“两角差的余弦公式”教学设计

张紫茵

摘  要：在单元背景下，“两角差的余弦公式”一课沿用诱导公式的研究思路，利用单位圆的几何性质，探究两角差的余弦公式.

关键词：两角差的余弦；单位圆；单位圆的旋转对称性

一、教学内容解析

1. 教学内容

本节课的主要内容是两角差的余弦公式的推导及运用.

2. 内容解析

本节课选自人教A版《普通高中教科书·数学》必修第一册（以下统称“教材”）第五章“三角函数”的“5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，用时1课时.

从内容来看，“5.5 三角恒等变换”分为三部分：两角和与差的正弦、余弦和正切公式；二倍角的正弦、余弦和正切公式；简单的三角恒等变换. 这一内容展开的顺序如下. 首先，在推导公式的过程中，先利用圆的旋转对称性推导两角差的余弦公式，然后导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式，进而导出二倍角的正弦、余弦和正切公式；其次，在公式变换应用的过程中，通过解答例题，促使学生学会选择公式，体会换元、逆向思维等数学方法，进一步理解变换思想，提高学生的推理能力和数学运算素养. 这样，以单位圆的几何直观为纽带，将三角恒等变换与整个三角函数内容融为一体.

“两角差的余弦公式”是“三角恒等变换”这一单元学习的基础和出发点. 观察前面学习的诱导公式，可以发现它们都是特殊角与任意角[α]的和（或差）的三角函数与这个任意角[α]的三角函数的恒等关系. 由此推理，利用圆的相关性质也一定能推出任意角[α]与[β]之间的三角恒等变换关系. 从特殊到一般，建立诱导公式与两角差的余弦公式的联系.

对于两角差的余弦公式，教材利用单位圆的旋转对称性（任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原来的圆重合）进行推导. 首先，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A，以单位圆的圆心为顶点、[x]轴的非负半轴为始边画出角[α，β]，[α-β]；其次，根据三角函数的定义写出角[α，β]，[α-β]的始边和终边与单位圆的交点[P1，A1，P]的坐标；再次，利用圆的旋转对称性，得到等量關系[AP=][A1P1]；最后，根据两点间的距离公式得到两角差的余弦公式. 三角恒等变换中的差角公式充分利用了圆的旋转对称性，这也是本章利用单位圆的性质研究三角函数性质的通法.

本节课中蕴含着丰富的数学思想方法，突出体现了数形结合、转化与化归、特殊与一般的思想，以及利用单位圆的性质研究三角函数性质的方法.

基于以上分析，确定本节课的教学重点是利用圆的旋转对称性推导两角差的余弦公式.

二、教学目标设置

本节课的教学目标设置如下.

（1）回顾诱导公式，观察诱导公式的结构特征，将特殊角换为任意角，提出一般性问题，引出研究两角差的余弦公式的必要性. 经历推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差的余弦公式的意义，提高发现问题、提出问题的能力.

（2）借助信息技术手段，利用单位圆的旋转对称性探究公式，感受数形结合、转化与化归、特殊与一般的数学思想，提升思维的有序性，发展逻辑推理、数学运算和直观想象等素养，培育科学精神.

（3）通过公式应用，初步熟记公式，掌握公式的结构形式和功能，体会正向、逆向使用公式等数学思想方法，进一步理解变换思想，培养程序化思考问题的品质，提高推理能力，发展数学运算素养.

（4）通过单元作业，强化用单位圆研究三角函数问题的意识和习惯，体会数形结合思想，学会用数形结合思想思考和解决问题.

三、学生学情分析

学生在知识结构上已经学习了三角函数的概念、诱导公式、三角函数的性质，知道单位圆是研究三角函数的重要工具，这为学生研究两角差的余弦公式提供了理论基础和探究方向.

学生在能力水平上已经具备一定的抽象概括能力、逻辑推理能力及转化和分析问题的能力，但是如何使学生将已有的知识成功迁移到新知识的学习中，如何利用圆的旋转对称性得到两角差的余弦公式，从而提高学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，实现学习方式的转变，这是本节课需要突破的.

基于以上分析，确定本节课的教学难点为发现两角差的三角函数与圆的旋转对称性之间的联系.

突破难点的关键：问题串引导与应用信息技术教学.

四、教学策略分析

1. 教法分析

（1）启发式方法、探究式方法和基于问题串的教学方法. 本节课以提升学生的逻辑推理、数学运算和直观想象素养为目标.

（2）启发学生从数学角度发现和提出问题. 提出问题的前提往往是要“数学地”发现问题，就是要用数学的眼光观察. 本节课以“观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角与任意角[α]的和（或差）的三角函数与这个任意角[α]的三角函数的恒等关系. 如果把特殊角换为任意角[β]，那么任意角[α]与[β]的和（或差）的三角函数与角[α]和[β]的三角函数会有什么关系呢？”为引导语，引出本节课的主题，激发学生解决问题的兴趣，体现问题解决的自然规律.

（3）启发学生主动思考探究. 从观察诱导公式入手，给出了一条观察情境、提出问题、分析问题和解决问题的线索，让学生充分感受公式的初步探索过程，让学生自主探索两角差的余弦公式. 整体设计体现了“问题引导学习”的理念，把学生的思维活动逐步引向深入，帮助学生在获得“四基”的过程中，逐步提高“四能”，发展数学实践能力和创新意识，培育科学精神，促进学生学会学习.

2. 学法分析

（1）学生采取小组合作探究的学习模式.

（2）在课堂教学中鼓励学生独立思考、发现问题，通过小组合作、交流分享突破难点，提升学生的合作探究意识，提高学生分析问题和解决问题的能力.

（3）在课堂教学中始终以学生为核心，教师组织，适时引导，有效提升学生的课堂参与度，使学生经历完整的知识生成过程.

3. 教学手段

本节课主要应用程序资源，包括PPT、微课视频、GeoGebra软件等.

在课前和课堂上，学生通过观看教师推送的“两点间的距离公式”的微课视频自主学习两点间的距离公式. 微课能够将教学中抽象的知识点形象化，让学生更好地理解知识点，激发学生的学习兴趣. 学生可以反复观看微课，有效提高学习效率.

用GeoGebra软件探究两角差的余弦公式，感受圆的对称性与三角函数之间存在的内在联系，在激发学生的求知欲和学习兴趣的同时，提高探究效率，增强学生的动手实践能力，积累数学活动经验，帮助学生直观感受知识的生成过程.

五、教学过程设计

本节课设计了五个教学环节，逐步达成教学目标，完成教学任务，如图1所示.

教师引言：前期我们学习了诱导公式，利用它们对三角函数式进行恒等变形，可以达到化简、求值或证明的目的. 这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换. 接下来，我们继续深入学习三角恒等变换.

1. 知识回顾，引入新知

复习回顾： [sinπ+α=-sinα]； [cosπ2+α=-sinα]；

[sinπ2-α=cosα]；[cosπ-α=-cosα].

师生活动：复习回顾诱导公式，教师提问，学生回答.

教师提出：观察这组诱导公式，我们发现它们都是特殊角与任意角[α]的和（或差）的三角函数与角[α]的三角函数的恒等关系. 现在，我们把公式中的特殊角换为任意角[β]，我们发现它们的共同形式就是两角和与差的三角函数. 在诱导公式的基础上，任意角[α]与[β]的和（或差）的三角函数与角[α 和 β]的三角函数会有什么关系？和角、差角的三角函数之间存在着紧密的内在联系，因此不必孤立地一一推导这些公式，只要推导出一个公式作为基础，再利用这种联系性，用逻辑推理的方法就可以得到其他公式. 今天，我们选择两角差的余弦公式作为基础开始研究.

【设计意图】本环节以单元教学为理念，着眼于学生思维的最近發展区，唤醒学生已学的与所要研究内容相关的认知，将前面学习的诱导公式与两角和与差的三角函数建立联系，再提出选择两角差的余弦公式作为基础推导其他公式，引入课题. 学生能够明确学习目的，带着目标开展学习活动.

2. 深入分析，探究公式

活动：如果已知任意角[α，β]的正弦和余弦，探究是否能由此推出角[α-β]的余弦.

教师引言：根据诱导公式的研究经验，我们尝试提出问题. 如果已知任意角[α，β]的正弦和余弦，能由此推出角[α-β]的余弦吗？要用到哪些研究方法呢？下面回顾我们以往的研究经验.

问题1：以诱导公式[cosπ2-α=sinα]为例，你能简要说明证明过程吗？

师生活动：教师提问，让一名学生上讲台陈述证明过程，教师用PPT展示关键证明步骤.

预设答案：如图2，作点[P1]关于直线[y=x]的对称点[P2]. 以[OP2]为终边的角是与角[π2-α]终边相同的角. 根据单位圆的对称性，点[P1x1，y1与]点[P2x2，y2]的坐标之间有等量关系[x1=y2]，[y1=x2]. 根据三角函数的定义，有[cosπ2-α=sinα.]

问题2：回顾诱导公式的探究思路，我们利用了哪些研究方法？

预设答案：三角函数的定义；单位圆；单位圆的特殊对称性.

师生活动：教师指出利用单位圆上的点关于原点、坐标轴、直线[y=x]等的对称性，探究得到了诱导公式.

追问：大家还记得诱导公式的研究思路吗？

师生活动：学生回答. 教师板书总结诱导公式的研究思路（单位圆的特殊对称性—角与角之间的关系—坐标之间的关系—等量代换—三角函数的关系）.

【设计意图】引导学生回顾诱导公式的研究思路，强化用单位圆研究三角函数问题的意识和习惯，为接下来探究角[α-β]的余弦指明思考方向.

探究：[cosα-β]与角[α，β]的正弦和余弦之间的关系.

教师引导：我们借助单位圆定义三角函数，那么角[α，β]的正弦、余弦及[cosα-β]如何表示呢？

师生活动：教师引导学生根据三角函数的定义确定在单位圆中需要作出角[α]、角[β]和角[α-β]. 学生利用直尺、圆规和量角器，通过动手操作，用不同的方法作出角[α-β]. 小组合作探究，教师巡视，深入小组活动，倾听小组交流，用实物投影将学生的探究结果投影在大屏幕上，让小组代表陈述本组的探究结果.

【设计意图】通过画图、辨图，让学生发现问题. 学生上台展示不同象限的角[α，β]及相应角[α-β]的不同作法. 有助于不断积累数学活动经验，培养学生的直观想象和逻辑推理等素养.

师生活动：教师用GeoGebra软件在单位圆中作出更一般的角[α-β]，体现角[α-β]的任意性，与学生共同探究公式. 教师指出先研究角[α]和角[β]的终边不重合，即[α≠2kπ+β]，[k∈Z]的情况. 设单位圆与[x]轴的正半轴相交于点[A1，0]，以[x]轴的非负半轴为始边作角[α]、角[β]和角[α-β]，它们的终边分别与单位圆交于点[P1、点A1和点P]. 教师引导学生根据诱导公式的研究思路探究：第一步，利用三角函数的定义，写出各点的坐标；第二步，利用圆的旋转对称性，得到等量关系[AP=A1P1]. 教师用GeoGebra软件动态演示，引导学生观察，从而发现在旋转的过程中对应的弦和弧的长度都没有发生变化.

教师总结：这体现了圆的一个重要的几何性质，即任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原来的圆重合，这一性质叫做圆的旋转对称性.

【设计意图】引导学生沿用诱导公式的研究思路，确定利用等量关系[AP=A1P1]推导[cosα-β]的展开式.

师生活动：教师用GeoGebra软件演示，改变角[α]和角[β]的终边的位置，研究其他情形下等量关系[AP=A1P1]是否成立. 学生通过观察发现在变化的过程中弦[AP]和弦[A1P1]始终是相等的. 教师引导学生理解其根本原因是圆的旋转对称性.

【设计意图】利用GeoGebra软件进行动态演示，让学生直观感受根据圆的旋转对称性，无论角[α]和角[β]终边的位置如何，总有[AP=A1P1]成立，使学生感悟变化过程中的不变性，理解探究过程的一般性. 借助信息技术，可以让学生直观感受圆的对称性与三角函数的内在联系，有助于学生利用圆的旋转对称性观察得到等量关系，突破难点.

师生活动：利用等量关系[AP=A1P1]，推导[cosα-β]的展开式. 知道对应点的坐标，解决[AP]和[A1P1]的距离要用到两点间的距离公式. 课堂上，师生共同观看微课视频“两点间的距离公式”.

【设计意图】微课能够将教学中抽象的知识点形象化，让学生更好地理解知识，激发学生的学习兴趣. 学生可以反复观看微课，有效提高学习效率.

问题3：利用等量关系[AP=A1P1]，结合两点间的距离公式，能否推导出[cosα-β]的展开式？

师生活动：学生独立思考，在笔记本上自行推导. 教师巡视，投影一名学生的推导过程，由学生陈述探究过程和结论.

问题4：当角[α]和角[β]的终边重合时，即[α=2kπ+β，][k∈Z]，两角差的余弦的表达式是否仍然成立？

师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，然后在笔记本上作答. 教师巡视，让一名学生回答问题.

【设计意图】完善探究细节，培养学生敢于质疑、严谨求实的科学精神，发展学生的逻辑推理素养.

师生活动：师生共同总结，得到两角差的余弦公式. 对于任意角[α，β]有[cosα-β=cosαcosβ+sinαsinβ]，

这个式子称为差角的余弦公式，简记作[Cα-β.]

教师对公式[Cα-β]进行说明：公式中的角[α，β]都是任意角；公式左边的角是[α-β]，右边的角是[α]和[β]；公式左边的符号是“[-]”，右边的符号是“[+]”；公式的结构特征.

【设计意图】公式的推导是发展学生逻辑推理素养的载体. 逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证.

3. 学以致用，解决问题

教师引言：下面，让我们学以致用，解决一道数学问题.

例1  利用公式[Cα-β]证明：

（1）[cosπ2-α=sinα]；

（2）[cosπ-α=-cosα].

师生活动：学生独立思考，在笔记本上作答，教师将学生的答案投影到大屏幕上，学生陈述证明过程.

师生共同小结：前面，我们利用单位圆的特殊对称性证明了诱导公式. 现在我们学习了更一般化的公式——两角差的余弦公式，也能通过证明得到诱导公式.

活动：探究利用两角差的余弦公式还能得到哪些公式或者非特殊角（除30°，45°，60°等特殊角以外的角）的余弦值.

师生活动：学生小组探究，小组代表展示探究结果，如图3和图4所示.

【设计意图】例1是两角差的余弦公式的应用，说明了诱导公式与两角差的余弦公式之间的特殊与一般的关系. 设置的探究活动具有一定的开放性，引导学生自主探究，进一步体会两角差的余弦公式是诱导公式的一般化表达，提升学生发现问题、提出问题和解决问题的能力.

例2  已知[sinα=45，α∈π2，π，cosβ=-513]，[β]是第三象限角，求[cosα-β]的值.

师生活动：教师让一名学生在黑板上作答，其他学生在笔记本上作答. 教师规范学生的解题格式，然后与学生共同总结这类题目的解题步骤.

解题步骤：第一步，确定需要用哪个公式解题；第二步，与公式相比较，观察题目的形式特点，确定需要求出哪些值；第三步，根据第二步得到的方案先求值，再代入，解决问题.

【设计意图】通过简单的应用，使学生初步熟记公式，掌握公式的结构形式和功能. 训练学生有序的思维习惯，发展学生的数学运算素养，培养学生程序化的思维习惯. 教师规范解题格式，展示数学的严谨性.

4. 反馈练习，知识检测

练习1：利用两角差的余弦公式求值：[cos72°cos12°+][sin72°sin12°].

师生活动：学生独立完成求解，在笔记本上作答. 教师巡视，让一名学生回答问题.

【设计意图】练习1是简单的公式反用. 要求学生能够从正反两个方向使用公式，对公式要有更全面、深刻的理解，目的在于培养学生的逆向思维及思维的灵活性.

练习2：已知[cosα=-35，α∈π2，π，] 求[cosπ4-α]的值.

练习3：已知[sinθ=1517，θ]是第二象限角，求[cosθ-π3]的值.

师生活动：学生独立完成，教师巡视.

【设计意图】通过知识检测，了解学生对知识的理解和掌握情况，为教学评价提供依据.

5. 小结提升，布置作业

师生共同回顾、梳理、总结本节课所学的数学知识和思想方法.

师生活动：教师提问，学生小组讨论、回答，相互补充. 让学生梳理本节课的知识收获（两角差的余弦公式）和原理（利用圆的旋转对称性探究公式）；让学生体会应用的数学思想方法（数形结合、转化与化归、特殊与一般）.

【设计意图】让学生回味本节课生成的知识和应用的方法，积累数学知识和活動经验，培养学生归纳总结的能力，强化学生的思维发展.

（1）课时作业.

作业1：已知[sinα=-23，α∈π， 3π2，] [cosβ=34，][β∈3π2，2π]，求[cosβ-α]的值.（教材第217页练习5.）

作业2：已知[sinα=23，cosβ=-34，α∈π2，π，] [β∈π， 3π2]，求[cosα-β]的值.（教材第228页习题5.5的第1题.）

作业3：继续借助公式[Cα-β]推导其他公式或结论.

作业4：查阅资料探究两角差的余弦公式的其他证明方法.

（2）单元作业.

作业5：以小组为单位，完成一份研究性学习作业. 对比前面学习的诱导公式，体会本节课推导两角差的余弦公式. 我们不难发现：以单位圆的几何性质为载体，研究三角函数的性质（即公式）的方法是个大概念. 据此，试利用所给图形（如图5），证明下列两个等式.

（1）[12sinα+sinβ=sinα+β2cosα-β2]；

（2）[12cosα+cosβ=cosα+β2cosα-β2].

【设计意图】作业分为课时作业和单元作业. 课时作业1和课时作业2落实公式的应用，强化基础知识和基本技能；课时作业3继续探究活动，引导学生深入体会两角差的余弦公式是诱导公式的一般化表达，加深学生对公式的理解，培养学生的逻辑推理素养；课时作业4培养学生从多维角度思考问题，增强创新意识. 单元作业帮助学生体会本节课内容所体现的大概念——以单位圆的几何性质为载体研究三角函数的性质（即公式）. 强化学生用单位圆研究三角函数问题的意识和习惯，帮助学生体会数形结合思想，使他们学会用数形结合思想思考和解决问题. 优化作业设计，实现“减负提质”“减负增效”，发挥作业的育人功能.

六、板书设计

本节课的板书设计，如图6所示.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史宁中，王尚志.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》解读［M］. 北京：高等教育出版社，2020.