浅析整体思想教学在高中数学解题中的应用

华乾锋

摘 要：随着教育的发展，所谓整体思想是指探究解题过程中，从全局出发，把握问题的整体形式与结构特征，而后进行的综合分析以及处理的方法.对数学问题进行探究与解答时，把某些表面看来独立不相干，但是其实存在紧密联系的量进行整体的考量。进而培养数学思维的灵活性。此法不但能脱离传统固定模式的制约，让问题从复杂化转变为简单化、陌生化转变为熟悉化，甚至还能解决一些常规方法都无法解决的数学问题，尤其在高中数学的各方面都有着极其广泛与实际性的应用。

关键词：整体思想教学；高中数学；解题；应用

引言

伴随着国内教育改革进程的不断深化，现阶段我国的高中数学教学水平也得到了显著提高。在新课改的大背景下，传统的高中数学解题方式已经不能够再适应新时期的教学需求。高中数学涉及很多思想，其中整体思想有着广泛的应用，用于解题能有效降低计算复杂度，提高解题效率，有助于学生更好地树立解题的自信。教学中应做好相关习题类型的汇总以及展示，使学生在以后学习中遇到类似问题能够迅速破题。

1整体思想在数学解题中的意义

对于高中数学解题而言，不仅是一种高效的解题思路，而且还是一种灵活的、立足于整体的宏观数学思维。将整体思想运用到了数学解题当中，既能够将原本复杂、交叉性强的数学问题变得直观、立体，而且还可以利用视角放大的方式来对问题本身的结构以及相关条件进行层次化处理，将解题过程变得更加简洁。整体思想的运用，还能够让学生在枯燥、无趣的数学解题过程当中有效提高学生的数学学习兴趣，让学生具备举一反三、即学即用能力的同时，将已经掌握的数学知识点进行系统化地归纳与汇总。由此可见，整体思想在高中数学解题过程当中具有极为重要而且现实的意义。

2整体思想教学在高中数学解题中的应用

2.1用于解答数列习题

例：已知等差数列{an}中a1+a3+a9=20，则4a5－a7=（  ）。

A．20 B．30 C．40 D．50

分析该习题考查等差数列知识应用的灵活性，难度不大．目的在于通过运用整体思想进行解答，给学生带来解题思路上的指引。解∵a1+a3+a9=20，则a1+a1+2d+a1+8d=20，即3a1+10d=20。4a5－a7=4（a1+4d）－（a1+6d）=3a1+10d=20，正確选项为A。应用点评遇到数列类型的习题，应积极回顾数列的相关性质，采用整体思想进行求解，可避免在解题中走弯路，提高解题效率。

2.2用于解答圆锥曲线习题

高中圆锥曲线习题解题思路较为简单，但实际动笔作答时若不注重整体思想的应用，计算非常繁琐，很容易无功而返。教学中应引导学生多进行观察与思考，把握相关方程的规律，将相关方程看成一个整体进行处理，以避免过多的计算。

例：已知抛物线y2=2px上有三点A（2，2），B，C，其中直线AB，AC是圆（x－2）2+y2=1的两条切线，则直线BC的方程为（  ）。

A．x+2y+1=0B.3x+6y+4=0C.2x+6y+3=0D。x+3y+2=0分析将点A（2，2）代入y2=2px中易得y2=2x。①因为圆的方程为（x－2）2+y2=1，则r=1，设圆心为O，画出抛物线和圆的图象，如图1所示。

因为AO=2，所以∠BAO=30°，则直线AB与x轴的夹角为60°，则直线AB的斜率为根号3，直线AC的斜率为负根号3，则直线AB的方程为y负根号2=3（x－2），②直线AC的方程为y负根号2=－3（x－2）。③如采用常规方法，将直线和抛物线联立求出点B，C的坐标，难度较大，而采用整体法可大大简化解题过程。具体做法为：②×③可得（y－2）2=3（x－2）2，将①代入替换x得到（y－2）2=3（y2－42）2=34（y+2）2（y－2）2，即34（y+2）2=1，展开得到3（y2+4y+4）=4，将①代入替换掉y2，得到3x+6y+4=0。故选B。

2.3在应用题中的应用

学困生有一个共同特点，看到题干较长的题目就畏缩不前，觉得自己肯定做不出来。而应用题一般都有比较长的文字描述，为了鼓励学生大胆向前，同时启发学生的数学思维，在解一些应用题时可利用整体思想化繁为简，直击问题的本质，起到出奇制胜的教学效果。例：李明、陈红和吴刚三个人是同班同学，李明和陈红分别从自家出发朝对方家步行，他们两家的距离为30km，李明的速度是2km/h，陈红的速度是1km/h.吴刚则以5km/h的骑行速度往返于李明和陈红之间，若三人同时出发，至两人相遇，吴刚骑行的路程是多少千米？本题待求的量是吴刚骑行的路程，首先要知道吴刚与其他两人中的一人相遇骑行的路程，再将各段路程加在一起就是待求距离.此过程次数繁多，计算复杂，难免会出现纰漏.从整体思想的角度去思考，只要从“路程=速度×时间”的公式着手即可.吴刚的骑行速度是5km/h，他所骑行的时间就是李明与陈红相向而行至相遇所花费的时间.列式为：30÷（2+1）=10h，5×10=50km.从这个角度来思考，问题变得异常清晰，解题不再有什么障碍，因数据比较小且容易计算，更加不会因计算失误而导致错误的发生.应用题主要是为了训练与考查学生的思维能力，整体思想在本题的应用，即实现了对问题的再创造，又有效地激发了学生的数学思维.因此，整体思想的运用是解决应用题的法宝之一。

2.4利用整体思想化繁为简

在高中数学当中的‘整体代换’是其中重要的组成，是运用新元性质以及计算公式进行代换的方式来将计算复杂的公式变得简单化，以确保学生能够轻松地解决数学问题。高中数学当中有一些内容是关于非实际数值问题的，这些内容的主要成分是多项式，所得出的结果是某个公式，也有可能是某个字母。因为多项组成内容复杂且计算量大，因此容易出错。例如，教师在讲解（a1+a2+...an-1）*（a2+a3+...an-1+an）-（a2+a3+...+an-1）*（a1+a2+...an-1+an）这个多项式的时候，若依据题目逐一计算只会将计算过程变得复杂、冗长，若将这个多项式变化后并运用整体代换思维就能够轻松解决问题。设a2+a3+...an-1是未知数x，那么原数值为（a1+x）*（x+an）-x*（a1+x+an），再依据该算式的结构进行简化后的所得出的答案为a1an。由此可见，通过这种整体代换的方式不但可以有效地提高学生的数学解题速率，而且还可以明显减少学生的计算时间与难度，可谓是一举多得。

结语

利用整体思想简便了运算，对一些偏难的常规思维比较难解决的问题，可以得到巧妙地解决。我们日常的数学教学不能满足于单纯的知识传授，就题论题，搞题海战术，应该在学生已有知识与应用能力上架一座桥梁，使学生能够掌握最本质的东西———这就是数学思想方法。对数学思想方法的理解、掌握并能灵活运用，才是创造力培养的有效途径。

参考文献

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[4] 李先源．整体思想在高中数学解题中的应用［J］．理科考试研究，2016，23（03）：26．