选择适切的学习材料，促进学生数学思维发展

2023-05-03沈海美

教学月刊(小学版) 2023年11期

□沈海美

数学为人们提供了一种理解与解释现实世界的思考方式。“会用数学的思维思考现实世界”是《义务教育数学课程标准（2022年版）》中提出的数学课程要培养的学生核心素养之一。通过数学思维，可以揭示客观事物的本质属性，建立数学对象之间、数学与现实世界之间的逻辑联系。学生的思维发展在数学教育中的重要性不言而喻。

教育理念要落实到课堂教学中才能真正发挥作用。学习材料是学生解决数学问题、获得数学知识、提高数学能力的基本载体，是学生感受数学与生活的密切联系，体验数学价值，提高数学思维的重要资源。选择适切的学习材料是通过教学发展学生思维的重要基础。具体而言，教师应设计有层次、有结构、开放性强的学习材料，以帮助学生搭建思维发展的阶梯，拓展思维发展的深度，满足不同学生思维发展的个性需求。

一、设计有层次的学习材料，搭建思维发展的阶梯

学生对知识的掌握与理解不是一蹴而就的，而是有层次、有梯度地逐步提升的。帮助学生搭建思维发展的阶梯，需要设计有层次的学习材料。

有层次的学习材料不仅体现在难度的梯度变化上，还体现在学生对数学知识、数学方法本质的进阶理解上。基于此设计目标，笔者尝试以“将大长方形卡纸剪切成相等的若干小块”为基础材料，一材多用，让学生在“初步感知—探究明晰—掌握提升”的过程中，更加深入地理解数学知识，使思维走向深刻。

（一）设计基础材料，衔接思维起始点

基于学生的学习起点，设计基础性、针对性强的材料，找到学生思维发展的衔接点，搭建思维发展的阶梯，可有效地帮助他们认识数学本质。

【材料1】小南有一张长8 厘米、宽6 厘米的长方形卡纸，要剪成边长为2 厘米的正方形卡片，一共可以剪多少张？

学生独立尝试，简单地写出（画出）思考过程。

预设方法1：8×6=48（平方厘米），48÷2=24（张）。

预设方法2：8×6=48（平方厘米），2×2=4（平方厘米），48÷4=12（张）。

预设方法3：8÷2=4（张），6÷2=3（张），4×3=12（张）。学生画图表示，说明得到结果。

教师引导学生思考“上述方法分别体现了怎样的思路”，学生马上意识到方法1错误的原因。

以上案例中的问题本身难度不大，但解题过程能帮助学生通过不同方法的对比，更加深入地理解知识。通过分享辨析，学生从考虑不周、应变不足到具体问题具体分析，其思维逐步走向多元、走向清晰。

（二）变换关键信息，萌发思维生长点

在学生初步掌握知识后，变换问题情境中的关键信息，让学生的认知产生冲突，感受挑战，是促进学生思维提升的有效手段。

【材料2】小北有一张长10厘米、宽9厘米的长方形卡纸，要剪成边长为3 厘米的正方形卡片，不允许拼接，可以剪多少张？

学生独立尝试，简单地写出（画出）思考过程。

预设方法1：10×9=90（平方厘米），3×3=9（平方厘米），90÷9=10（张）。

预设方法2：10÷3≈3（张），9÷3=3（张），3×3=9（张）。学生画图表示，说明得到结果。

利用问题串引导学生思考：究竟可以剪几张？哪种方法是对的？为什么？“小北剪卡片问题”与“小南剪卡片问题”看起来差不多，但“小南剪卡片问题”用两种解法都能得到正确的答案，而“小北剪卡片问题”却不行？什么情况下可以用“大图形面积÷小图形面积”这种方法？

在前一问题的基础上，通过对比辨析，学生体会到当直接用“大图形面积÷小图形面积”不能解决问题时，就需要深入思考大、小图形长、宽之间的关系。在这一过程中，他们对解决问题的两种思路的理解逐步加深。

（三）提升普适效能，突破思维关键点

对学生来说，掌握更多的解题方法本身不是目的，他们的思维也不应仅停留于“解题方法的多元化”，而是要逐步学会因题而异，灵活地将不同方法应用于真实的问题解决过程中。因此，学习材料也需要从特殊走向一般，从典型走向普适，使学生的思维在“问题链”中“浅入深出”。

【材料3】小东有一张长10厘米、宽9厘米的长方形卡纸，要剪成长3厘米、宽2厘米的长方形小卡片，不允许拼接，最多可以剪多少张？

预设1：横向截取。沿着大长方形卡纸的长边剪3厘米，一行可剪10÷3=3（张）……1（厘米），余1代表长边最后余下1 厘米成为下脚料。沿着宽边，一列可剪9÷2=4（张）……1（厘米），余1代表宽边最后余下1厘米成为下脚料。最后共可剪：3×4=12（张）。

预设2：纵向截取。沿着大长方形卡纸的长边剪2 厘米，一行可剪10÷2=5（张）。沿着宽边，一列可剪9÷3=3（张）。最后共可剪5×3=15（张）。

“小东剪卡片问题”看起来难度更大了。解决这道题既要满足截取整块小卡片的条件，又要满足“最多”的要求。但实际上，解决问题的思路依旧延续前面两个问题。有了前面“小南、小北剪卡片问题”的基础，学生通过自主探索是可以很快得到答案的。在解决问题的过程中，学生不仅再次应用了所学方法，而且学会了结合题目灵活应用，即截取方式要合理，截取张数“最多”而又没有多余的下脚料。在类比讨论中，学生的思维逐步向全面发展。

二、组建有结构的学习材料，拓展思维发展的深度

有结构的学习材料可以更好地体现数学知识之间的关联性。它能够帮助学生将松散的知识点勾连成有联系的知识块，助力学生在实际中的迁移应用，从而帮助学生建立思维发展的结构。

（一）求同与求通，突破本质，在类比中理解

学生的迁移学习是有条件的。数学知识间共同要素的发现，能够帮助学生把握表面异质知识间的内在联系，促进对知识的理解与掌握。例如，引导学生理解分数意义时，可呈现以下这组有结构的学习材料。

图1

图2

图3

对分数乘法计算方法的探索与理解是学生学习中的难点。引导学生借助直观模型，参与折纸、涂色等操作活动，用数形结合思想打通知识间的联系，可以促进学生在类比中深层理解知识，从“举三反一”走向“举一反三”。

（二）回溯与展望，连点成线，在序列中建构

数学是一门逻辑性很强的学科。教学时，教师可以带领学生回溯既往学习的内容，将零散的、碎片的知识联结起来，连点成线，然后再引导学生将新知纳入原有的知识体系中，并进一步展望知识的后续生长。

【材料6】千米是继米、分米、厘米、毫米之后学习的第五个长度单位。自主整理过往的四个长度单位，在此基础上，围绕“如果人们再创造出第五个长度单位，这个长度单位该处在什么位置？跟学过的长度单位之间又是什么关系？”这一核心问题展开探究。

通过独立思考、小组合作，学生呈现多种“创造”结果：有比单位“米”大的十米、百米、千米等，有比单位“米”小的丝米、忽米、微米等。

最后根据相邻长度单位间的进率，将学生“创造”的长度单位进行结构化排列（如图4），让学生清晰地知道“千米”所在的位置，明白“1千米=1000米”的意义。

图4

在小组合作探究中，学生“创造”了多种长度单位，并根据相邻长度单位间的进率，将这些长度单位进行了结构化排列，从而理解了“1 千米=1000米”的意义。这是一个同化新知、建构序列的过程，学生从中感受到长度单位序列蕴含的整体性。

（三）勾连与突破，跨越认知，在整合中重构

数学知识的建构其实是一种整体性建构活动。学生在建构知识时，通过唤醒已有的学习内容，把握学习内容之间的关系，完成一次全新的、不同于以往的新建构。

【材料7】在进行“图形的面积”知识整理时，引导学生根据学过的长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形面积计算公式的内在联系，利用学具袋中的多边形摆出图形面积之间的结构图。学生操作，教师巡视，收集不同方法，集中展示（如图5）。

图5

在概括总结的基础上，教师继续呈现图形的动态演变过程。先呈现一个上底4厘米、下底6厘米、高4厘米的梯形，然后演示在梯形的高保持不变的情况下，上底逐渐变短，下底逐步变长（上下底之和保持不变），逐渐变为上下底均为5 厘米的平行四边形（或长方形），再变为上底为0 厘米，下底为10厘米的三角形的过程。

整体把握的一个重要方法是在必要时将原有的知识结构打破，重新组合，构成一个不同于以前的新结构，即整合重构。这组学习材料能帮助学生寻找图形间的联系，建构更加清晰完善的知识网络。

三、采用开放性的学习材料，满足个性发展的需求

开放性学习材料可以从“问题开放、策略开放”等维度进行设计，拓展材料的宽度，让学生从不同角度、不同方向思考问题，使学生的思维由封闭状态转化为开放状态。

（一）问题开放，感悟数学思想

设计教学材料时，可以将教材上静态呈现、抽象概括、结论固定的数学知识，还原成可以动手操作的，内容更加具体丰富的，路径更加开放的，成系列、有联系的挑战性问题，引领学习进程。设计教学材料时还要关注学生数学思想方法的形成，助力学生感悟数学知识的意义和价值。

【材料8】教学《不规则物体的体积》时，教师为学生准备学具：鹅卵石（大小不一）、铁钉（一定数量）、橡皮泥和乒乓球（若干）；量杯、水槽、长尺等实验器材（如图6）。

图6

请学生小组合作，以问题串的形式，选择感兴趣的学习材料开展探究。

（1）橡皮泥、鹅卵石、铁钉、乒乓球的体积不能直接计算，该如何测量？请自己设计实验。

（2）测量过程中有什么收获？有什么困惑？

（3）今天的学习对你测量生活中不规则物体的体积有什么启发？让学生充分经历不规则物体体积测量的发生和发展过程。

不同的不规则物体体积的具体测量策略不同，但是都蕴含了“转化”的思想；学生在对问题的探究中不断感悟“转化”思想，在思想的统领下，对不规则物体的体积测量进行意义建构。在此过程中，学生用手操作和记录实验过程，用眼观察实验现象，用口讨论实验结论，用耳倾听其他小组的结论，用头脑对结论进行反思，调动了多种感官参与，获得了殊途同归的“转化”思想。