数学新课“链＋”教学设计的路径与要义

摘 要：为了落实“课程（教学）内容结构化”的理念，数学新课教学可以“链＋”的方式设计：结合课时教学内容，充分剖析学生之前已经获得的、本课将要获得的和未来还要获得的“四基”，明晰课时教学资源，进而尝试通过图示的方式建构有关“四基”的内在联系，从而理顺课时“四基”的生长脉络，设计课时教学过程。这样的教学设计追求新知教学的整体融入，注重学习目标的分段落实，强化新旧知能的精准对接。

关键词：初中数学；新课教学；“链＋”设计；结构化；二次根式

“设计体现结构化特征的课程内容”［1］是《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）明晰的课程理念之一。为了落实这一理念，数学新课教学可以紧扣课时核心知识、技能及相关思想方法、活动经验（即“四基”）的内在逻辑关系，以“链＋”（基于内容关联进行延伸与变化，从而建构结构化、序列性的教学资源或学习材料）［2］的方式，引导学生在数学内容体系中展开学习，让学生在获得知识、技能的同时，知晓知识、技能的“来龙”与“去脉”，感悟背后的思想方法，积累相关的活动经验，发展相应的核心素养。本文以人教版初中数学八年级下册《16.1二次根式》一课为例，谈谈数学新课“链＋”教学设计的路径与要义。

一、 数学新课“链＋”教学设计的路径

新课教学的核心任务是帮助学生获得“四基”。因而，教学设计应该从分析有关“四基”，明晰课时教学资源开始，进而尝试通过

图示的方式建构有关“四基”的内在联系，从而理顺课时“四基”的生长脉络，设计课时教学过程。

（一） 分析课时“四基”

1. 分析既有“四基”

既有“四基”是指学生已经获得的与本课时学习相关的“四基”。厘清既有“四基”，有助于了解学生的认知基础，形成教学起点。

“二次根式”是初中数学“数与代数”领域“数与式”主题下的重要知识。在《16.1二次根式》之前，人教版教材安排的“数与式”主题学习内容有整式、分式、算术平方根、平方根等，这些都是二次根式的认知基础。我们从教学内容、所属章节、知识与技能、过程与方法等方面进行梳理，得到表1。

从表1中，我们可以看出，对整式、分式的研究基本上都按照“定义、相关概念、性质、运算、应用”的框架（顺序）展开。具体到某一个步骤（环节）上，其研究（认知）过程也基本相同。比如，给整式中的单项式下定义，是基于实际问题抽象出多个式子，在分析共性特征后归纳得出的，并由此认识单项式的系数、"" 次数等相关概念；而给分式下定义的过程，也基本如此。显然，二次根式的学习也将沿着这样的路径展开，有效唤醒学生积累的活动经验将成为二次根式教学的关键。此外，二次根式是算术平方根、平方根在学段内的延续和发展。对这两个知识的学习，不仅为从数的角度进一步探索二次根式奠定了知能基础，还为从式的角度进一步认识二次根式提供了经验铺垫。

2. 分析新增“四基”

新增“四基”是指学生将要在本课时学习的“四基”，它们是课时教学的核心内容。教师应该挖掘教材给出的文图符及由文图符等有序关联组成的探索活动中蕴藏的新增“四基”，从而确定课时教学的核心内容。

在《16.1二次根式》中，人教版教材安排的探索活动包括两则“思考”、一道例题和两道“练习”。通过第一则“思考”，可以得到的四个式子，抓住这四个式子及平方根的性质（既有“四基”），可以抽象出二次根式的定义，并认识二次根式的相关概念二次根号，这是课时探索的第一批新增基础知识；通过例1与第二则“思考”，可以发现式子a有意义的条件，这是课时学习的第二批新增基础知识。通过“练习”，可以应用课时新知解决问题，这必然关联着课时新增基本技能。而在全课探索与应用新知的过程中，同步关联着模型（二次根式、不等式）、分类讨论等思想方法，活动经验（过程与方法）会在“再演”中被唤醒应用、升级发展。

3. 分析延伸“四基”

延伸“四基”是指学生通过课后探索以及未来课时学习可以获得的与本课时学习紧密关联的“四基”。显然，延伸“四基”有完善课时“四基”结构、拓宽课时探索边界两类功能。第一类功能一般通过配套练习实现，引导学生在课时内外“四基”的巩固应用中，将其融入自己的知识结构；第二类功能主要依托基于课时“四基”的追问实现。

对于《16.1二次根式》，课后的练习、习题能够实现延伸“四基”的第一类功能；而小结时的追问“根据你的学习经验，关于二次根式，还将学习哪些知识”，将引导学生猜想二次根式后续的学习内容和学习流程，从而较好地实现延伸“四基”的第二类功能。

（二） 图示建构“四基”的关联

将分析得到的“四基”用相对固定的线框标示出来，并将其内在关联用箭头表示，就能直观显示“四基”的关联（作用类似于思维导"" 图）。具体可用实线矩形框标示已有“四基”，用实线椭圆框标示新增“四基”；用虚线矩形框和虚线椭圆框标示延伸“四基”，其中，虚线矩形框标示的是课时核心内容的发展方向，虚线椭圆框标示的是学生在活动经验以及情感、态度、价值观等方面可能获得的发展。此外，可用箭头表示“四基”的生长方向——一般地，箭头标示的顺序与学生获得“四基”的顺序大致相同。有时，也将一些能让前后“四基”关联的重要数学思想、学习方法直接标注在连接线的旁边。

《16.1二次根式》一课的“四基”关联图示如图1所示。

从图1中不难看出：本课时的核心“四基”主要包括“二次根式的定义”、“a有意义的条件”、模型思想、数式类比学习的经验以及有关的情感、态度、价值观等；获得“二次根式的定义”，要应用算术平方根、平方根的知识、经验，结合从给定的情境中抽象出的式子，调用学习整式、分式时积累的活动经验，类比归纳出式子的共性特征a（a≥0）；探索“a有意义的条件”，则需要分析式子a的特例，结合算术平方根的探索历程，调用学习与应用算术平方根、平方根时形成的活动经验和数学情感；最后，类比整式、分式的学习经验，猜想出二次根式的后续学习内容。

（三） 设计教学过程

正如章建跃先生所说，数学教学要立足“双重逻辑”（数学知识的内在关系和学生认知的发展规律）展开。有了“四基”关联的图示，教师应该先粗略地理顺“四基”生长脉络，再根据实际情况，细致地设计教学活动过程，包括合理地分配教学活动时间。

1． 回顾旧知

提出以下问题，引导学生回顾分式的学习内容。

问题1 在上一单元，我们学习了什么？（分式）

问题2 学习了分式的哪些内容？（定义、性质、运算、应用等）

问题3 我们是如何学习分式的定义的？（实际问题→抽象式子→探索式子的共性特征→归纳定义）

提出以下问题，引导学生回顾整式的学习内容。

问题4 除了分式，前面我们还学习了哪些式子？（整式、单项式、多项式等）

问题5 我们是如何学习这些式的定义的？（与分式相同……）

本环节围绕“整式、分式及其相关概念学生学习整式、分式时积累的活动经验以及形成的情感、态度、价值观等”逐步展开，通过五个问题的作答交流，提取整式、分式的相关知识、技能，唤醒学习这些知识、技能过程中积累的活动经验和形成的情感、态度、价值观，为给二次根式下规范的定义、形成完整的结构做充分铺垫。

2．认识二次根式

引入：在我们的生活中，整式和分式有着十分广泛的应用，那么，只有整式和分式能解决生活中所有的问题吗？

出示实际问题：

（1） 面积为3的正方形的边长为"" ，面积为S的正方形边长为"" 。

（2） 一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为""" m。

（3） 一个物体从高处自由落下， 落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系式h=5t2。如果用含有h的式子表示t， 则t为""" 。

提出以下问题，引导学生关注不是整式或分式的式子。

问题7 这些式子是如何得到的？（根据算术平方根的意义）

问题8 在这三个实际问题中，我们列出的式子还是整式或分式吗？（不是）

过渡：像这样的带有根号的式子，就是我们接下来要探索的另一类式子。

组织小组活动：观察这些式子的特征，说说它们的相同点和不同点，并试着将它们用一个式子表示出来。

4． 小结延伸

提出以下问题，引导学生对全课所学做梳理与延伸。

问题15 类比整式和分式，接下来又该学习二次根式的哪些内容？（二次根式的性质、运算及应用，解含有二次根式的方程等）

本环节通过两个问题引出了“二次根式的性质”“二次根式的运算”“二次根式的应用”“与式相关的活动经验以及情感、态度、价值观等”等延伸“四基”，明晰了后续学习需要努力的方向。

二、 数学新课“链＋”教学设计的要义

（一） 整体融入：新知教学的基本定位

在数学教学过程中，内容结构化是指使任何一个数学知能都不是孤立的，而处于整个数学内容的体系中，从而使学生在知能结构中不断拓宽边界，铺展“四基”。传统的新知教学重视知能本身的单独建构，淡化了知能之间的联系作用，导致学生在解决问题时往往无法将知能关联起来，出现思维断点。“链＋”教学设计特别重视新学知能与学生原有知能结构之间的关联，注意新学知能的整体融入。建构“四基”关联的图示本身就是一种新旧知能结构化的过程。而利用图示设计教学活动，就是要引导学生将新学知能嵌入原有知能网络，用过程与结果的结构化实现知能的整体融入。

以《16.1二次根式》一课的教学设计为例，引导学生回顾整式、分式的认知过程，意在从学生的代数式知识结构出发，将二次根式知识纳入代数式知识体系中，让学生知晓为什么要学习二次根式和从哪些方面学习二次根式。在此过程中，从整式和分式学习内容的梳理出发，引导学生发现式的学习的一般路径，然后类比探索二次根式。再具体到给二次根式下定义上，引导学生发现给整式和分式下定义时，都是按照外在的形式进行的，因此，对二次根式同样是归纳出式子的一般形式，再给出相关的定义。由此，学生将已有的认知经验进一步延伸和发展至二次根式的学习，从而认识到二次根式的学习不仅是对二次根式本身的探索，更是对代数式知能结构的完善和丰富。

（二） 分段落实：学习目标的达成路径

学习需要一个过程，不是一蹴而就的。教学设计时，一定要注意学习目标在整体布局基础上的分段落实，尤其是对一些综合程度较高、能级要求较高的知能。而事实上，在同一版本的教材中，相同的知能在不同的位置上，教学要求也是不一样的。建构“四基”关联的图示有助于理清知能的发展顺序，并明确知能的学段（阶段）目标及其达成路径。而利用图示设计教学活动，能很好地落实学习目标的分段达成。

（三） 精准对接：新旧知能的生长之道

教学的理想状态是学习的自然发生。我们以为，学习之所以能够自然发生，完全依赖于新学知能对学生已有知能结构的巧妙融入，而这离不开新增“四基”与既有“四基”的精准对接。在“链＋”教学设计中，“四基”关联的图示明晰了课时核心知能的“来龙”“去脉”。教师通过图示的建构，能厘清课时教学的“四基”起点、“四基”发展方向等。由此，教师自然会合理设计新旧知能的衔接点，让知能在最舒服的节点上自然生长。

例如，根据图1，可以确定本课时探索的“四基”基础是整式、分式的相关知识及活动经验，因而教学就从这个点展开，围绕“整式、分式及其相关概念学生学习整式、分式时积累的活动经验以及形成的情感、态度、价值观等”设计了五个问题。这五个问题表面上是在梳理整式和分式的知识，实际上是在通过知识梳理唤醒活动经验，并为这些活动经验自然迁移到二次根式的学习中做好准备。这个过程让新增“四基”与既有“四基”精准对接，自然地推动学生利用已有的基本活动经验对二次根式下定义，并进行单元结构的合理猜想。

参考文献：

［1］［3］［4］ 中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2022年版）［S］．北京：北京师范大学出版社，2022：2，55，55．

［2］ 印冬建. 数学课堂中“链+”设例的实践与思考［J］．教育研究与评论（中学教育教学），2023（7）：55.