基于林德斯泰特庞加莱法的双节拍器耦合系统同步规律研究

谭景芳 王成会 莫润阳

摘 要 本文在双节拍器耦合系统动力学方程的基础上，利用Runge-Kutta（龙格库塔）法对振动系统进行数值分析，通过摆杆摆角随时间演化的曲线图像，讨论影响系统同步性质的因素。利用L-P（林德斯泰特庞加莱）法研究相同双节拍器耦合系统的系统参数对于摆杆摆动振幅和摆动频率的影响，得到无耦合双节拍器系统的近似解，结合数值分析比较系统参数对同步周期和振幅的影响;在理论分析得到的近似同步周期中设定同步系数q 值，并通过拟合函数进行拟合，拟合后得到的同步周期与数值分析的周期基本一致。本文能为更好地理解耦合系统的同步性质提供参考，也能为学生进行双节拍器同步物理实验提供一些理论参考， 增强学生理论联系实际的能力。

关键词 耦合同步;振动系统;频率响应

自然界有很多同步现象[1，2]，如萤火虫间的同步闪烁、行星对卫星的潮汐锁定、神经元间的同步放电等;同步激励振动的应用方面有振动筛、航天工业等。弱耦合的多振子模型一般为Kuramoto模型[3-6]。双振子模型简单且包含着多振子耦合同步的基本特性，即振子间互相耦合，相互影响，因此研究双振子的同步行为便于更好地理解多振子的同步行为。节拍器耦合同步实验[2]是常用于研究的双振子模型，其同步现象是比较经典的同步现象之一，研究振子耦合问题对于解决自然界的同步行为有重要的帮助。

文献[7]给出了多节拍器耦合的力学模型并通过质心系的动量矩和动量定理得到多节拍器耦合的动力学方程，然后通过数值仿真模拟出了双节拍器和三节拍器的耦合时间;文献[8]分析了单个节拍器摆动的物理图像，然后分析了双节拍器同步和反向同步的现象。文献[9]分析了双节拍器耦合的原因，开始时不同步会使各个节拍器在每次摆动都收到一次微弱冲击，造成节拍器相位的微小改变，多次冲击使得两节拍器间相位差为零或π时，此时双节拍器达到同步。文献[10]探究了不对称节拍器耦合系统的同步行为，将同平面的双节拍器耦合系统推广至上下两层，通过在一层节拍器产生节拍信号的位置放上一张纸，使得信号的强度发生变化，从而可以从音频信号上分开上下层信号，达到对双层节拍器耦合进行分析的目的;通过改变双层之间、底座与桌面之间摩擦力数值模拟相流，研究不同的同步模式中摆角的分布范围。单节拍器的摆动方程可以转化为杜芬方程，文献[11]利用久期微扰理论通过试探解将二阶耦合的杜芬方程转化了一阶耦合的杜芬方程，文献[12]则在此基础上通过表象变换，将一阶耦合的杜芬方程进行解耦，得到了模式解，但耦合项为线性项，不符合双节拍器耦合系统。上述研究中，系统参数对耦合同步性质的影响研究不彻底，也没有从理论方面给出双节拍器系统的同步周期。

由于系统参数对摆杆的摆动振幅和摆动频率的影响的定性分析研究较少，本文基于双节拍器耦合系统的动力学模型，利用L-P法得到双节拍器耦合系统的近似解，通过理论分析和数值分析研究系统参数对两摆杆同步时摆动振幅和摆动频率的影响，理论分析得到的同步周期近似解能够较好地反映同步周期的变化特征;引入同步系数q 值，通过理论分析得到的拟合函数对同步系数进行修正，能较好地给出相同的双节拍器耦合系统的同步周期。

1 数学模型与理论分析

节拍器能周期稳定地发出“滴答”的声音来记录节拍，其根据钟摆原理制成，摆锤会周期性摆动，因此可以将一个节拍器简化为一个摆锤做单摆运动的模型。

在一个平面上架上两个滚轮，在滚轮上水平放置一个平板，滚轮的纵轴向与平板其中的一个轴向平行，在平板上方同一平面上相距一定距离放置两个节拍器，节拍器摆动方向要与平板移动方向一致，就构成了一个双节拍器耦合系统，简化模型如图1所示。

方程（25）（26）表明耦合系统的摆动频率主要受系统的阻尼系数、摆杆的转动惯量、摆杆质心到悬挂点的距离这些参数影响。由式（22）（23）可知，e-12γ1τi 中衰减系数γ1 越大，振子摆动的振幅衰减得越快，而γ1 与阻尼系数、摆杆的转动惯量有关，故系统的阻尼系数越大，摆杆的转动惯量越小，振子摆动衰减越快。当经过较长时间后，右边的第二项衰减为零;第一项代表摆杆在稳定同步时摆角的变化规律，是摆动为振幅和频率相关的正弦函数形式。结合式（25）（26），可见振子振幅和频率的变化与阻尼系数、摆杆的转动惯量有关，其改变将影响耦合系统的同步特性对摆动振幅与摆动频率的敏感性。

2 耦合系统动力学的数值模拟

本节通过四阶龙格库塔法对双节拍器耦合同步方程组（1）～（3）进行數值分析，双节拍器耦合系统的动力学方程中系数设为M P=1kg，mli =0.1kg，ρl=18mm，Ll=7.5mm，g=9.98m/s2，σ2=0.2rad，σ1=0.1rad， Ci=3.0×10-5N·m·s/rad，μ=1.0×10-3N·s/m，R=3.5N·mm。

2.1 摆角的数值模拟

随着系统的演化，一个摆杆不断通过平板质心运动影响着另一个摆杆的摆动，同时也受到另一个摆杆的摆动影响，经过多次弱耦合作用后，节拍器最终可达到同相（或反相或延迟）同步状态，此时两摆杆摆角的差值趋于定值。数值分析结果表明：无论在哪种同步状态下，系统的摆动周期保持不变。图2给出了不同的初始条件情形下两摆角的同步演化规律，发现达到同步所需要的时间与初始条件密切相关;在耦合过程中，摆杆摆角的变化具有正弦函数变化特征;同相同步时，摆杆摆动振幅约为0.69rad，摆动周期约为0.416s，并且反相同步时也能保持相同振幅和周期，因此，同步后摆杆振幅和周期只与系统参数有关，与初始条件无关。两摆杆摆角的相位差如图3所示，表现为先增大后减小并最终稳定为幅值为0.007rad、周期为0.416s微小扰动变化，此时系统处于同步状态，摆角的相位差值最终的变化周期与摆角的同步周期几乎一致，因此可以以摆角的差值的稳定来判断系统是否达到同步。比较图2（a）与图4发现，当γ1 值从0.857rad-1·s-1 增大至9rad-1·s-1 时， 系统达到同步所需的时间从大约9s变为约3s，摆杆的摆动振幅变化更快，这与近似理论关系式（22）和式（23）预测结果一致。

3 结语

本文在相同双节拍器动力学模型的基础上，通过数值分析发现，摆杆摆角随时间的演化具有正（余）弦函数变化特征，初始条件会影响两摆杆达到同步所需要的时间和最终的同步状态，当两摆杆同步后，摆杆振幅和周期保持不变，且振幅和周期只与系统参数有关，与初始条件无关。通过L-P法对双节拍器耦合系统的动力学方程进行解耦，得到用无耦合单摆模型表示的近似解，发现系统达到同步时的摆动周期主要受系统的阻尼系数、摆杆的质量、回转半径、摆长影响;阻尼系数越大，转动惯量越小，系统摆杆摆动振幅变化得越快，阻尼系数、摆杆的转动惯量的改变会影响耦合系统的同步特性对摆动振幅与摆动频率的敏感性。最后对理论分析得到的近似同步周期进行讨论，结合数值分析，发现理论近似式能够较好地反映同步周期的变化特征;通过理论分析得到的拟合函数对同步系数q 值的修正，当摆杆的质量、回转半径、摆长变化时，其同步周期与理论推导得到的周期大致符合，误差的绝对值小于5%。

参 考 文 献

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