如何求解函数零点问题

王亮亮

函数的零点是指函数 y = f （x） 与 x 轴交点的横坐标，即 f （x） = 0 时 x 的取值.常见的函数零点问题有：（1）求函数零点的个数；（2）求零点的取值范围；（3）证明零点的存在性；（4）由零点求参数的取值范围.掌握不同类型零点问题的特点和求解的方法，有助于提升解答函数零点问题的效率.本文主要谈一谈下列两类函数零点问题及其解法.

一、求零点的个数

求函数零点的个数问题，通常要求根据已知的函数解析式，求函数在定义域内零点的个数.解答这类问题，往往要先令函数 f （x） = 0 ，若函数式可分解为几个因式的积，可通过解方程求得函数零点的值，进而确定函数零点的个数；若函数式不能进行因式分解，此时可利用导函数与函数单调性之间的关系，判断出函数的单调性，并画出函数的图象，借助函数图象和零点存在性定理来确定函数零点的个数.

例1

解：

解答本题，需根据函数零点的定义，将求函数零点的个数问题转化为函数 y = a 和函数 y = e x - 2x - 1 图象的交点的个数问题，通过研究导函数的性质，判断出函数的单调性，即可画出函数的大致图象；通过数形结合，确定 a 取不同值时两个函数图象的交点的个数，进而确定函数零点的个数

例2

证明：

一般地，判断连续函数在某个区间上是否有零点，要先用导函数的零点将定义域划分为几个单调区间；然后在每个单调区间上，利用函数的图象和函数零点的存在性定理进行判断：如果函数 y = f （x） 在区间 [a，b] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f （a）· f （b）< 0 ，那么函数 y = f （x） 在区间 （a，b） 内有零点，即存在 c ∈（a，b） ，使得 f （c）= 0 ，这个 c 也就是方程 f （x）= 0 的根

二、由零点求参数的取值范围

由已知的函数零点求参数的取值范围问题一般具有较强的综合性.如果函数式中的参数可分离出来，如 a = f （x） ，则可将问题转化为求 f （x） 的最值问题，利用导数法、基本不等式、函数的单调性求出函数的最值，即可确定 a 的取值范围.如果函数式中的参数不能分离出来，就需先讨论参数对函数式、图象的影响；然后对参数进行分类讨论，根据函数的零点确定满足题意的参数的取值范围.

例3

解：

因为函数 f （x） 是分段函数，所以需对两个区间段上的函数式分别进行讨论.我们根据函数零点的定义，先将问题转化为 f （x） 和 f （-x） 的交点的个数问题；然后判断出函数 f （x） 和 f （-x） 的单调性；再结合图象研究两个函数有 5 个交点的情形，列出对应的不等式，进而求出参数的取值范围.

例4

解：

我们先将问题转化为 f （x） 和 y = x - 2 只有1个交点时，求参数的取值范围问题；然后结合函数的图象进行分析.借助函数的图象来研究函数零点问题，可以快速确定零点的位置，有助于我们快速求得问题的答案.

函数零点问题側重于考查函数零点的定义、零点的存在性定理、导数的性质、基本函数的图象和性质的应用.可见，熟练掌握并灵活运用函数基础知识以及数形结合思想，是解答函数零点问题的关键.