对数均值不等式的结构特点及应用技巧

金毅

对数均值不等式 ab < a - b ln a - ln b < a + b 2 看似较为复杂，但在解答函数与不等式问题时却能发挥较大的作用.本文主要探讨一下对数均值不等式及其应用技巧.

一、对数均值不等式结构特点及证明

若 a > 0，b > 0，a ≠ b ，则 ab < a - b ln a - ln b < a + b 2 ，该式称为对数均值不等式，其中 ab 为 a、b 的几何平均数， a - b ln a - ln b 为 a、b 的对数平均数，a + b 2 为 a、b 的算术平均数.对数均值不等式的形式比较特殊，与基本不等式较为相似，均含有 ab 、a + b 2 ，但有所不同，对数均值不等式中含有对数式 ln a、ln b .其证明过程如下：

令 e m = a、e n = b ，则 m = ln a、n = ln b ，将对数均值不等式进行变形，可得到对数均值不等式的指数形式：e m + n 2 < e m - e n m - n < e m + e m 2 ，其中 m、n（m ≠ n） 为任意的实数.

二、对数均值不等式的应用技巧

1.比较两式的大小

运用对数均值不等式可比较两个函数式的大小，如比较 ab、 a - b ln a - ln b 、a + b 2 、a-b 、ln a - ln b 的大小. 在解题时，只需根据已知条件构造出对数均值不等式，并对对数均值不等式进行适当的变形，即可根据已知关系式以及对 a、b 的限制条件，比较出两个函数式的大小.

例1.

解：

由于a、c均为对数式，所以将ln 1.01变为ln 1.01 - ln 1，根据对数基均值不等式可得 1.01 - 1 ln 1.01 - ln 1 < 1.01 + 1 2 ，再比较 2 ln 1.01和 1.04 - 1的大小关系，即可解题.可见，运用对数均值不等式，关键在于对对数式进行合理的恒等变形，并将其与对数均值不等式关联起来.

2.证明数列不等式

在证明含有对数式的数列不等式时，我们也可以尝试用对数均值不等式进行求证.运用对数均值不等式 AB < A - B ln A - ln B < A + B 2 （A > 0，B > 0，A ≠ B） 证明数列不等式，需构造与对数均值不等式结构一致的式子，如 AB、 A - B ln A - ln B、A + B 2 ，这样就可以快速找到解题的突破口.

例2.

证明：

3.解答双变量函数不等式问题

根据对数均值不等式 AB < A - B ln A - ln B < A + B 2 （A > 0，B > 0，A ≠ B） 的结构特征可知，若将 A、B 看作两个变量 x1 、x2 ，则可以得到不等关系 x1x2 < x1 - x2 ln x1 - ln x2 < x1 + x2 2 .在解答双变量函数不等式问题时，我们可先通过恒等变形构造出 x1 - x2 ln x1 - ln x2 ，再运用对数均值不等式，就能快速证明结论.

例 3

证明：

待证不等式中含有双变量 x1 、x2 ，需考虑使用对数均值不等式来解答问题.在解答本题时，要先判断函数的单调性，据此建立关于零点 x1 、x2 的关系式；再经过恒等变形，找到“对数差 ln x1 - ln x2 ”和“变量差 x1 - x2 ”，便可运用对数均值不等式来进行求证.

例4

解：

虽然该函数式中含有指数式，不含有对数式，但是我们可以通过指对数互化，将问题转化为对数不等式问题，构造出对数均值不等式，即可根据对数均值不等式來解答问题.本题中，ex1 ，ex2为方程的两个根，所以在解题时还需用韦达定理对目标式进行恒等变换.

可见，运用对数均值不等式，可快速解答含有指数、对数式的函数和不等式问题.但在运用对数均值不等式解题时，要学会采用一些技巧，对代数式进行恒等变形，得到与对数均值不等式的形式一致的式子，以便运用数均值不等式来解题.