立足一线段 建模求最值

侯田华 左效平

【摘要】数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会服务.要对数学模型解决实际问题有清晰的认识，数学建模是数学与现实联系的基本途径，学会用数学符号建立函数表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义.数学建模已在当前的数学教育教学中占有重要地位，有助于培养学生理论与实践相结合的能力、综合学习能力、综合运用能力.

【关键词】数学模型；数学建模；函数

数学模型就是以一个特定的对象为一个特定的目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构.数学模型是一种数学的思维方法，建立数学模型的目的是为了能更好、更高效、更有质量地解决问题.

数学建模能力是数学关键能力的重要组成部分，是学生必备的数学关键能力之一[1]，更是数学核心素养的重要内涵之一.数学建模思想是帮助学生将抽象问题、复杂问题，具象化、简单化的重要手段，学生依托这一思想可以深入地进行数学学习[2].培养学生的建模能力，是数学创新性学习的需要.

1特例构建二次函数模型

如图1，设点A是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上的一点，过点A作AB⊥x轴，交直线y=kx+b（k≠0）于点B，且点A在点B的下方，设A（m，am2+bm+c），则B（m，km+b），故AB=km+b－am2－bm－c=－am2+（k－b）m+b－c，当m=－b2a=k－b2a时，线段AB有最大值.

应用模型解题时，要印证已知条件，满足模型的基本要求，符合模型的基本架构，才能建模解题.

2模型的应用

2.1探求线段的最值和动点的坐标

例1如图2，对称轴为x=－1的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（－3，0），C为抛物线与y轴的交点．

（1）求抛物线的解析式；（2）设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，请直接写出线段QD长度的最大值和对应的点Q的坐标．

解析（1）易得抛物线的解析式为y=x2+2x－3．

（2）设直线AC的解析式为y=kx-3，把（-3，0）代入解析式，得-3k-3=0，解得k=-1，所以直线AC的解析式为y=-x-3，设Q的坐标为（n，-n-3），则D的坐标为（n，n2+2n－3），所以QD=yQ－yD=-n-3-（n2+2n－3）=－n2－3n，所以当n=－－32×（－1）=－32时，QD有最大值，且最大值为－（－32）2－3×（－32）=94，此时y=-x-3=－32，故点Q的坐标为（－32，－32）．

点评这是模型的迁移版，与模型完全一致，只要熟练掌握基本模型，解答自然顺利.

2.2探求带系数线段和的最值和动点的坐标

例2如图3，在平面直角坐标系中，抛物线y=－12x2+bx+c与x轴交于A，B（－4，0）两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C（0，2）．

（1）求抛物线的表达式；（2）如图3，连接BC，点P为直线BC上方抛物线上（不与B、C重合）的一动点，过点P作PF∥y轴交x轴于点F，交BC于点E，过点P作PD⊥BC，垂足为点D，求5PD+2PF的最大值及此时点P的坐标.

解析（1）易得抛物线的解析式为y=－12x2－32x+2．

（2）连接AC，因为y=－12x2－32x+2的对称轴为直线x=－32，B（－4，0），C（0，2）.

所以点A（1，0），AB2=［1－（－4）］2=25，BC2=22+42=20，AC2=22+12=5，所以△ABC是直角三角形，因为PD⊥BC，∠PED=∠BEF，PF∥y轴，所以∠DPE=∠FBE，所以cos∠DPE=cos∠FBE，所以PDPE=BCBA=255=25，所以5PD=2PE，所以5PD+2PF=2（PE+PF），设直线BC的解析式为y=kx+b，所以0=－4k+b，

b=2，解得k=12，

b=2，所以直线BC的解析式为y=12x+2.

因为点P为直线BC上方抛物线y=－12x2－32x+2上，设P（m，－12m2－32m+2），则E（m，12m+2），F（m，0），所以PE=－12m2－32m+2－（12m+2）=－12m2－2m，PF=－12m2－32m+2，所以5PD+2PF=2（PE+PF）=2（－12m2－2m－12m2－32m+2）=－2（m+74）2+818，所以当m=－74时，5PD+2PF的最大值为818，此时－12m2－32m+2=－12×（－74）2－32×（－74）+2=9932，所以P（－74，9932）．

点评这是模型的纵深型应用，利用三角函数得到5PD=2PE，化5PD+2PF=2（PE+PF），为构建模型解决问题奠定基础．

2.3探求带系数线段差的最值和动点的坐标

例3如图4，点P是抛物线y=－34x2+94x+3第一象限上的一动点，抛物线交x轴的正半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点M，则PQ-35AM取最大值时，点P的横坐标为.

解析因为y=－34x2+94x+3，令y=0，得－34x2+94x+3=0，解得x1=－1，x2=4，所以A（4，0），B（0，3），AB=32+42=5，所以sin∠OAB=OBAB=35=MQAM，所以MQ=35AM，所以PQ-35AM=PQ-MQ=PM.设直线AB的解析式为y=kx+3，把（4，0）代入解析式，得4k+3=0，解得k=－34，所以直線AB的解析式为y=－34x+3，设P的坐标为（n，－34n2+94n+3），则M的坐标为（n，－34n+3），所以PM=yP－yM=－34n2+94n+3+34n－3=－34n2+3n，所以当n=－32×（－34）=2时，PM有最大值，即PQ-35AM有最大值时，故点P的横坐标为2．

点评解答时，巧妙运用三角函数的正弦函数化35AM为线段MQ，从而实现化陌生为熟悉，实现解题目标.这是数学化归思想的灵活运用，要熟练掌握.其次，要熟练驾驭模型线段的计算方法，做到灵活、准确、高效入模、析模、解模，从而提高解题效率，助你克服畏难情绪，增强解题信心，感受解题乐趣.

2.4探求四边形面积的最值和动点的坐标

例4如图5，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x交于点E，B（点B在点E的右侧）．

（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？求出最大面积.

分析根据抛物线的解析式，确定点B，点E，点C的坐标，确定直线AB的解析式为y=－x+5，设P（m，－m2+4m+5），则D（m，－m+5），根据S四边形ADCP=12PD·AC构造二次函数模型计算．

解（1）易得抛物线的解析式为y=－（x－2）2+9=－x2+4x+5．

（2）因为抛物线的解析式为y=－x2+4x+5，所以－x2+4x+5=0，解得x1=－1，x2=5，所以B（5，0），E（－1，0），设直线AB的解析式为y=kx+b，所以5k+b=0，

b=5，解得k=－1，

b=5，所以直线AB的解析式为y=－x+5.

设P（m，－m2+4m+5），则D（m，－m+5），因为PD平行于y轴交AB于点D，所以PD=－m2+4m+5－（－m+5）=－m2+5m；因为AC平行于x轴，交抛物线于点C，A（0，5），C（xC，5），所以A，C是对称点，xC+02=2，解得xC=4，所以AC=xC－xA=4，所以S四边形APCD=12PD·AC=12×4×（－m2+5m）=－2（m－52）2+252，所以当m=52时，四边形APCD面积最大，最大面积为252，当m=52时，－m2+4m+5=－（52）2+4×52+5=354，所以P（52，354）．

点评先构建模型，后借助模型中的动线段，运用分割法表示四边形的面积，构建起面积的二次函数模型，求最值即可.

2.5探求四边形周长的最值和动点的坐标

例5如图6，抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）经过A（－1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的函数解析式；（2）直线y=kx+3经过点A，点P为该直线上的一个动点，且位于x轴的上方．点Q为抛物线上的一个动点，当PQ⊥x轴时，作QM⊥PQ，交抛物线于点M（点M在点Q的右侧），以PQ，QM为邻边作矩形PQMN，求该矩形周长的最小值．

分析用待定系数法确定直线y=kx+3的解析式，设P（t，3t+3），则Q（t，－12t2+32t+2），根据函数对称性，确定PQ，QM的长度，计算2（PQ+QM），构造以t为自变量的二次函数，根据最值确定法判断计算即可．

解（1）该抛物线的解析式为y=－12x2+32x+2．

（2）因为直线y=kx+3经过点A，所以－k+3=0．解得k=3．所以直线的解析式为y=3x+3．设P（t，3t+3），则Q（t，－12t2+32t+2）．由y=－12x2+32x+2=－12（x－32）2+258，得抛物线的对称轴为直线x=32．如图6，根据题意，点Q和M关于对称轴对称，所以QM=2（32－t）=3－2t．

因为PQ=3t+3－（－12t2+32t+2）=12t2+32t+1．所以2（PQ+QM）=t2－t+8=（t－12）2+314，所以当t=12时，2（PQ+QM）的值最小．

所以该矩形周长的最小值为314．

点评通过构建模型，以四边形的周长为函数建立二次函数模型，从而化周长的最小值为二次函数的最小值，巧妙实现解题目标.

3教学思考

建模思想是数学核心素养内容之一，是培养学生用数学分析问题、解决问题能力的重要活动载体之一，为此在教学中要扎实落实如下几点.

3.1建模教学要落实教师意识先行原则

教师作为知识的传播者，首先自己对数学建模要高度重视，有积极向上的建模意识，全面缜密的建模思维，敢于建模的思考习惯，确实把建模教学作为教师个人业务提升、教学风格形成的重要体现，同时，也要把建模教学作为培养学生创新学习、创新能力培养的切入点和突破口，科学选择模型背景，大胆尝试探索，让建模教学扎根自己的课堂，植根学生的心田，相信师生假以时日历练，定能探索出一条建模教学的成功之路.

3.2建模教学要落实理论联系实际原则

数学建模的过程，是实践—理论—再实践的过程，是理论与实践的有机融合，共同引领学生积极主动思考数学、应用数学和探索数学的过程.教师不断强化数学建模的教学，不仅能让学生更好地掌握数学基础知识，学会数学的思想、方法、语言，也能让学生树立正确的数学观，增强应用数学的意识，全面认识数学与科学、技术、社会的关系，提高分析问题和解决问题的能力.

3.3建模教学要遵循循序渐进原则

数学建模教学不是一朝一夕就能实现和完成的，需要数学教师有强烈的耐心和稳定的心态，建模教学急不得，它必须建立在学生的数学知识基础之上，符合学生的认知规律和特点，是学生基础知识的再认识、再提升、再锤炼的产物，是数学知识、数学方法、数学思想共同孕育的数学智慧的结晶，就像一个刚出生的婴儿，需要严格按照成长阶段来生长，建模教学也是如此，这就需要教师要夯实学生的数学根基，织密学生的思维智网，启明学生的数学思想灯塔，开启学生的建模思维之门，在老师的“辅佐”下，渐入佳境，锤炼自我，提升能力和素养.

参考文献

[1]孙凯.初中生数学建模能力评价框架的构建[J].内蒙古师范大学学报，2023（01）：83-88.

[2]严苏娟.以数学建模思想培养学生数学核心素养的教学实践[J].考试周刊，2018（11）：71-72.

作者簡介侯田华（1966—），男，山东沂源人，中学一级教师;县优秀班主任，教学工作先进个人;主要研究解题方法的探究和学法指导.

左效平（1967—），男，山东沂源人，中学高级教师;全国数理化能力竞赛优秀辅导教师，市教师教育工作先进个人，县优秀班主任，县优秀德育工作者;主要研究解题方法的探究和学法指导;发表论文近100篇.