Tab.1 Decision-making matrix

用所提决策方法对方案集进行排序，该模型的计算过程在Matlab2021b环境下实现.

步骤1根据（11）式计算每个决策矩阵中各属性得分函数值，构造得分矩阵

步骤2根据3.2 节中权重模型，确定每个属性的权重.遍历每个属性，计算不同方案在该属性下的差值（取绝对值）得到距离矩阵为

由最大最小偏差模型计算每个属性的权重值

容易得到属性at1（第一列）最小差值为0.050 8，于是有：0.050 8w1-σ≥0.

同理可得

可得权重最优解为

步骤3由区间直觉模糊加权平均算子IIFWA计算每个方案的综合区间直觉模糊数.以y1为例.

可得y1的综合区间直觉模糊数为

同理可得y2～y5的综合区间直觉模糊数为

步骤4根据（11）式计算每个方案的最终得分函数：S(y1)=0.185 7；S(y2)=0.209 4；S(y3)=0.269 9；S(y4)=0.567 9；S(y5)=0.081 7.

步骤5利用各方案最终得分函数值进行排序.

由以上分析可知

可得方案排序为：y4≻y3≻y2≻y1≻y5，即最优方案为y4.

4.2 结果分析

从表2排序结果可知，利用所提决策方法得到y4为最优方案，与文献[9]中最优方案结果保持一致.与文献[9]都是在属性权重完全未知的情况下，对数据进行分析，确定属性权重，因此都具备较强的客观性.除了确定权重的方法不同之外，最主要的不同之处在于提出一种新的得分函数计算方法，该方法充分考虑犹豫度的作用，更具合理性.

表2 算例3排序结果对比Tab.2 Comparision of sorting results of example 3

为进一步验证所提方法的有效性，用文献[6]中算例进行对比说明.文献[10]和文献[16]同样用该算例进行对比.表3是方案排序结果对比.

表3 文献[6]算例排序结果对比Tab.3 Comparision of sorting results for example from reference [6]

从总体上看，所提方法与以上方法均能得到方案4是最优方案.

文献[6]所提方法假设所有属性权重已知，存在一定主观性；文献[10]提出一种基于联系数的区间直觉模糊多属性决策方法，该方法考察初排序的稳定性，通过进一步讨论确定最优方案；文献[16]所提方法是利用引入心态函数进行讨论，心态指标的不同可能导致排序结果变化.综上，从权重确定的角度，不同于其他方法，所提方法中，权重完全由数据自身决定，具备较强客观性.

5 结论

在IVIFS 环境下，分析传统得分函数的局限性，重新定义得分函数，讨论其合理性和相关性质.结合最大最小偏差思想，给出一种新的区间直觉模糊多属性决策方法.通过算例验证该方法的有效性.相比于属性权重完全给定的多属性决策方法，所提方法属性权重完全由数据自身决定，这更具客观性和合理性，是对最大最小偏差思想的推广，同时也丰富了区间直觉模糊多属性决策方法的理论研究.