证明立体几何题的三种途径

纪婷　吴明忠

立体几何证明题通常较为复杂，侧重于考查同学们的运算、推理、抽象思维能力.数学家笛卡尔曾说： “没有正确的方法，即使是有眼睛的博学者也会像瞎子一样盲目摸索.”可见，只有掌握并学会灵活运用一些证明立体几何问题的方法，在解题时我们才能快速找到解题的思路，提高解题的效率.本文主要谈一谈证明立体几何题的三种途径.

一、利用综合法

运用综合法证明立体几何问题，需“由因导果”，即从已知条件入手，先分析题目中有哪些条件（包括隐含条件）是已知的，哪些是未知的；然后灵活运用已经学过的数学知识（定义、公理、定理、公式、法则等）一步步地进行推理，直到推出结论为止.运用综合法解题，需以所要证明的结论为目标，由“已知”推出“可知”，逐步靠近目标.运用综合法证明命题 “若A，则B” 的思路可简记作：A ? C ? D ? … ?B .

例1

证明：

解答本题主要采用了综合法，由 α ⊥ β 和面面垂直的性质定理可知，需在 α 内作垂直于直线 c （ α 与 β 的交线） 的直线 b ，且该直线定垂直于 β . 再由 a ⊥ β、b ⊥ β 和线面垂直的性质定理可得，a 与 b 重合或平行.用综合法证明立体几何题，需充分利用已知条件，深入挖掘几何图形的性质，灵活运用相关的定义、定理去推理、证明.

例2

证明：

解答本题，需采用综合法，根据已知的垂直关系，合理添加辅助线，灵活运用线面垂直的判定定理和面面垂直的性质定理进行推理、求证.运用综合法解题，需将已知条件和所要求证的目标关联起来，找出相关的推理依据，使得解题目标明确，条理清晰.

二、运用分析法

运用分析法证明立体几何问题，需“执果索因”，即从所要证明的结论入手，利用已学过的定义、定理、公式等去一步步追溯“结论”成立的条件，即在什么条件下结论成立；再把所得的条件作为结论，去寻找这个新结论成立的条件，像这样，追本溯源，一直追到 “已知”为止.需要注意的是，在推理的过程中，后一步都是前一步的充分条件.综合法是由“条件”向“结论” 靠拢，而分析法却是由“结论”追溯“条件”.

例3

证明：

要证 AB ⊥ DC ，由直线与平面垂直的性质知，需证 AB 垂直于过 DC 的某个平面.因此，需要找到两条相交的直线，使其都垂直于 AB ，且与 DC 共面.因为 AB 是△CAB 和△DAB 的公共边，所以将问题转化为在 AB 上是否存在一点 M ，使得 AB ⊥ MC ，AB ⊥ MD ，显然这可由已知条件 AC = BC ，AD = BD 得出.

用分析法证明命题 “若A，则B” 的思路是寻找使 B 成立的条件（该条件为充分条件），简记作： B ? D ? C… ? A . 若 D ? B ，则问题转化为去证 A ? D ，再去寻找 D 成立的条件，若 C ? D ，则问题转化为证 A ? C .像这样，由“结论”出发，逐步向“已知” 靠拢.

三、采用反证法

反证法是一种间接证明方法，是从问题的反面去思考证明结论的方法.在解题时，需先假设“结论”不成立，然后把“结论”的反面当作已知条件，进行推理，得出与题设或已知的公理、定义、定理相矛盾的结论，从而说明假设不成立，原“结论”成立.运用反证法导出矛盾是解题的关键，通常有以下几种类型：与已知相矛盾，与公理、定理相矛盾，与假设相矛盾，自相矛盾.

例4.已知直线 a 不垂直于平面 α .求证：过 a 有且只有一个平面与 α 垂直.

分析：这是一个唯一性命题，可分为两步进行证明：先证存在性，再证唯一性，即先证“过 a 存在一个平面与 α 垂直”，再证“只有一个平面与 α 垂直”.用直接法证明“只有一个平面与 α 垂直”较困难，正难则反，于是采用反证法进行证明.假设还有一个平面垂直于 α ，去寻找相矛盾的结论.

证明：

有些问题，像否定性命题、唯一性命题、含有 “至少”或“至多”的命题，我们从正面思考，很难找到解题的思路，就需用反证法去求证.用反证法证明命题 “若A，则B” 的思路为：?B ? ?A ，因而用反证法解题的实质是证明与原命题等价的逆否命题成立.

证明立体几何问题，往往需探尋已知条件和所要证明的结论之间的逻辑关系，可由条件去逐步证明结论，采用综合法、分析法求证；也可“执果索因”，从结论出发寻找解题的思路，运用反证法进行证明.有时，可综合运用两种以上的方法来解题，这样有利于提升解题的效率.