有关一道课本习题的探究与拓展

刘婧

苏教版高中数学必修第一册第154页有这样一道题：设 a =0.32 ，b =20.3 ，c = log 2 2 ，试比较 a、b、c 的大小.

初学者一般会采用中间值法，分别比较 a、b 与 1 的大小，从而间接判断出 a、b 的大小關系.该问题较为典型，我们可将其推广到一般的情形，用 m 代替0.3，n 代替2，当 0 < m < n 时，比较mn和 nm 的大小.这类比较结构相同的指数式的大小问题较为常见，于是笔者对其进行了深入的探究：在一般情形下，我们该如何比较结构相同的指数式的大小呢？

由于中间值法具有局限性，所以对于一般的情形，我们需取自然对数（或常用对数），将指数式转化为对数式来进行比较大小，即比较nlnm与mlnn的大小. 由于这两个对数式中均含两个变量，所以比较起来较为困难，若把两个对数式同时除以mn，得到 ln m m与 ln n n，这样两个式子中就只含一个变量，且结构相同，只需要比较 ln m m与 ln n n的大小，即可将问题转化为判断函数 f （x）= ln x x的单调性问题.

f （x）= ln x x是由两个初等函数构成的，一般来说，有如下结论：

（1）函数的定义域：（0，+∞） .

（2）f （x） = ln x x在区间 （0，e） 上单调递增，在区间 （e，+∞） 上单调递减；当 x = e 时，取得最大值 1 e .

证明：

根据前面的叙述可知，比较 ab 与 b a 的大小，即比较 ln a a与 ln b b的大小. 因为 0<0.3<2< e ， 根据函数f （x） = ln x x的单调性可知得当 0 < x < e 时，f （x） 单调递增，0.32 < b .

可见，在比较指数式 ab 与 b a 、对数式 ln a a与 ln b b的大小关系时，构造函数 f （x） = ln x x，灵活运用该函数的单调性就能顺利比较出函数式的大小.下面举个例子.

下列四个命题：① ln 5 < 5ln 2 ；② ln π > π e ；③2 11 < 11；④3eln 2 > 4 2 ；其中真命题的个数是（）.

解：

本题侧重于考查 f （x） = ln x x的性质，熟练掌握并灵活运用该函数的性质是解题的关键.在对已知式进行变形的过程中，要将已知式逐步向 ab 与 b a 和 ln a a与 ln b b靠拢，才能将问题转化为函数 f （x） = ln x x的性质问题.

对课本中的典型习题进行探究和拓展，不仅能加深对数学知识的理解，把握数学知识的本质，还能掌握一类题目的通性通法，从而提高学习的效率.