明晰主线，破解教学难点

薛红霞

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》将课程结构划分为四条主线. 在基本理念中指出，要突出主线；在教材编写建议中指出，要认真思考内容主线的逻辑结构，关注同一主线内容的逻辑关系，关注不同主线内容之间的逻辑关系；在教学建议中指出，要抓住函数等内容主线. 明晰主线确实是破解教学难点的基础. 下面以“几何与代数”主线中向量的应用为例予以说明.

人教A版《普通高中教科书·数学》（以下统称“教材”）必修第二册中的“6.4.3 正弦定理、余弦定理”作为平面向量的应用，研究的视角是用向量法研究三角形的性质. 按照向量法的“三步曲”：第一步，给出研究对象的向量表达形式，如三角形回路，a + b + c = 0；第二步，进行向量运算，根据目标，要求三角形的边角关系，应该选择数量积运算；第三步，获得结论. 这个思路是自然的.

对于第二步，具体的操作方法有哪些呢？方法1：对等式a + b + c = 0的两边平方. 方法2：将等式a + b + c = 0移项后对等式a + b = -c的两边平方. 方法3：在等式a + b + c = 0的两边同乘向量c. 继而启发学生通过位置关系想到方法4：在等式a + b + c = 0的两边同乘与向量c垂直的向量d. 还可以进一步探索，从位置关系分析，方法1、方法2和方法3都可以看作等式两边同乘一个具有平行关系的向量，方法4是等式两边同乘一个具有垂直关系的向量. 那么，自然地，可以提出问题：等式两边同乘一个非特殊位置关系的向量会怎样？即教材必修第二册复习参考题6的第19题. 这是从研究视角的进一步拓展.

如果从研究对象自身（三角形）进行分析，方法1、方法2和方法3是三角形中的元素自乘，方法4是乘一个相关元素，即与其一边垂直的向量，也可以特殊化为三角形一边上的高，或者高的单位向量. 进一步拓展，可以思考三角形中的相关元素，提出问题：三角形的角平分线、中线的向量表达形式是怎样的？如果参与运算又会得到哪些性质？三角形的重心、垂心、内心、外心的向量表达式又是怎样的？如果是三角形内部任意一点又会得到什么性质？在平面内的任意一点呢？……

这里有两条线索：一条是从研究视角拓展，即向量的运算；另一条是从研究对象拓展，不断增加元素. 两条线索交错前行，就形成了开放式的探究活动，即教材必修第二册第63页的“数学探究  用向量法研究三角形的性质”.

再往后延续，到空间向量的应用，即教材选择性必修第一册的“1.4 空间向量的应用”. 这一节与教材必修第二册的“6.4.3 正弦定理、余弦定理”一样，仍然是按照“三步曲”进行. 首要任务是给出研究对象的向量表示，即“1.4.1.1 空间中点、直线和平面的向量表示”，给出空间中的点、直线和平面这些基本元素的向量表达式，而且求这三个元素的向量表达式的思路与解析几何中求曲线方程的思路是一致的. 之后在解决直线和平面的位置关系、空间中距离和夹角的问题时都按照“三步曲”，先找到各自的“代言人”（即向量表达式），然后求解即可.

進一步，在解析几何中，研究直线的倾斜角与斜率和点到直线的距离等，与此思路完全一致.

这就是“主线”的威力. 一线贯通，思路自然.