巧用构造法，妙解代数题

张若琪　高明

构造法是解答数学问题的一种重要方法.运用构造法解题，需建立题目条件和结论之间的联系，展开联想，构造出合适的数学模型，如数列模型、几何模型、函数模型、方程模型等，从新的角度，巧妙地求得问题的答案.那么如何巧妙地构造合适的数学模型呢？下面结合实例进行探讨.

一、构造数列模型

若代数问题与自然数有关，或代数式具有数列特征，则可根据题意，构造与之相对应的等差数列、等比数列模型.然后利用等差数列和等比数列的定义、通项公式、前 n 项和公式、性质等进行求解.

例 1.

解：

本题是一个三元函数的最值问题，采用常规方法求解，过程较为繁琐，且难度较大.可抓住题目中的条件 2a + b ，设 2a + b = t ，根据等差中项的性质构造出等差数列，并用 b 来表示 a 、c ，便将问题转化成含有二次函数的最值问题，利用二次函数的性质即可解题.若题目的条件或结论中出现形如 a + b =c 或 ab =c，（a，b，c>0）的式子，就可以根据等差、等比数列中项的性质，构造等差或等比数列模型，这样可以简化运算，更加轻松地解答问题.

二、构造几何模型

许多代数式中蕴含着丰富的几何意义.在解答代数问题时，要仔细观察已知条件或结论的结构特征，挖掘其几何意义，将“数”化为“形”，如将 ax + by =c 看作一条直线；将 y =ax2看作一条抛物线；将 x2+y2=1看作一个圆；等等，将题目中的数量关系用几何图形呈现出来，据此构造出满足题意的几何模型，通过讨论图形之间的位置关系，利用几何图形的性质求得问题的答案.

例2.计算：sin2100°- sin 50° sin 70°=_____.

解：

目标式中涉及了非特殊角的正弦值，很难快速求得函数式的值，于是将这几个非特殊角置于三角形中，构造出三角形，将问题转化为解三角形问题，利用正弦定理和余弦定理来解题.在解答与角度有关的代数问题时，要学会将角度与三角形、单位圆关联，构造出合适的几何模型.这样不仅能简化运算，还能拓宽解题的思路，优化解题的方案.

三、构造函数模型

有些代数问题中涉及了变量，此时可根据题意，建立关于变量的关系式，并据此构造函数模型，然后利用函数的奇偶性、单调性、导数的性质等解题.

例3.（2020山东卷理科，第21题）已知函数 f（x）= aex -1- lnx + lna .

（1）當 a =e 时，求曲线 y =f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若 f（x）≥1，求 a 的取值范围.

解：

对于第二个问题，常规的解法是将定义域划分为几个子区间，并在每个子区间上分别讨论 f（x）≥1时 a 的取值，解题的过程非常复杂.于是转换解题的思路，将不等式进行适当的整理、变形，根据其结构特征，构造出函数模型，通过研究其导函数，判断出函数的单调性，求得函数的最值，这样就可以避免复杂的分类讨论.函数与不等式之间的关系紧密，在一定的情况下，可以相互转化，这是解题的一种契机.同学们在构造数学模型时，要抓住这个关键点.

四、构造方程模型

方程思想是一种重要的数学思想.有些代数问题中含有未知的量，此时要善于从题目中挖掘出有用的信息，建立含有未知量的等量关系式，并将其看作关于未知量的方程或方程组，通过解方程（组），求得问题的答案.

例4.（2022年高考数学试题甲卷，第23题节选）：已知a，b，c均为正数，且 a2+ b2+4c2=3，证明：a + b+2c ≤3.

证法1：

证法2：

证法1是先令目标式 a + b +2c =t，据此构造出一个关于 a 、b 、c 的方程；然后将两个方程分别看作直线与圆的方程，通过讨论直线与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式建立新不等式，从而求得 t 的范围.证法2是先通过恒等变换，得到 a + b 、ab 的表达式，根据韦达定理构造出一元二次方程式；再利用根的判别式建立新的不等式.在解答多元代数问题时，要合理进行恒等变换，巧妙地构造方程，灵活地运用曲线的方程和性质、韦达定理、判别式法等进行求解.

可见，要构造出合适的数学模型，关键是要展开联想，对代数式进行合理的变形、代换，从中找出蛛丝马迹，使其与函数、几何图形、方程、数列相关联，只有打破常规，才能另辟蹊径，化难为简.