光滑圆筒中的四球问题

吴洵 姜付锦 何彬 黄亦斌

摘 要 针对第39届全国中学生物理竞赛复赛（延考）第四题，先对四球系统进行受力分析，根据动力学和运动学得到9个（非线性微分）方程，得到两个第一积分（守恒量）。再通过数值模拟给出解答，发现当初始角速度不大时，原参考解答是很好的近似。最后还进一步研究了近似解，得到泰勒展开中精确到t5 的结果。整个分析过程为处理力学问题提供了一个参考案例。

关键词 刚体动力学;非线性;第一积分;无量纲化;泰勒展开

1 题目

近期，第39届全国中学生物理竞赛复赛（延考卷）中的第四题引发了大家的热议，本文就此给出理论上的分析。题目如下：

如图1（a）、（b）所示，半径为R、质量均为m的均匀实心球体A 、B、C 兩两相切地放置在光滑水平面上。三个球体的外侧有一光滑固定圆筒，其内表面与A 、B、C 外切。初始时刻，A 、B、C 静止，一绕圆筒竖直中心轴转动的均匀球体D 轻放于球体A 、B、C 正上方。已知D 的质量也为m 、半径也为R，D 的初始角速度大小为Ω0，D 与A 、B、C 之间的动摩擦因数为μ，A 、B、C 三个球体之间无摩擦。经历一段时间后，整个体系达到D 相对于A 、B、C 没有滑动的稳定状态。重力加速度大小为g。求：

（1） 体系从初始状态到达稳定状态所需时间，以及稳定状态时，球体A 、D 的角速度大小。

（2） 达到稳定状态时，A 、C 两球切点的相对速度大小与A 球质心速度大小之比。

值得注意的是：上述表达式中，似乎正好有f2=μN ，那么由式（9）似乎f1=0，但这只是精度不够导致的。注意f1 的最低阶是三次，故若式（9）精确到五阶，确实看不到f1 的贡献。前面还谈到，若认定式（10），则式（6）不成立，但其实其中仅剩的Ω1ω1 是高阶小量，精确到低阶的话，确实是零。

上 述表达式（16）的有效范围可以这样判断。注意到ω1 的近似表达式约在2Ω01/3/μ 处出现最大值，此处可认为已偏离较大。故上述近似表达式的有效范围是t?2Ω01/3/μ。

相同的泰勒展开思路可用于考查接近末态时的情况。此时可重新令末态时刻为0，然后做时间反演，让方程中各时间导数反号，而且最好用上两个第一积分（11）（12）。但由于末态（14）中vC 的表达式难以得到，再往高阶走表达式会更复杂，故此处从略。

5 结语

对于一般的刚体运动（非平面运动），通常会用到欧拉动力学方程或类似方程。这是非线性微分方程，通常难有解析解。此文中的四球问题就是如此。本文以此理论分析为基础，结合数值模拟和近似思想，让这个问题的结果可视化，为今后此类问题的解决提供一条行之有效的思路。通过分析不难发现，原题所给出的参考解答只在Ω0 特别小时才与真实情况（数值模拟）比较吻合，但是当初始角速度较大时，出入就比较大了，故原题中最好加上Ω0 特别小，才能让原题的参考答案更加科学。

参 考 文 献

[1] 陈余华，黄亦斌. 一般非惯性系中的刚体动力学[J]. 物理通报，2018，37（6）：17-19.

CHEN Y H，HUANG Y B. Rigid body dynamics in generalnon-inertial reference system [J]. Physics Bulletin， 2018，37（6）： 17-19. （in Chinese）

[2] 周衍柏. 理论力学教程[M]. 3版. 北京：高等教育出版社，2009： 155.