初探基于ADDIE模式的数学单元教学案例

【摘 要】 高中数学单元教学对培养学生的数学核心素养有着重要的意义，是教师基于学科素养，创造性地分析、重组、整合教材，在整体教学观的指导下组织教学，优化教学内容.本文以“圆锥曲线的定义”单元教学为例，初探基于ADDIE模式的单元教学路径与步骤.

【关键词】 单元教学；核心素养；整体教学；ADDIE模式；活动设计

随着课改的深入，单元教学也越来越成为主流模式.它是针对传统课时教学知识碎片化、过度分解、教学整体性不强的现象提出的一种教学模式，它与传统的课时教学并不是“非此即彼”的关系，而是相辅相成的.单元教学的实质是从知识的整体和结构入手，围绕大问题和大概念设计展开教学［1］，最终也是落实在课时教学中.常见的单元有知识单元、主题单元和活动单元.

数学单元教学设计倡导以教材为依据 ，基于核心素养培养为目标，系统地将教学内容置于单元整体内容中去把握，更多关注学科内容本质、学科素养和思想方法，关注数学内在知识的整体性和联系性、教学课时安排的整体性和合理性、学生认知把握的整体性和学生思维发展的延续性以及课时之间的连贯性和关联性［2］.

1  基于ADDIE理论数学单元教学的策略

ADDIE是分析，设计，开发，实施，评价的英文首拼组成的一个词，钟启泉认为单元教学设计一般遵循以上五大元素展开.分析，即确定问题是什么，以及怎样解决，从而得到教学目标和任务；设计，即设计一个教学策略以达到教学目标；开发，即开发生成课程所需要的材料，可以是单元教学设计下的单科时教学设计；实施，即教学活动，在这个环节达成目标；评价，即检测学习效果，可以自评互评的方式反思完善教学设计［3］.

2 基于ADDIE理论的单元教学设计基本步骤

本文以2019人教版A版和2019湘教版为参考，选取“圆锥曲线与方程”这一单元内容进行教學设计，基于课标，结合学情，重新整合教材，以赏析双曲线的定义之美为主题开展一节探究课，以此体悟圆锥曲线形之美、韵之美和逻辑之美，探究数与形完美结合，体会数学之美.

2.1 分析

2.1.1 整体分析

核心内容：确定核心概念、核心素养、学科主线.

追溯笛卡尔创建解析几何的历程，可见它的创建是基于数学家对数学方法的追求.解析几何的研究对象是几何元素，产生的大量现实背景具有“形”的特征，直观性虽好，但难以计算；“数”虽不直观，但便于精确计算，计算的结果常具有几何意义，二者结合，堪称完美.因此笛卡尔提出一个研究路径：实际问题—数学问题—代数问题—方程求解，提出用代数方法解决解析几何问题.笛卡尔的理论建立在坐标观念上，几何代数与一般变量的概念相结合是坐标法的起源，因此本章核心概念就是坐标法，加强“用几何眼光观察，再用坐标法解决”的过程，并在“如何建立恰当坐标系，确定几何要素”上加强引导，体现“推理几何到解析几何”的过渡.教学主线是能够借鉴以往的经验，从现实情境中提出问题，用运动变化思想抽象出圆锥曲线的定义；建立坐标法研究本单元的二次曲线几何性质，可以从文化背景寻找圆锥曲线的由来，最后能将本单元所学应用于解决现实世界的实际问题.笛卡尔创立解析几何是他对普适性方法的追求，因此本章的教学重点要落在对坐标法的理解和应用上，掌握研究解析几何的一般方法与研究路径，感受笛卡尔创建解析几何的初衷.

2.1.2 标准分析

通过实际背景案例，让学生了解圆锥曲线的现实背景和应用，会借鉴直线与圆这个单元的学习经验，建立坐标系来进行研究椭圆、双曲线、抛物线的定义和几何性质，能用代数方法认识圆锥曲线的位置关系，最后能应用圆锥曲线的相关性质解决实际问题.感受圆锥曲线中的数形结合的思想方法，培养直观想象、抽象概括、数学建模、数学运算、逻辑推理的核心素养.

2.1.3 学情分析

学生具备研究几何元素基本经验：建立坐标系，用数形结合思想找几何元素变化中的不变性建立代数方程；了解椭圆、圆、双曲线、抛物线的基本定义与性质；但尚未建立这章内容的知识网络和基本框架，对于这几种圆锥曲线的定义之间的联系与区别没有进一步思考，使得所获得的知识呈现碎片化，既容易遗忘又易混淆，也不能灵活应用.

2.1.4 教材分析

本文针对人教A版进行教学分析，本章教学大约16课时.教材中增设一些特色栏目，一是探究与发现：截口曲线、渐近线、二次函数为啥是抛物线？二是信息技术应用：用几何画板探究点的轨迹;三是阅读与思考：圆锥曲线的光学性质及其应用、圆锥曲线的离心率与统一方程.

2.1.5 单元重难点分析

重点：椭圆、双曲线、抛物线的定义形成过程，以及标准方程推导；以上圆锥曲线的几何性质；研究直线与圆锥曲线位置关系，会用代数方法研究几何元素；圆锥曲线的实际应用.

难点：由几何特征抽象到定义的过程，用代数方法研究直线与圆锥曲线的位置关系，代数方程与图形特征的综合应用，用标准方程研究几何特征.

2.2 设计

本单元教学将阅读教材的这几个特色栏目重新组合，有机融合，设计了一节《再探双曲线之美》，从圆锥曲线产生的实际背景出发，进入圆锥曲线定义的探究之旅，从现实角度和数学自身发展的角度解释圆锥曲线定义形成与发展的必要性，这个情境真实而自然；通过几何直观展示双曲线的形成过程，再从代数形式中体现双曲线“变化中的不变性”的集合特征，形成几种常见的定义方式；最后通过截口曲线感受圆锥曲线的不同形式形成过程，从前人研究圆锥曲线的路径来解读圆锥曲线的定义，欣赏定义之美、曲线之美，感受数学之美.

单元教学目标：了解圆锥曲线的实际背景，经历从具体真实情境中抽象出各种圆锥曲线的过程，抽象出方程，理解代数方程的几何意义，理解几个定义之间的关系，理解数形结合的思想方法，理解圆锥曲线的本质特征；获得研究几何元素的一般方法与路径；了解解析几何发展历程，了解数学家的故事，培养数学学习兴趣，提升学科素养［4］.

2.3 开发

本文仅以单课时教学设计为例，初探开发重组教学内容的模式.在学习椭圆、双曲线、抛物线的定义和几何性质后，在本章小结的设计中，本设计重新梳理教材，结合课本新增的栏目探究与发现、阅读与思考，信息技术，以及课后习题中的几个姐妹题，有机融合，重现双曲线的定义，以欣赏双曲线的形之美，到数之美，到数形变换之美，提升到圆锥曲线统一之美.

2.3.1 案例

数学探究：再探双曲线之美

预设的学习流程如下：

歌曲和故事导入—图片展示—折纸实验—方程推演—方程变式—形成定义—探索定值—截口曲线.

教学环节设计：

（一）导入

1.开场：学生演唱歌曲《悲伤双曲线》.

2.结合数学家故事讲述圆锥曲线由来，渗透数学文化，激发兴趣.

（二）实验探究形之美

探究1 双曲线怎样形成？你能列举生活中的双曲线模型吗？

师生活动：图片展示并完成数学实验——双曲线折纸活动

实验过程：准备一张长方形纸片，在其中用色笔画出一个大圆，圆心为O，圆外任取一点A，使得点A和圆上的点重合，形成折痕，将折痕上色，重复以上过程，你将得到什么样的结论？

展示包络曲线的美，体验曲线形成的过程；通过视频欣赏三种曲线的美与变换.

设计意图 感受形之美，感受从第一个层面了解双曲线的形成过程，获得“形”的直观概念.几何直观上感受三种曲线的联系与区别.

问题1 你可以用数学语言表达上述过程吗？并证明动点轨迹是双曲线.

问题2 你能折出其他的曲线吗？并证明.

设计意图 积累从具体到抽象的数学活动经验，培养学生抽象能力，养成举一反三的思维习惯，并用数学语言进行描述，把握概念的本质特征.

（三）运算探究数之美

探究2 双曲线数之美——美在变换与统一

探究5 双曲线还有其他的定义方式吗？

师生活动：（x－c）2+y2=±2a+（x+c）2+y2这等式具备怎样的几何意义呢？

师生活动1：引导学生思考PF1=（x+c）2+y2=r，PF2=（x－c）2+y2=2a+r或者PF2=（x－c）2+y2=r－2a，可看作两个圆：（x－c）2+y2=r2与（x+c）2+y2=（2a－r）2相交交点的轨迹.

思考3 还有其他的变形方式吗？如何定义双曲线？

设计意图 形成研究圆锥曲线的一般方法与套路，从形的特征去抽象代数结构，从代数运算的角度挖掘形的特征，进一步深化曲线与方程之间的关系，理解圆锥曲线的本质.落实坐标法在研究解析几何中的功能.

（四）拓展延伸

视频观看圆锥曲线的截口曲线以及单德林双球实验了解圆锥曲线由来，思考其他定义形式.

设计意图 了解圆锥曲线的背景，体会数学运算的奥秘和圆锥曲线的统一美、和谐美，数学的变换与统一的美以及数学神秘的美、和谐的美.

2.4 实施

2.4.1 教学策略

教师遵循数学问题来自真实情境，回到真实情境中去，因此，单元教学的总体思路是还原知识的生成过程，重现真实情境，比如《椭圆的标准方程》的引入部分可以这样设计：以截口曲线、以行星轨道的形状、古人测量时间的工具——日晷、“杰尼西亚的耳朵”这些背景，也可以数学家的小故事或者单德林双球实验为背景讲述圆锥曲线的发展历史引入定义；还可以是课后探究题数学小实验，折出不同的圆锥曲线为教学的起点衔接引入定义； 回到真实的数学情境解决问题.

教师引导，学生活动为主，问题探究式和启发学习的方式相结合.

2.4.2 学生活动

数学故事：以学生活动为主，在课前的阅读中，收集相关的圆锥曲线实际背景、数学家故事、圆锥曲线发展历史，课堂上分享.

数学实验：动手操作曲线的形成过程，直观感受.

动笔演算：推导标准方程，研究几何性质，确定直线与圆锥曲线位置关系.

查阅文献：形成小论文，思考中前行.

2.5 评价

2.5.1 教学效果测评

学生课后的综合测试，课堂之中的教师即时评价，尤其是每个教学环节之后的学生展示部分，要让学生充分展示学习成果以及学习困惑，小组之间的互评，自评，分享论文或者研究成果；多种评价方式相结合，极大提高学生的学习效率与学习积极性.

2.5.2 评价方式改进

在课后测评环节中可以适当放手学生进行改编题目，围绕教学目标进行编制命题或者改编试题.课后用几何画板软件将探究继续.

3 数学单元教学的几点思考

单元教学不是简单的课时教学的拼接，而是结合学情有条理、有逻辑地重组教材，创造性地使用教材，使学科素养循序渐进地渗透在多个课时或者单课时中，达到的学习效果大于课时教学效果之和.

关注素养立意而不是纯知识素养.数学素养固然离不开数学知识与基本技能，但素养立意更加关注学生获得学习该模块知识的一般方法与套路，单元教学应该在整体教学观的指导下把握教学设计，落实数学核心素养怎样在各个课时中的逐步有效生成.

教学设计要更多在于学生学的设计.教学设计的重心要更加关注学习的主体——学生的需求，帮助学生解除思维困惑点，帮助他们寻找数学现实与数学学科的关系，帮助他们找到解决数学问题的一般方法.

布鲁纳认为知识经验经过学习者自身信息系统加工，才能逐步形成自己的知识结构.因此学生不是被动的知识接受者，而是主动的信息加工者.基于ADDIE模型的单元教学设计能够促进教师思考教材，分析学情，落实教学，平衡教与学之间的比重.促进思考如何帮助学生找到学习知识的一般方法，获得知识的途径；促进教师思考如何帮助学生自主搭建知识网络，形成系统性；促进教师引导学生思考知识之间的内在联系，思考数学的本质，提升学生数学核心素养.

参考文献

［1］ 李昌官.基于核心素养的数学单元教学［J］.中国数学教育，2018（05）：3-6.

［2］ 吕世虎，杨婷，吴振英.数学单元教学设计的内涵、特征以及基本操作步骤［J］. 当代教育与文化，2016（07）：41-46.

［3］ 鞠文轩.基于ADDIE模型的数学单元教学设计的实践与思考［D］.南昌：江西师范大学，2020.

［4］ 中華人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育出版，2018.

作者简介 郑燕捷（1984—），女，福建福鼎人，硕士，中学数学教师；主要研究中学数学教育教学.