“数学建模活动：测量学校内、外建筑物的高度”（第3课时）教学设计

卢龙

摘  要：在学生经历了数学建模活动选题、开题、做题等环节的基础上，进行以研究成果汇报为主题的结题展示交流活动. 在信息技术的支持下，通过小组测量及计算成果的展示，结合形式多样、主体多元的综合评价及应用函数模型解决实际问题，感知数学建模的完整过程，形成和发展数学核心素养.

关键词：数学建模；测量高度；展示交流

一、教学内容解析

实际问题的函数建模是培养学生高层次思维、应用数学的意识及分析和解决问题的能力的重要载体. 本节课的内容来源于《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）中的案例15“测量学校内、外建筑物的高度”. 对于运用所学知识解决实际高度测量的问题，学生从初中阶段开始就有所接触. 通过测量操场上旗杆的高度，学生了解了相似与全等知识在实际生活中的应用. 在高中阶段学习三角函数和立体几何知识后，再一次进行实际建筑物高度的测量，让学生体验数学建模活动的完整过程.

学校内的建筑物一般是底部可达的，学生可以通过构造直角三角形、计算楼层数和层高，以及数砖块层数等简单的方式来获取建筑物的近似高度. 学校外部的建筑物一般是底部不可达的，测量时需要制订完整的测量方案并选择合适的模型进行计算，才能够得到建筑物的近似高度.

根据《标准》中对数学建模活动与数学探究活动的教学提示，将“测量学校内、外建筑物的高度”课题研究分为3个课时进行. 第1课时，教师在课堂上组织开题交流，让每个项目小组陈述初步测量方案，教师和其他学生可以提出疑问，在讨论的基础上，项目小组最终形成各自的测量方案. 学生需要撰写开题报告，开题报告应该包括选题的意义、文献综述、解决问题的思路、研究计划、预期结果等. 第2课时，带领学生实地测量，以小组为单位，先测量校内一个建筑物的高度，再测量校外一个建筑物的高度，做好数据记录和过程性资料的留存. 第3课时，呈现研究结果，教师组织学生进行结题汇报. 本节课呈现的是第3课时的教学内容.

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：让学生学会从实际问题中抽象出数学模型，解决测量建筑物高度的问题，体验数学建模的完整过程，体会数学在实际生活中的应用.

二、教学目标设置

本节课的教学目标设置如下.

（1）经历数学建模活动的基本过程，体会数学建模思想.

（2）能对现实问题进行数学抽象，制订合理的测量方案，准确收集数据，正确分析数据，建立适当的函数模型，利用信息技术工具求解模型、检验模型、优化模型，最终达到解决实际问题的目的.

（3）感受数学来源于生活并能应用于生活，用数学知识和方法可以解决实际生活中的问题，体验数学在生活中的价值，激发学生学习数学、应用数学的兴趣. 以小组为单位，在讨论方案、实地测量、探索建模的过程中提升创新能力，体验成功的喜悦，同时培养团队协作的意识.

三、学生学情分析

测量高度是传统的数学应用问题，与实际生活密切相关，学生在初中阶段学习平面几何中的勾股定理及三角形全等与相似知识后就可以解决此类问题. 本次数学建模活动的对象为高二年级的学生，学生思维活跃，具有一定自主探究与合作學习的能力，能运用信息技术解决简单的数据运算问题. 从数学知识角度来看，学生学习了任意角的三角函数和三角函数的图象与性质，掌握了解三角形的不同方法；学习了空间几何体的相关性质与运算，会将实际生活中的问题抽象成数学问题，并用数学的语言来表达. 从物理知识角度来看，学生学习了自由落体运动，知道光沿直线传播等基本原理. 但是将理论知识转化成实践的能力还有所欠缺，解决实际问题的经验还不够丰富. 对于如何准确利用已有工具测量仰角、如何优化模型得到最优解等，还需要教师进行指导.

因此，确定本节课的教学难点是：选择合适的测量方案和测量工具测量相关数据.

四、教学策略分析

（一）依据数学建模活动的内容和要求组织教学材料

通过精心设计的开题问题，引导学生利用已有的知识储备思考实际问题，在解决实际问题的过程中构建函数模型开展数学建模活动，归纳出数学建模活动的一般方法，帮助学生形成完整的认知结构.

（二）依据学情组织教学活动

根据学生的思维特点和认知基础，对教学重点和教学难点内容（模型的建立、检验与优化等）采用核心任务探究的教学方式，在每个核心任务下设置子任务，通过独立思考、小组合作、展示交流、互评反思等师生活动来强化教学重点、突破教学难点. 学生在尝试和探索中掌握数学建模活动的数学思想和一般方法.

（三）突出数学思想方法的提炼和渗透

在引导学生主动建构数学知识的同时，保持积极有效的思维活动，培养学生的批判性思维和开放性视野，提升学生分析问题和解决问题的能力，以及交流合作和用数学语言表达的能力，发展学生的数学建模、数学抽象、数据分析、数学运算、逻辑推理和直观想象素养.

（四）运用“互联网 +”提高教学效率

学生借助数学软件和图形计算器求解模型，体会信息技术在科学研究过程中起到的重要作用.

五、教学过程设计

由于本次数学建模活动是指定课题，学生不需要经历选题的过程，因此共分为3个课时来完成，分别为开题、做题和结题. 前期已经完成前两部分，本节课为本次活动的第3课时，即结题汇报环节.

（一）开题

开题部分用1个课时来完成，课前提供了研究课题，设置了开题任务单，让学生通过复习回顾、调查研究、查阅资料等方式思考以下问题，并在课堂上进行解决.

（1）测量什么建筑物？

（2）如何测量？理论依据是什么？至少设计两套方案.

（3）需要的测量工具和计算工具有哪些？可能会遇到哪些实际困难？怎么解决？

【设计意图】培养学生通过查阅资料、请教师长、自主思考、小组探讨等途径获取信息和分析问题的能力.

（二）做题

做题部分用1个课时来完成，学生以小组为单位进行实地测量并记录数据，随后求解模型、修改模型，并进行误差分析等.

【设计意图】让每位学生亲身经历通过实验收集数据的过程，感受建立数学模型解决实际问题的过程. 通过对结果的分析，让学生认识到实际测量会产生误差，进而分析误差产生的原因，探究减小误差的方法.

（三）结题

1. 前情回顾

教师带领学生简要回顾本次数学建模活动前期经历的过程，包含开题和做题两个重要环节. 开题部分，学生通过小组讨论、查阅资料、询问教师等多种方式探讨了测量建筑物高度的方案. 每个小组根据实际情况撰写了开题报告，并设计了至少两种测量方案. 做题部分，对校内建筑物的测量由小组自行选择时间开展活动，对校外建筑物的测量由教师带领全班学生在同一时间开展.

【设计意图】通过对之前活动的回顾，让学生体会数学建模的过程，为本节课的活动作好铺垫. 同时展示学生课下测量的照片等，提高学生对本节课的探究兴趣.

校内建筑物底部可达，测量较为容易. 各小组上交方案后，由教师进行汇总分析，共展示7种不同的测量方案. 具体的测量方案与对应模型如下.（记建筑物AB的高为H.）

方案1：单点位测仰角法（如图1）；单点位测仰角与俯角法（如图2）.

单点位测仰角法中，[H=atanα+h]；单点位测仰角与俯角法中，[H=n+m=atanα+atanβ.]

方案2：用等比例法同时刻测量物高与影长（如图3）.

建筑物AB的高[H=bha].

方案3：台阶总数 × 每级台阶的高度.（假设每级台阶高度相同.）

方案4：楼层数 × 每层楼的高度.（假设每层楼高度相同.）

方案5：自由落体运动实验.

方案6：在楼顶直接测量高度.（建筑物楼顶可达且高度有限.）

方案7：利用Phyphox软件测量.

【设计意图】校内建筑物的测量较为容易，学生设计的方案简单易操作，由教师进行成果汇总展示，留下更多的时间和空间让学生汇报校外建筑物的测量方案和测量结果.

各小组经过讨论，对校外建筑物的测量都选择了西安市地标性建筑物——大雁塔（在学校操场上可以看到）. 测量地点选定了三处，分别为学校操场、大慈恩寺外和大慈恩寺内.

2. 展示交流

分析比对学生提交的数学建模成果，选择具有代表性的成果进行课堂展示交流.（但提前不告诉学生，以免影响学生课堂学习的积极性.）

（1）组1展示交流.

① 选择测量的建筑物及选择原因.

选择测量大雁塔. 因为大雁塔闻名中外，用所学的知识解决对它的高度的测量问题，对我们来说是一个很好的实践活动.

② 测量方案及模型选择.

经查阅资料及询问相关工作人员，得知大雁塔周围树木掩映，遮挡物较多，塔底不具备单点位测量的条件. 我们组在与《海岛算经》相关的高考试题的启发下，建立了双点位测量的模型，如图4所示.

在该模型中，需要知道两个测量点D，E到塔的顶点B的仰角及两个测量点间的距离[a，] 从而利用三角函数相关知识计算出塔[AB]的高度[H=BC+h=atanαtanβtanα-tanβ+h.]

在探讨过程中，考虑到仰角的正切值可以利用三角形边之间的比值来获得. 图4中的[l]为比人略高的标杆，借助标杆高度、目高和人杆距可得两次仰角的正切值，故此方案不用测量仰角的大小. 计算公式为[H=al-hd2-d1+h.]

注意到在图4中有一个[△BCD]与两次测量的仰角和距离均有关系，于是考虑在该三角形中用所学的正弦定理来计算[BD]的长，从而计算[BC.] 加上目高即可得塔高[H=asinαsinβsinα-β+h.]

我们采用的测量仰角的工具是自制测倾器，自制测倾器用到的工具有大量角器（度盘）、三脚架和铅锤.

③ 测量数据.

分别利用公式[H=al-hd2-d1+h]和[H=asinαsinβsinα-β+h]对大雁塔的高度进行3次测量，测量数据如表1和表2所示.（记杆高[l为2 m，] 目高[h][为1.62 m].）

基于上述测量数据，求得大雁塔高度的平均值为69.37 m.

④ 结果及误差分析.

经测量，校内建筑物的高度为[25.4 m，] 与实际高度相差[0.1 m;] 大雁塔的高度为[69.37 m，] 与实际高度[64.5 m]相差较大. 于是我们进行了误差分析和模型应用. 由于校内建筑物底部可达，便于测量，因此测量结果较为精确. 大雁塔的测量结果误差较大，考虑到是由大慈恩寺内地面不平整，测量数据较多，且测量的仰角精度不高等原因造成的. 随后，为了验证模型的可行性并且对模型进行应用，我们测量了位于学校操场西边校园外的一座底部不可达的建筑物，结果为[85.2 m，] 与实际高度[85.7 m]相差较小，说明模型具有可行性.

解决教师提出的问题：如何用一張A4纸测量大雁塔的高度？

根据小组建立的测量模型，在实际测量时需要测量仰角以计算其正切值，而A4纸的长度和宽度为定值，沿对角线折叠以后会产生两个正切值已知的锐角，可以作为天然的测倾器来使用，从而可以根据测量数据计算出大雁塔的高度. 测量模型如图5所示.

模型计算公式：[H+c-d+a-1.5tanβ-H+c-d-1.5tanα=b.] 计算结果为[65.1 m.]（记目高为1.5 m，两个测量点间的距离为[b].）

⑤ 活动感受.

测量底部不可达的建筑物高度的核心是测量长度和角度，灵活利用手边可以利用的工具开展测量活动.

正所谓“预则立，不预则废”. 在进行实践活动之前，应该充分准备，提前制订方案，并且要详细计划，预设可能遇到的实际问题并确定解决方案.

（2）组2展示交流.

① 模型展示.

实际测量时，考虑到双点位测量过程中两个测量点与塔心共线这一要求较难达到，于是对模型进行了改进，如图6所示.

图6中，[M，N]两点为测量点，测出这两点与塔心的夹角及两点间的距离，再测出某个测量点处到塔尖的仰角，即可计算出塔高. 考虑到大雁塔底部不可达，因此角[α，β]无法准确测量，于是优化模型如图7所示. 为了便于观察，图中略去了目高，利用指南针，将两个测量点分别放在塔的正南方和正西方. 这样，塔心与两个测量点之间的夹角为直角，只需要测量两次测量点处的仰角[α 和 β]、距离[a]和目高[h，] 即可用公式[H=atanαtanβtan2α+tan2β+h]计算出塔的高度. 但是这个模型依然面临一个实际测量的困难，即两个测量点之间的距离由于有遮挡物而无法测量，于是对模型又进行了优化. 如图8，将底面三角形的直角顶点作为一个测量点，选取合适的距离作为另一个测量点，分别测量两个测量点处的仰角[α 和 β]、两点间的距离[a]及目高[h，] 即可利用公式[H=atanαtanβtan2β-tan2α+h]计算出塔的高度.

我们组确定的另外一个方案是给待測量建筑物拍照，利用比例尺的原理通过已知参照物的高度来计算建筑物的高度. 在实际测量时发现该方法测量出来的大雁塔的高度为[31.6 m，] 还不到实际高度的一半. 改变拍摄位置、拍摄角度和拍摄参照物，依然有非常大的误差，该方法并不适合用于测量大雁塔. 经过小组分析，原因在于拍摄的位置与大雁塔距离较近，塔身有一定的高度，拍摄时会存在仰角，导致塔的上半部分比例失调. 考虑到此方法的理论可行性，小组认为，找到合适的拍摄位置，且参照物与塔身距离足够近时，误差相对较小. 此方案在本次测量活动中以失败告终.

② 数据运算.

我们组对数据的计算利用了图形计算器，它的优势是对于同一模型可以在编辑好公式后，输入不同的数据反复运算，提高了运算速度.

最终通过双点位共线测量的方法测得塔高为[64.81 m，] 通过双点位不共线测量的方法测得塔高为[64.80 m.] 两次测量结果非常接近，与大雁塔的实际高度相差较小，说明在减小误差方面的举措是成功的.

③ 活动感受.

我们组在探讨方案时还提到了利用放风筝的方法，通过计算风筝线与地面夹角的正切值来测算塔高，但是出于对文物的保护，以及风筝线自身的重力无法忽略不计等原因，没有通过. 另外，还想通过气压计测量气压差来测算高度，此方案受限于塔顶不可达和空气密度不均匀等实际因素，仍然没有通过. 拍照利用比例尺的方法提醒我们，现实和理想是有差距的，有些时候理论上很完美的事情，在实际执行时会遇到各种各样的困难.

（3）组3展示交流.

① 校内建筑物的测量.

校内建筑物采用Phyphox软件测量，该软件可以实现对一些生活中基本物理量的测量，可以根据电梯的运行速度及时间来计算运行高度. 通过此软件，测量出校园内崇是楼的高度为[18.88 m，] 与真实值[18.9 m]相差较小.

② 校外建筑物的测量.

校外建筑物采用平面镜两次观测塔顶的方式来测量，模型如图9所示.

其中[M，N]两点为平面镜放置位置，为了尽可能减小误差，在平面镜上找一个标记点为眼睛看到塔顶的位置，同时测量了三组数据取其平均值. 计算公式为[H=hcb-a，] 统计数据如表3所示.

经过计算，得到大雁塔的平均测量高度约为[64.9 m，] 与实际高度相差较小.

【设计意图】小组展示交流活动是本节课非常重要的一个环节，是本节课实现教学目标、突出教学重点、突破教学难点的有力活动支撑，也是对课下学生做题活动的肯定，同时为接下来的模型评价环节奠定了基础.

3. 评价提升

模型评价环节通过对所建立的数学模型进行评价，让学生更加深入地分析不同模型的优点、缺点及可行性等，从中体会数学与生活的联系，感受数学建模活动的成果及其应用价值.

（1）教师评价.

从模型的可行性、误差大小及小组成员探索问题的精神等方面进行评价.

组1的模型是各个小组都用到的模型，该组在测量和运算两个方面都有亮点，测量时利用了测量标杆等数据来计算正切值的思路，并且采用自制的测倾器对仰角进行了测量，具备很强的动手能力；计算时用到了正弦定理，体现了对所学知识的灵活运用及转化与化归的思想. 通过测量另外一座建筑物，对模型进行可行性验证. 但是测量结果误差较大，还需要继续探讨减小误差的方法.

组2建立的模型为立体几何模型，并且进行了多次模型优化，在计算时还考虑到了三垂线定理，知识运用很全面. 计算采用了图形计算器，借助工具，使得运算便捷. 测量结果误差较小，可以尝试推广.

组3的模型运算简单，数据易测，使用的工具也很便捷，测量校内建筑物时还有效利用了手机软件，方法独特. 此方法由于人为观测的原因，易产生较大误差，可以继续思考怎样做能够减小误差.

【设计意图】通过教师的引导让学生了解如何对模型进行评价，体现了教师“教”的主导地位，同时通过教师的评价，让学生感受评价的方式也是实现本节课的教学目标、突出教学重点、突破教学难点的重要载体.

（2）小组自评与互评.

开展课堂小组讨论活动，通过小组内部讨论，结合自己小组的模型选定一个模型在课堂上进行评价，每个小组选派一名代表发言.

组1学生代表评价组2的模型：首先，组2的模型与其他组的都不同，他们考虑到实际情况，建立了立体几何的模型，并且有多次对模型进行优化的过程. 计算数据时，也考虑到了几何关系，应用了三垂线定理. 值得我们学习.

组2学生代表评价组3的模型：组3是我们一起测量时所带的仪器最少的，测量时也非常便捷，他们化繁为简，值得我们学习. 但是他们的测量误差较大，应该考虑多换几个方向去测量.

组3学生代表评价本组的模型：我们组的模型测量数据为长度和高度，相比于其他模型，没有测角的过程，测量简单、运算简洁，可行性较高.

组4学生代表评价组2的模型：组2在建立模型过程中遇到困难时能够及时解决，不轻言放弃的精神值得我们学习.

组5学生代表评价组1的模型：组1解决了用[A4]纸测量大雁塔高度的问题，非常不可思议，利用手边最简单的工具，结合所学知识，解决实际测量问题，是生活数学化的最好体现.

组6学生代表评价组2的模型：组2在模型求解时运用了图形计算器，使得运算过程简单、准确，在测量时所用的工具也独树一帜.

【设计意图】通过自评与互评，让学生感受相互学习、交流的重要性和必要性，在发现他人优点的同时也关注自身建模活动过程中存在的问题，为后期改进、优化模型奠定基础. 同时，让更多学生参与到课堂活动中来.

4. 模型应用

各小组设计的测量方案，建立的测量模型可行性如何呢？课后尝试去测量西安“西部之光”电视塔的高度.

教师介绍从古至今测量高度用到的工具，包括现在常用的全站仪、激光测距仪、无人机等，让学生感受精密的测量仪器使用的也是最基本的数学原理，我国对于高度的探索从未停止. 从而引发学生思考：如何测量一座山的高度？进而引出对珠穆朗玛峰高程的测量，以及我国连同尼泊尔对珠穆朗玛峰新的高程的测定结果——[8 848.86 m，] 这是世界新的高度！

【设计意图】让学生感受数学来源于生活、应用于生活，从而解決生活中的问题，激发学生的求知欲和探索欲，提升学生的民族自豪感. 本环节是实现本节课育人目标的重要载体.

5. 小结提升

学生回忆本节课的主要内容，教师引导学生从多方面来思考和表达. 学生自述，教师补充总结，同时完善板书.

（1）对于底部可达与底部不可达的建筑物，从平面与空间，以及数学与物理等角度看，有多种不同的测高方式.

（2）数学建模活动的基本步骤，如图10所示.

[不符合实际][实际情境][提出问题][建立模型][实际结果][检验结果][求解模型][符合实际][图10]

6. 作业布置

基础作业：查阅资料，了解更多我国关于测量的历史与现状.

【设计意图】学生课下独立完成，通过查阅资料，对本次数学建模活动的研究意义和价值有更深入的认识.

拓展作业：（1）总结本次数学建模活动经验，以小组为单位尝试测量西安“西部之光”电视塔的高度.

（2）修改完成本次数学建模活动的结题报告.

【设计意图】模型的推广与应用是数学建模活动的一部分，应用模型解决实际问题，为下一次的数学建模活动作好准备，课下小组合作完成.

六、课后反思

（一）珍惜建模机会，发展数学建模素养

数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程. 各版本的教材中，以数学知识及其蕴含的数学思想和方法为主要学习任务的课程内容中渗透数学建模的学习，使学生在潜移默化中了解了数学建模的基本思想、基本过程与步骤，掌握了数学建模活动不同环节的“操作要领”，并使学生建立数学模型解决实际问题的技能得到了循序渐进的锻炼，从而为开展数学建模课题研究作好了必要的准备. 现在带领学生走出课堂，实地测量，让学生经历完整的“选题—开题—做题—结题”数学建模活动过程，在做中学、做中思，不断发现问题、分析问题、解决问题，通过开展识模、建模、解模、验模的活动提升思维能力，发展数学建模素养.

（二）师生不断学习，适应角色要求

数学建模素养是一种综合素养，数学建模活动是一种综合实践活动，涉及的知识、方法和能力其实不只在数学中. 做好数学建模活动的教学，也需要以教师的综合能力为保障. 教师应该树立终身学习意识，适应各种角色. 教师提高数学建模活动教学能力的最直接途径就是投身其中，积极开展数学建模活动的教学案例研究. 笔者认为，在整个数学建模活动过程中，教师应该是一个多样的导师角色，绝对不能用自己的知识储备代替学生发现问题和解决问题的过程. 教师应该把握好指导的时机和内容，让学生经历数学抽象的过程得到模型，从而真正提升学生解决问题的能力和思维品质.

（三）抓住实践拓展，落实学科育人

数学学科育人要发挥数学的内在力量. 数学教育要引导学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界，促进思维能力，提升实践能力，发展创新意识，动手解决实际问题，建立相应的数学模型并求解，在实践活动中将书本知识与实践能力相结合.

这次跨学科（数学、物理、地理等）实践活动，提醒学生要有团队合作素养和意识. 为了落实数学学科的育人目标，教师还要从现实生活中的例子（珠穆朗玛峰高度的测量）出发，让学生感受数学在生活中的广泛应用，激发学生学习数学的热情. 另外，笔者还通过“测量文化”的搜集与交流展示，让学生获得了民族自豪感，增强了学生的文化自信.

（四）抓住评价机会，促进学生发展

设置数学建模活动旨在加强数学与学生现实生活的联系，培养学生数学地观察周围世界，逐步学会从数学的角度发现和提出问题，用数学的方法分析和解决现实问题，从而改变单纯而机械的解题操练，形成多样化的学习方式.

通过学生的展示，结合学生和教师的评价，学生在交流的过程中既展现了个性，又学会了交流及明辨优劣. 借助评价，教师和学生的获得感大幅度提升，这有利于本节课教学目标的顺利实现. 在本次数学建模活动中，学生表现出了非常高的热情，整个活动中学生的综合能力得到了明显的提升. 关注数学核心素养发展的连续性和阶段性特点，数学建模活动的开展应该常态化、系列化，将主动探索、积极验证的动手操作过程变成真实的活动过程，鼓励学生深度学习.

（五）待完善的选题环节

本次数学建模活动为指定课题，学生经历了选择测量什么样的建筑物的过程，但并未经历完整的选择研究什么样的问题的过程，教师在教学过程中渗透了从实际生活中发现问题、提出问题的必要性，后期开展数学建模活动时可以尝试让学生自己发现问题，给学生足够的探索空间，经历通过讨论确定选题的过程，这更有利于提高学生进行实践活动的积极性.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］章建跃，张艳娇，金克勤. 数学建模活动的课程理解、教材设计与教学实施［J］. 中学数学教学参考（上旬），2020（5）：13-19.

［3］章建跃，张艳娇，金克勤. 数学建模活动的课程理解、教材设计与教学实施（续）［J］. 中学数学教学参考（上旬），2020（6）：13-16，31.

［4］焦宇，陈晓曙. 中学数学建模在实践中的运用举隅：仅用一张A4纸和计算器测量西安大雁塔的高度［J］. 中学数学教学参考（上旬），2018（11）：32-34.