善待错误,让错误成为最优质的教学资源

陈振邦

[摘  要] 错误与学习相伴相生，它是一种特殊而又宝贵的教学资源. 如何抓住错误契机，变“错”为“资”？这是值得每个教育工作者去思考与探索的问题. 文章从捕捉错误时机，激发学习兴趣;灵活纠正错误，提高学习能力;科学处理错误，促进自主探究;鼓励挑战错误，培养钻研精神等方面具体谈谈如何善待学生的错误，让错误成为最富成效的教学资源.

[关键词] 错误;教学;探究

课堂是动态的. 学生在课堂中的注意力、兴趣、合作情况、发表的意见、出现的错误等，都是促进课堂有效生成的良好资源. 有些教师就怕学生出错，处处提防、提醒学生不要出错. 殊不知，错误能让我们看到学生认知的偏差与薄弱点，它是促进课堂动态生成、进行有效教学，最富成效的资源. 教学中，教师应善待学生的错误，充分挖掘并发挥错误的教学价值，让教学因错误的存在而变得更加精彩.

捕获错误时机，总结经验教训

数学错误具有一定的个性特征，但也存在一定的共性因素，要么是知识性的错误，要么是技能上的问题，要么是学习者能力上的不足等[1]. 教师应对容易出错的环节有所了解，尽可能抓住每次错误机会，巧妙利用，让错误为课堂教学所服务. 也可以在适当时机，为学生制造产生错误的平台，让学生从错误中吸取经验. 教师也可以针对学生已经产生的错误，适当地加以点拨，让学生认识到错误形成的原因，并总结经验，不断地提高对类似错误的免疫力，做到防错、知错、改错.

1. 发现错误，展示思维过程

教学中，难免会遇到学生对问题的理解错误或回答错误的现象. 一旦发现学生的错误，教师不用急于判断对或错，更无需急于求成，而应抓住错误形成的契机，通过引导、鼓励等手段，唤醒学生的认知，激发学生加强思考与分析，尽可能暴露思维过程，以实现自主纠错、深化理解的目标.

例1  如图1，已知在△ABC中，FG，DE，BC三条线段为平行的关系，且DB=DF=AF，证明：FG+DE=BC.

错解：如图2，于BC边上取点H，使得HC=DE，作DH∥AC，同时因为DE∥BC，所以∠A=∠BDH，∠B=∠AFG. 因为AF=BD，所以△AFG与△DBH为全等的关系，所以BH=FG，而BC=BH+HC，即FG+DE=BC.

分析  此证明过程看似没毛病，但辅助线的作法却经不住推敲. 若截取CH=DE，连结DH可证得CEDH是平行四边形，由此可得DH∥AC，这就为证明两个三角形全等而创造了有利条件;若作DH∥AC与BC边相交于点H，接着则要证明四边形CEDH是一个平行四边形，从而获得DE=HC，再证明两三角形为全等的关系，达到解题的目的. 但以上解题中，直接以截取后的点所连结形成的线段作平行线，显然是不合理的，此步骤缺乏了证明过程.

基于以上思考，学生重新整理了解题思路，具体为：如图3，延长ED到点I，使得ID=FG，连结IB，只要证得一个平行四边形，以及一对三角形全等，问题就解决了;也可过点B作AC边的平行线，同样证得一个平行四边形，以及一对三角形全等即可.

教学过程中，出现教师预设之外的错误，在所难免. 只要学生经过分析与思考，找出错误中存在的合理成分，问题往往能迎刃而解. 教师应有一双慧眼，要为学生提供思维展示的机会，放大思维的“闪光点”，让错误成为激活学生思维的良药，在充分肯定、鼓励与欣赏中，展示学生的思维，发挥错题的教学价值.

2. 制造错误，引发认知冲突

对于学生容易发生的错误，教师可适当地为他们搭建“犯错”的平台，为学生制造认知冲突，让学生在质疑中进行讨论，在讨论中，找到问题的症结所在.

例2  解方程：3x（x-1）=x-1.

此题虽然简单，但学生在解该方程时，还是常常会出现以下类型的错误.

错解：在方程的两边同时除以“x-1”这个式子，可得3x=1，从而解得x=.

分析  这是学生常见的解法，而且在检验时，将x=代进方程的两边进行验证，计算发现等号左右两边的结论是相等的，故认为这个结论是正确的. 但有学生提出：若将“x=1”这个结论代入到方程的两边，同样可以计算出等号两边的结论是一样的，那么x=1也应该是这个方程的解.

为什么会出现这样的情况呢？究其主要原因还在于我们在計算时，将方程的两边同时除以了“x-1”，当以此作为除数时，存在x-1=0的情况，因此少了一个解.

此错解经历，引发了不少学生的关注，也警醒了学生等式两端同时乘一个数或式子时，这里的数或式子不能为0. 那么，到底该如何处理类似于除式为“x-1”的情况呢？仅需提取公因式，即可将这个问题解决.

此题难度并不大，大部分学生都能自主完成，但稍有疏忽或基本功不够扎实，就容易出现漏解. 鉴于此，教师可在教学中，有意暴露错误，让学生自主发现并尝试纠正这个错误，从而强化学生对问题的理解，在认知中建立完整的结构，避免类似错误的再次发生.

灵活纠正错误，提高学习能力

心理学家贝恩布里奇认为：错误人皆有之，不利用错误进行教学的老师是不可原谅的. 学生的身心发展规律与认知水平，决定了学习过程中，有些错误的发生是难免的. 教师作为课堂的“掌舵者”，应充分挖掘学生错误中存在的合理性成分，通过因势利导、因材施教，组织学生在交流、争辩中灵活纠正错误，深化对知识的认识，完善认知结构，形成创新思维与反思能力.

1. 善用错误，实现创新

当学生发生错误时，教师应充分加以利用，用善于发现的眼光，寻找出错误中所蕴含的创新因子，通过适当、适度的点拨与引导，帮助学生突破思维障碍，顺利解决问题，实现创新. 同时，善用错误，还能让学生深切体会到思维在学习中的实际价值，享受纠错带来的成就感.

例3  计算-.

错解：原式=（3+x）-2（x-1）=-x+1.

分析  该错误的发生，主要是学生将计算分式的值，理解为解方程. 作为教师，可将错就错，来个顺水推舟，提出：解题过程中，将分式的计算，理解为解方程，显然是错了，但我们有没有办法利用“去分母”解题的简约性，将算式转化为等式，再从解方程的角度来解决本题呢？

这个提议有效地启发了学生的思维，学生自主进入讨论状态，并创新了新的计算方法：

设-=y，通过去分母，可得（3+x）-2（x-1）=（x-1）（3+x）y，化简后，可得-x+5=（x-1）（3+x）y，解得y=.

因势利导，不仅完美地解決了问题，还让学生在尝试中，实现了创新. 这种教学手段的应用，有效地培养了学生的创新意识，为核心素养的形成与发展奠定了基础.

2. 善用错误，加强反思

众所周知，及时反思对纠错有着决定性的影响. 一些典型的错误，教师纵然反复讲了许多遍，但学生还是频频出错. 面对这种现象，不少教师只会一味地抱怨：“同一个错误，订正了一遍又一遍，怎么还是错呢？”其实，平铺直叙的讲解，并不能让学生领悟错误发生的本质，也无法将书面的知识内化到学生的认知结构中. 对错误形成的核心点无法形成深刻的印象，必然会导致错误的反复发生.

建构主义理论提出：面对学生出现的错误，教师不要一味地从正面的角度去示范、训练，可引导学生从“自我否定”的角度进行反思，以提高纠错效果[2]. 如从典型错例出发，引导学生反思错误形成的主要原因，通过对认知结构的不断完善，形成周密、严谨的数学思维，获得批判性的思考.

例4  表1为小丽家连续8天，早晨7时的电表读数，求她家该月（30天）的用电量.

错解：（21+24+28+33+39+42+46+49）÷8×30=1057.5（千瓦时）.

分析  该错误形成的主要原因是思维定式，学生在解题时，没有与生活实际相结合，而是机械地按照求平均数的方法去思考、解题.

本题反思的关键点在于：①每天早晨7时，电表所显示的数据是当天所使用的电量吗？②每日所读的数据是前一天所耗费的电量值吗？初中学生已经具备了一定的生活经验，不难理解电表上的数据是不断往上累积的，每天的度数都基于前面的基础数据往上增加而来. 因此，一天的用电量需要计算与之前一天的差值. 也就是说，从8天的读数中，我们能获得7天的用电量. 为此，本题的结论为：

（49-21）÷7×30=120（千瓦时）

新课标一再强调“数学生活化”与“生活数学化”的理念，学生的生活经验在解题中，有着至关重要的作用. 基于这种背景下，教师应对学生的生活、探究氛围等多加关注，紧扣学生的易错点，引发学生的反思，形成敏锐的思维品质.

科学处理错误，促进自主探究

俗话说：“失败乃成功之母”. 引导学生直面自己的错误，科学、合理地应对自己出现的错误，自主探究错误的形成原因，不但能克服错误本身，还能在纠错中获得成长. 不断产生错误，不断纠正错误的过程，是促进一个学生不断挑战自我，突破自我的过程. 因此，教师应鼓励学生从自身出发，反思自己在学习中的不足之处，通过对错误的正视，进行自我锤炼，从而战胜学习上的困难，树立学习信心，形成坚毅的人格品质.

例5  判断：平行四边形是轴对称图形，对吗？

不少学生认为这是一个正确的结论. 面对学生的这个错误，笔者并没有着急讲解，而是鼓励学生自己画一个平行四边形，并剪下来，进行折叠探究，看看这个结论是否正确. 所谓的轴对称图形是指将一个图形沿着某一条直线对折，能将图形完全重合的图形.

学生在自主探究中发现，除了特殊的平行四边形（长方形、正方形、菱形）之外，其他的平行四边形不论怎么折叠，都无法将图形完全重合. 显然，该结论是错误的. 有位学生在探究过程中，发现将平行四边形沿着对角线剪开，翻过来可以将图形重合，但此过程违背了轴对称图形的定义，因此被否定了.

面对错误，鼓励学生自主探究的过程，就是让学生用科学的态度处理错误的过程. 学生通过实践操作与交流，不仅从根本上解决了这个问题，还形成了一种善于探索，勇于钻研的学习品质，这种品质会贯穿于学生的整个学习生涯，获益终生.

因此，当学生在解题过程中，出现错误时，教师不用焦虑，更不用急于纠正，而是给予学生充足的时间自主探索，让学生在亲自实践中获得新的体验、感悟，从而反思自身的错误原因，建立正确的认知结构. 学生在这种民主、和谐的氛围下学习，会卸下内心被教师斥责、被同学耻笑的思想负担，积极探索、活跃思维，在敢问、敢做、敢说中，形成良好的探索精神.

鼓励挑战错误，培养钻研精神

课堂上，教师常常从主观上避免错误的发生，但课堂又是动态变化的，不可避免地会出现各种意外，这就形成了一种矛盾. 有些教师自诩为权威，为了捍卫自己的地位，不允许学生挑战自己，这样的教师不能称得上一个合格的教师. 在新课改的背景下，优秀的教师不仅需要够硬的专业水平，还需要循循善诱的教师职业道德，要能淡定地面对课堂中的各种意外，不仅允许学生挑战自己，还鼓励学生发起挑战，以培养学生的钻研精神.

例6  已知，a-1+b+ab-2=0，则ab（a2+b2）的值是多少？

学生在自主做题的过程中，提出：此题不好做，因为条件不对. 面对学生提出的质疑，笔者并没有立即反驳，而是静心检查，发现自己在编题时，考虑不周全，没有想到按照本题的条件，存在a2+b2=（a+b）2-2ab=-3的情况，显然这种情况是不合理的，因此本题确实有问题.

作为教师，首先应有勇气面对自己的过失，应诚恳地表示歉意. 同时，将此题的改编任务交给学生，鼓励学生开动脑筋，重新编拟本题. 通过小组合作学习，学生很快就设计出几类新的方案. 此过程不仅激活了学生的思维，还有效地培养了学生的钻研精神，让学生从中获得学习的快乐.

鼓励学生敢于质疑权威，敢于对权威说“不”，这是一种德育教育的渗透，也是促使学生形成良好思维品质的基础[3].

总之，在“为了学生的一切，为了一切的学生”的教育背景下，面对各种类型的错误，教育工作者应从教学价值与教育意义的角度去审视、发现与思考，通过一定的手段，让这些错误资源最大化地发挥其教学功能，让学生在积极、合理、科学、巧妙的纠错中，发现学习是一件快乐的事情，从而树立学习信心，形成良好的数学核心素养.

参考文献：

[1]丁红梅. 利用错题资源培养反思意识[J].中小学教育，2011（05）：34-35.

[2]杨翠蓉，周成军. 布鲁纳的“认知发现说”与建构主义学习理论的比较研究[J]. 苏州教育学院学报，2004 （02）：27-31.

[3]何如涛. 把“错误”资源变成精彩课堂的“催化剂”[J]. 河北理科教学研究，2008（03）27+35.