准稳态下常功率平面热源法测不良热导体热导率及COMSOL 模拟

方奕忠 沈韩 崔新图 黄臻成 冯饶慧 廖德驹 庞晓宁

摘 要 准稳态法是测量不良热导体热导率的一种常用方法， 样品材质、保温层、加热功率等都会对测量结果造成影响。本文采用分离变量法， 以有机玻璃为例， 求解了厚度均匀的无限大不良热导体两侧同时施加均匀的指向中心面的热流密度时的热传导方程，得到样品各处的温度随时间变化的严格解。在初始加热时间不到十分钟的状态下采用截断近似， 并在准稳态下用常功率平面热源加热法测量了不良热导体的热导率k及比热c。在此基础上， 采用四块有机玻璃板和两个加热薄膜外包泡沫和聚丙烯（PP）阻热材料的模型， 作了COMSOL多物理场耦合仿真， 得到的理论、实验及仿真结果三者符合得很好。

关键词 准稳态; 不良热导体; 热导率; 虚实结合; COMSOL仿真模拟

准稳态法是测量不良热导体热导率的常用方法， 测量结果受样品材质、保温层性质、热源位置、加热器形状及功率等多种因素影响。本文根据虚实结合实验[1-7]设计的理念， 采用理论、实验和仿真相结合的方式探讨不良热导体内部的温度分布及变化过程。理论求解了一个厚度均匀无限大不良热导体平板两侧同时施加均匀的指向中心面的热流密度时板内各处的温度变化情况。在准稳态情况下， 用常功率平面热源加热法[8]测量了四块有机玻璃样品板和两块加热膜构成的体系中样品的热导率及比热[9]， 并采用COMSOL 多物理场耦合仿真软件[10]分三种模型仿真了实验过程，包括双样品模型、四样品理想模型、四样品实验模型等，仿真模型复杂程度逐步提升，逼近真实实验。结果证明， 理论、实验、COMSOL 仿真模拟三方面符合得很好。

1 理论模型及求解

考虑一无限大不良热导体平板， 厚度为2L，初始温度为T0，在平板两侧同时施加均匀的指向中心面x =0的热流密度qc，如图1所示。平板上各点x 在t 时刻的温度值为T =T （x，t），则T满足定解问题

2 实验测量及结果

实验装置如图2所示。实验样品做成长方体， 截面为正方形。为了尽可能满足无限大平板的理论假设， 样品的厚度小于方形截面的边长的1/6。实验采用的不良热导体样品为有机玻璃，样品厚度L=0.010m，密度ρ=1196kg/m3，共有四块，与样品架配合使用。

为了精确测量加热面的热流密度qc， 实验采用薄膜形的加熱器， 如图2所示。加热膜厚度l=0.123mm， 边长与样品相同， 由厚度为0.03mm、宽约1.50mm 的铜箔细长条片迂回近似均匀地嵌在聚酰亚胺薄膜的中间。给铜箔通电即可产生热量， 其加热功率在整个加热面上均匀并可精确控制。四块样品两两夹持薄膜形加热器， 保证加热膜两侧的热阻相同， 可认为热流密度为功率密度的一半。测温用的两个T型热电偶的热端分别安装在中心面和其中一个加热面（取样品3和样品4之间的加热面）的中心处。则通过样品的热流密度可表示为

qc =U2/（2Fr） （单位为W/m2） （27）

其中，U 为两并联加热膜的加热电压， F=S/A 为边缘修正后的加热面积。修正是因为有机玻璃样品不是无限大平板， 且样品的四周用聚丙烯（PP）板和中发泡泡沫板阻热， 做不到完全绝热。经实验和COMSOL模拟可知， 该修正因子可取A =0.85。S=0.09m×0.09m 为修正前的实际加热面积， 每块加热膜的电阻r ≈109.74Ω， 若U =19V， 则qc=172.60W/m2。

实验中分别测量中心面温度和加热面温度随时间的变化关系。两个热电偶对应的冷端均放在同一个保温杯里面， 保温杯保持为室温， 故两个冷端的温度保持相同。我们从室温T0=295.70K开始给加热膜通电， 通电电压保持为U =19V，记录加热面热电偶与中心面热电偶之间的温差热电势U1 和中心面热电偶相对于室温冷端的中心面热电势U2。大约加热10分钟后， 温差热电势U1 将保持不变， 而中心面热电势U2 随时间近似线性上升， dU2/dt 近似为常数。实验采用的铜康铜热电偶（T 型热电偶）在室温附近的电压温度系数λ=0.0404mV/K，据此可分别算出中心面和加热面之间的温度差ΔT1=U1/λ 和中心面的温度T2=U2/λ+T0。ΔT1 和T2 随加热时间的变化关系如图3所示。加热10分钟后， ΔT1=5.050K， dT2/dt=0.0101K/s。代入式（25）和式（26）， 得热导率k=0.1709W/（m·K）， 比热c=1429J/（kg·K）。

3 热传导过程的COMSOL仿真

3.1 双样品理想传热模型的仿真

考虑两块紧贴在一起的有机玻璃板，每块厚度L=0.010m，边长d=0.090m，则截面面积S=d2。样品两端以热流密度qc 均匀地注入热量。在两块板中间分界面的中心放置一域点探针1，右边注入热流密度的表面中心处放置另一域点探针2，所有外表面绝热。仿真时取qc =U2A/（2rS ）=172.60W/m2，有机玻璃密度ρ=1196kg/m3，热导率k=0.1709W/（m·K），恒压比热容c=1429J/（kg·K），网格化时两块板都选细化或较细化，如图4所示。COMSOL 模拟结果分别见图5、图6和图7。可见大约8分钟后，加热面和中心面之间的温度差基本不变，ΔT1=5.04K，与实验值相比相对误差在±0.10%内;而中心面温度随时间的变化率dT2/dt=0.0100K/s，与实验值相比相对误差在±0.50%内。

3.2 四样品理想传热模型的仿真

考虑四块同材料同尺寸的匀质有机玻璃板紧靠在一起，每块板厚度L=0.010m，边长d=0.090m。如图2所示，在第1块、第2块样品之间和第3块、第4块样品之间分别放置一加热薄膜，故需考虑6块长方体的热传导。加热薄膜由铜箔及聚酰亚胺薄膜组成，铜箔密度ρ1 =8960kg/m3，恒压比热容c1 =385J/（kg·K），热导率k1=400W/（m·K）;聚酰亚胺密度ρ2=1420kg/m3，恒压比热容c2=1090J/（kg·K），热导率k2=0.5W/（m·K），铜箔厚度l2=0.03mm，宽1.5mm，按迂回的长条片均匀嵌在聚酰亚胺薄膜的中间薄层。由于整个加热膜厚度l=0.123mm，铜箔的厚度占了约1/4，铜箔的面积约等于整个加热膜面积的2/3，故铜箔体积约占整个加热膜的1/6，聚酰亚胺约占5/6。可取加热膜整体密度ρ=16ρ1+56ρ2=2676.8kg/m3，恒压比热容c=16c1+56c2=972.5J/（kg·K），热导率k=16k1+56k2=67.09W/（m·K）。四块有机玻璃板和两块加热膜构成一个整体，且整体结构的外表面均设为绝热。两个加热膜的加热热流均取qc =U2A/rS，其中的修正因子A =0.85。网格化时加热膜的单元尺寸需选较细化或极细化，有机玻璃板可选细化，如图8 所示。COMSOL模拟结果分别示于图9、图10和图11，可见大概加热8分钟后，加热面与中心面之间的温度差基本恒定，ΔT1=4.99K，与实验值相比相对误差落在±0.60%内;中心面域点探针1的温度对时间的变化率dT2/dt=0.0100K/s，与实验值相比相对误差落在±0.50%内。表明四样品理想模型仿真结果与实验结果符合得很好。

3.3 四样品真实传热模型的仿真

在四样品理想模型基础上，在左右两端面用中发泡厚泡沫板阻热，每块泡沫板边长122mm，厚47mm，恒压比热容c3=4200J/（kg·K），热导率k3 =0.046W/（m·K），密度ρ3 =400kg/m3。四块样品及两块加热膜共六块板的四周用PP板进行阻热，所有阻热板和泡沫板外表面均与周围环境的空气有热交换，满足第三类边条件，且取热交换系数h=150W/（m2·K）。PP 板的底部高为45mm，左右边宽均为63mm，顶部高为40mm，模型中四周PP板的总厚度均为40.246mm。PP板密度ρ4 =920kg/m3，恒压比热容c4 =1900J/（kg·K），热导率k4 =0.90W/（m·K），室温取T0=295.70K，加热膜加热功率Q=U2/r，不含修正因子，U 和r 取值与四样品理想模型一致，网格化时加热膜的单元尺寸可选较细化（或超细化），有机玻璃板可选常规（或细化），见图12。用COMSOL模拟的结果分别见图13、图14和图15。可见，当加热时间达8分钟后，加热面和中心面的温度差稳定在ΔT1=5.15K，与实验值相比相对误差落在±0.99%内;中心面的升温速率dT2/dt=0.0105K/s，与实验值相比相对误差落在±2.0%内。仿真结果与实验及前两种模型的仿真结果基本符合。图16为中心截面的等温线分布，对称性好。

4 结语

本文在无限大不良热导体导热时温度变化的严格解的基础上，采用COMSOL 多物理场耦合仿真软件分别仿真了双样品理想模型、四样品理想模型和四样品真实模型传热过程中的温度分布及温度变化情况，仿真结果与理论、实验基本符合。清楚说明了在实验设计中由于作了简化，需要在热流密度中引入修正因子A ，且取A =0.85是合理的。

参 考 文 献

[1] 廖德驹， 沈韩， 崔新图， 等. 基于通用设备和Multisim 的虚实结合电学实验教学模式[J]. 物理与工程， 2021，31（1）：96-103.

LIAO D J， SHEN H， CUI X T， et al. Virtual-reality combinedteaching mode for electric experiments of college physicslaboratory base on common used instruments and Multisim[J]. Physics and Engineering， 2021，31（1）： 96-103. （inChinese）

[2] 陈晓东， 高梓轩， 何辛涛， 等. 基于近场电磁扫描系统的矩形金属波导模式成像实验[J]. 物理与工程， 2021，31（4）：160-165.

CHEN X D， GAO Z X， HE X T， et al. Imaging experimentof rectangular metal waveguide modes based on nearfieldelectromagnetic waves scanning systems[J]. Physicsand Engineering， 2021，31（4）：160-165. （in Chinese）

[3] 赵福利， 陈敏， 董建文， 等. 在过程性学习评价基础上开展线上+线下《光学》课程教学[J]. 物理与工程， 2021， 31（4）：154-160.

ZHAO F L， CHEN M， DONG J W， et al. Online and offlineteaching implementation of optics with process evaluation[J]. Physics and Engineering， 2021， 31（4）： 154-160.（in Chinese）

[4] 冯饶慧， 沈韩， 高凤彬， 等. 以衍射实验为例谈虚实结合实验教学模式[J]. 物理与工程， 2020， 30（4）： 102-107.

FENG R H， SHEN H， GAO F B， et al. Virtual-actual experimentalteaching mode for diffraction experiment[J].Physics and Engineering， 2020， 30（4）： 102-107. （in Chinese）

[5] 方奕忠， 沈韩， 崔新图， 等. 基于CompactDAQ 的多通道温度测量实验及COMSOL模拟[J]. 物理与工程， 2021， 31（1）：109-113.

FANG Y Z， SHEN H， CUI X T， et al. Experiment ofmulti-channel temperature measurement based on Compact-DAQ and COMSOL simulation[J]. Physics and Engineering，2021， 31（1）： 109-113. （in Chinese）

[6] 崔新图，方奕忠，沈韩，等. 有限长通电圆柱导体温度分布的严格解及COMSOL 模拟[J]. 大学物理，2018，37（8）：13-18.

CUI X T， FANG Y Z， SHEN H， et al. The exact solutionand COMSOL simulation of temperature inside a finitelength energized cylinder[J]. College Physics， 2018， 37（8）：13-18. （in Chinese）

[7] 陈天赐， 黄臻成， 丁喜冬， 等. 常功率平面热源法仿真及其在热学教学的应用[J]. 物理与工程， 2021， 31（Z1）： 61-65.

CHEN T C， HUANG Z C， DING X D， et al. Simulation ofplane heat source method with constant heat rate and its applicationin thermodynamic course[J]. Physics and Engineering，2021， 31[Z1]： 61-65. （in Chinese）

[8] 王补宣， 韩礼钟， 王维城， 等. 同时测定热绝缘材料α 和λ的常功率平面热源法[J]. 工程热物理学报， 1980， 1（1）：80-87.

WANG B X， HAN L Z， WANG W C， et al. A plane heatsource method for simultaneous measurement of the thermaldiffusivity α and conductivity λ of insulating materials withconstant heat rate[J]. Journal of Engineering Thermophysics，1980， 1（1）： 80-87. （in Chinese）

[9] 沈韩. 基础物理实验[M]. 北京： 科學出版社， 2015： 258-264.

[10] 王刚，安琳. COMSOL Multiphysics 工程实践与理论仿真：多物理场数值分析技术[M]. 北京： 电子工业出版社， 2012：72-83.