知识结构化，思维更自然

摘 要：《圆周角（1）》一课教学，在整体视角下，对有关的知识做结构化处理，将“圆周角”主题放在“与圆有关的角”这个大背景下，设计一系列更开放、更有启发性的问题与任务，让学生的思维更自然地展开，在探究圆周角、圆内角（含圆心角）、圆外角以及劣弧、优弧所对的圆周角的概念和性质（关系）的过程中，感悟从概念到性质、从猜想到证明、变与不变、无限与有限、一般与特殊、分类、类比、转化等思维方法（数学思想）。

关键词：初中数学；知识结构；思维方法；圆周角

一、 教前思考

数学学科以逻辑严谨、结构清晰等特点著称，数学逻辑（结构）体现的数学对象之间的内在关联反映了数学学科的基本思维方法。［1］所以，既可以说数学是结构的科学，也可以说数学是思维的科学。这是过程与结果辩证统一（一体两面）的事情。《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“课程理念”和“教学建议”中都强调了“课程（教学）内容的结构化整合”［23］和“学生思考的引发（包括情境设计和问题提出）”［45］，以帮助学生理解知识的产生与发展，学会应用知识解决问题。

苏科版初中数学九年级上册《圆周角（1）》一课，是在学生学习了圆的定义以及有关概念（如弧、弦、圆心角）、圆的对称性以及有关结论（如弧、弦、圆心角的对应关系以及垂径定理）等知识的基础上教学的，教学内容主要包括圆周角的概念以及圆周角定理（同弧或等弧所对的圆周角相等，等于所对弧上圆心角的一半），其中蕴含几何直观、逻辑推理等数学思想（数学核心素养）。

我们跳出局部视角，摆脱课时内容的限制，在整体视角下，对有关的知识做结构化处理，将“圆周角”主题放在“与圆有关的角”这个大背景下，设计一系列更开放、更有启发性的问题与任务，让学生的思维更自然（少受限制）地展开，在探究圆周角、圆内角（含圆心角）、圆外角以及劣弧、优弧所对的圆周角的概念和性质（关系）的过程中，感悟从概念到性质、从猜想到证明、变与不变、无限与有限、一般与特殊、分类、类比、转化等思维方法（数学思想）。这样，一方面，可以让学生充分地认识知识之间的联系，整体地形成认知结构；另一方面，可以让学生自然地感悟思维（展开）的方法，整体地把握探究过程。

二、 教学过程

（一） 概念引入

常见的教学以足球射门、剧场视角等生活情境为背景引入，通过抽象，引导学生作出一条弧所对的圆心角，然后改变角顶点的位置，找出其中特殊的位置——在圆周上，进而给这类角起名字、下定义，得到圆周角的概念。这样的教学局限于圆周角的概念本身，学生的探究不够自然——足球射门、剧场视角等生活情境抽象出的往往是一条边所对的角，由此得到一条弧所对的角有点牵强。

为顶点在圆上、顶点在圆内、顶点在圆外三类（如图2所示），进而类比圆心角的名称将三类角分别命名为圆周角、圆内角、圆外角。这样，通过更自然的思考，学生能整体认识与圆有关的各种角，感受分类、类比的思维方

（二） 定理猜想

常见的教学一般直接让学生画出一条弧所对的圆周角与圆心角，发现能画出无数个圆周角和一个圆心角，进而猜想圆周角之间以及圆周角与圆心角之间的关系，并进行验证。定理猜想能培养学生的合情推理能力以及数学直觉。但是，这样的教学目的性过强，限制了学生的思维发散，使学生缺少对知识联系以及概念产生必要性、性质探究方法等的体会。

对此，我们承接上面对概念的开放探究，引导学生思考：圆周角、圆内角、圆外角中，哪一类最特殊、最应该研究？在不同类别角的对照中，结合观察与测量，学生容易猜想：圆内角＞圆周角＞圆外角，而且，不同的圆周角大小相等，不同的圆内角、不同的圆外大小不一定相等。从而发现：圆周角最特殊，最应该研究。这样，不仅能更好地培养学生的数学直觉，而且能让学生明白一个概念值得研究往往是因为它有比较特殊的性质（特别是“变中不变”的性质），从而在抽象结构，即从概念到性质（关系）思想［6］的引导下解决概念产生的必要性问题。

然后，针对怎么研究圆周角，提出一系列追问。具体来说：怎么证明同弧所对的圆周角相等？圆周角的大小是由什么决定的？（所对的弧）弧可以用长度和角度来衡量，这里应该考虑什么？（角度）弧的角度是什么？（弧所对的圆心角）同一条弧所对的圆心角有几个？（唯一）这一系列问题引导学生得到研究同弧所对的圆周角与圆心角的关系，来证明同弧所对的圆周角相等的方法。在此基础上，通过测量，学生不难猜想：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。同时发现：若这个猜想成立，则前一猜想也成立。这样，学生既能体会到圆周角、圆心角、弧等概念以及有关结论之间的联系，又能感受到探究圆周角性质的方法——把对圆周角之间关系的证明转化为对圆周角与圆心角之间关系的证明。

（三） 定理证明

常见的教学一般直接让学生分圆心在角的一边上、圆心在角的内部、圆心在角的外部三种情况，并将后两种情况转化为第一种情况，来证明同弧所对的圆周角与圆心角的关系。定理证明能培养学生的演绎推理能力以及严谨思维。但是，这样的教学依然存在目的性过强，限制学生思维发散的问题，使学生不明白为什么要分类，感受不到背后的思维方法；同时，局限于劣弧的情况，不严谨，也缺少整体考虑。

后续探究圆的内接四边形对角互补做好铺垫。由此，学生不仅严谨地证明了圆周角定理，而且关注到圆周角的顶点在圆周上的各种情形，整体地认识了劣弧、优弧所对圆周角、圆心角的关系，同样体会到从特殊到一般、转化的思维方法。

（四） 知识运用

对此，我们让学生尝试证明同弧所对的圆周角与圆内角、圆外角的大小关系。学生联系圆周角与圆心角关系的证明过程，可以想到将圆周角的位置特殊化，分别使其一边与圆内角、圆外角的一边共线（如图10所示），再利用三角形外角与不相邻的内角的关系证明圆内角＞圆周角＞圆外角。然后，类比圆周角与圆心角的关系，进一步探究圆内角、圆外角与哪些圆周角有关系、有什么关系。在适当的图形（分别如图11、图12所示）提示下，学生可以发现：圆内角等于它和它的对顶角所对的两条弧所对的圆周角的和，圆外角等于它所夹的两条弧所对的圆周角的差。这样，学生可以迁移运用圆周定理证明过程中的思维方法解决圆内角、圆外角的有关问题，从而既体会到类比、转化思想的价值，又整体把握了与圆有关的各种角之间的关系，感受到弧在其中的桥梁和纽带作用。

参考文献：

［1］ 唐恒钧，张维忠.数学问题链教学的内涵与特征［J］.教育研究与评论（中学教育教学），2021（1）：9.

［2］［3］［4］［5］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022：3，85，3，8687.

［6］ 史宁中.数学课程标准修订与核心素养［J］.教育研究与评论，2022（5）：24.