初中数学最值问题浅析

桑静

【摘要】最值问题是中考数学中的高频考点，是中学数学的重要内容之一，也是难点之一.这类问题与几何、函数等内容一起考查，类型多样，覆盖面广，具有很强的综合性.本文对最值问题的求解进行分类讨论，探究和总结一些基本和常见的方法，以便学生更好的掌握.

【关键词】初中数学；最值问题；解题

1截距型最值问题

例3已知：x-2y+7≥0

4x-3y-12≤0

x+2y-3≥0，Z=4x-3y，求Z的最大的值和最小值.

解作出可行域（如图4），

作出直线4x-3y=0，将直线平移，通过观察可知，

当直线y=43x+b与直线4x-3y-12=0重合时，截距b=-4为最小，所以Zmax=-3b=12.

当直线y=43x+b经过直线x-2y+7=0与直线x+2y-3=0交点时，截距b=316为最大，所以Zmin=-3b=-312.

点评本题主要考查的是Z=4x-3y的最大值和最小值，相当于求y=43x-Z3的纵截距 Zmax=-3b=12，b=-Z3的最值，当b最大时，Z最小；b最小时，Z最大.

2两点距离型最值问题

例4已知x+y-1≤0

x-y+1≥0

y≥-1，Z=（x-2）2+（y-2）2，求Z的最大值和最小值.

解作出可行域（如图5），

找到定点（2，2），由图易得出可行域内到定点距离最大的点为（-2，-1），所以

Zmax=2--22+2--12=5，

Z的最小值为定点到可行域边界x+y-1=0的距离，

即d=|2+2-1|2=32=62.

点评此问题实际是在求可行域内的点到定点之间距离的最大值和最小值.

3正方形最值问题

例6正方形ABCD的边长为1，点O是BC边上的一个动点（与B、C不重合），以O为顶点在BC所在直线上方作∠MON=90°，当OM不过点A时，设OM交边AB于G，且OG=1.在ON上存在点P，过P作PK垂直直线BC，垂足为K，使得S△PKO=4S△OBG连接GP，求四边形PKBG的最大面积.

解连接GP，因为∠GOB +∠POK = 90°，∠GOB +∠BGO= 90°，

所以∠BGO=∠POK.

又因为∠B=∠PKO = 90°，所以△GBO∽△OKP.

由于S△PKO=4S△OBG，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可知OP=2OG=2，

故S△POG=12OG×OP=1.

设OB=a，BG=b，则a2+ b2=OG2=1，

由完全平方公式得（a-b）2=a2-2ab+b2≥0，

则ab≤12（a2+ b2）.

S△OBG=12ab≤14（a2+b2）=14，

当a=b=22时，S△OBG有最大值，最大值为14.

故四边形PKBG的最大面积为1+14+1=94.

点评本题主要考查相似三角形的判定和性质，三角形的面积，二次函数的性质，方程思想，完全平方公式及不等式在最值问题中的运用等知识点.

4几何最值问题

例7如图9，抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），点C（0，3），且OB=OC.

（1）求抛物线的解析式及其对称轴；

（2）点D、E是直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值.

解（1）因为C（0，3），所以OC=3，OB=OC=3，所以B（3，0），

将A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y=ax2+bx+c中，

得a=-1，

b=2，

c=3，

故抛物线的解析式为y=-x2+ 2x+ 3，

其对称轴为直线x=-b2a= 1.

（2）如图10，作点C关于对称轴x=1的对称点C′（2，3），

连接CC′，C′D，將点A向上平移1个单位长度得到点A′（-1，1），

连接AA′，A′D，A′C′，四边形AA′DE为平行四边形，

所以A′D=AE.

因为AC=OC2+OA2=10，DE=1，

所以C四边形ACDE=AC+DE+CD+AE=10+1+CD+AE，

要使C四边形ACDE最小，只需CD+AE最小即可.

当A′、D、C′三点共线时，A′D+DC′有最小值13，

故四边形ACDE的周长的最小值为10+13+1.

点评 本题综合考查二次函数和“将军饮马”模型的综合运用，属于“两定两动型”，作点C关于对称轴x=1的对称点 C′，将点A向上平移一个单位长度得到点A′，这样 C四边形ACDE=AC+DE+CD+AE=AC+DE+C′D+A′D，由AC，DE的长为定值，只需C′D+A′D最小即可，根据当A′、D 、C′三点共线时，C′D+A′D有最小值，得出四边形ACDE的周长的最小值.